Методические рекомендации
методическая разработка по алгебре (10 класс)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

АКАДЕМИЯ СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Кафедра математических дисциплин

Разработка методических рекомендаций обучения учащихся решению задач по теме школьного курса математики.

Тема «Метод тождественных преобразований тригонометрических выражений».

Учебник: С.М. Никольский и др. Алгебра и начала анализа, 10 класс.

Выполнил:

Могильникова Галина Ивановна

учитель математики

МОУ «СОШ Веста»

г.Черноголовка

Московской области

Москва 2015

2

СОДЕРЖАНИЕ

Введение…………………………………………………………………………3

Глава 1. Теоретические основы обучения теме «Преобразование тригонометрических выражений»…………………………………………….5

§1.  ФГОС  ООО применительно к теме «Преобразование тригонометрических выражений»…………………………………………….5

§2. Исторические сведения по теме «Преобразования тригонометрических выражений»……………………………………………………………………..8

§3. Логико-дидактический анализ темы «Преобразование тригонометрических выражений» по учебнику С.М.Никольского и др. Алгебра и начала анализа. 10 класс……………………………………..…14

3.1. Целеполагание…………………………………………………….14

3.2. Логико-математический анализ учебного материала темы «Тригонометрические формулы.»……………………………………………

3

ВВЕДЕНИЕ

           В настоящее время основной задачей перестройки школьного образования является переориентация на приоритет развивающей функции обучения. Это означает, что на первый план выходит задача интеллектуального развития личности, т.е. развитие учебно-познавательной деятельности. Пожалуй, ни один школьный предмет не может конкурировать с возможностями математики в воспитании мыслящей личности.

           Уже несколько десятилетий тригонометрия, как отдельная дисциплина школьного курса математики не существует, она плавно растеклась не только в геометрию и алгебру основной школы, но и в алгебру и начала анализа.

Исторически сложилось, что тригонометрическим уравнениям и неравенствам уделялось особое место в школьном курсе. Еще греки на заре человечества, считали тригонометрия важнейшей из наук. Поэтому и мы, не оспаривая древних греков, будем считать тригонометрию одним из важнейших разделов школьного курса, да и всей математической науки в целом.

           Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства занимают одно из центральных мест в курсе математики средней школы, как по содержанию учебного материала, так и по способам учебно-познавательной деятельности, которые могут и должны быть сформированы при их изучении и применены к решению большого числа задач теоретического и прикладного характера.

Актуальность. Целью современного отечественного образования и одной из приоритетных задач общества и государства является воспитание, социально-педагогическая поддержка становления и развития высоконравственного, ответственного, творческого, инициативного, компетентного гражданина России.

 Сегодня образование России переживает период перехода в новое качество: социально значимыми становятся способности к самостоятельному

4

выбору, построению или освоению новых способов деятельности. Математика на протяжении всей истории человечества являлась составной частью человеческой культуры, ключом к познанию окружающего мира, базой научно-технического прогресса. Математическое образование является неотъемлемой частью гуманитарного образования в широком понимании этого слова, существенным элементом формирования личности. 
Математика есть часть общего образования. Ныне ни одна область человеческой деятельности не может обходиться без математики – как без конкретных математических знаний, так и интеллектуальных качеств, развивающихся в ходе овладения этим учебным предметом. Школьное математическое образование способствует: овладению конкретными знаниями, необходимыми для ориентации в современном мире; приобретению навыков логического и алгоритмического мышления; развитию воображения и интуиции; формированию мировоззрения; формированию нравственных черт; воспитанию способности к эстетическому восприятию мира; обогащение запаса историко-научных знаний.  

Цель проекта: разработать методические рекомендации для обучения учащихся по теме «Преобразование тригонометрических выражений».

Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач:

1. Выявить теоретические основы обучения теме, связанные с реализацией ФГОС ООО второго поколения

2. Провести анализ учебной, математической и научно-популярной литературы по теме исследования.

3. Анализ психологической, методической литературы.

4. Разработка методических рекомендаций по теме «Преобразование тригонометрических выражений».

5. Составление набора задач необходимых для обучения данной теме.

5

Решение поставленных задач потребовало использования следующих  методов исследования: анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы по проблеме исследования, учебников и учебных пособий по математике, учебника С.М.Никольского, М.К.Потапова, Н.Н.Решетникова,  А.В.Шевкина  Алгебра и начала анализа, 10 класс, беседы с учителями, тестирование учащихся, проведение опытной проверки.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ

ТЕМЕ «Преобразование тригонометрических выражений».

        § 1. ФГОС ООО применительно к школьному курсу математики.

ФГОС ООО представляет собой совокупность требований, обязательных при реализации основной образовательной программы основного общего образования образовательными учреждениями, имеющими государственную аккредитацию. Стандарт выдвигает три группы требований: требования к результатам освоения основной образовательной программы  ООО; требования к структуре основной образовательной программы ООО; требования к условиям реализации основной образовательной программы ООО. Отличительной особенностью нового стандарта является его системно-деятельностный подход, ставящий главной целью развитие личности учащегося.

 В соответствии с предлагаемой моделью ключевым является ориентация на способность не заучивать, а применять знания, реализовывать собственные проекты, на овладение умениями коммуникации, анализа, понимания, принятия решений.

     Требования к результатам освоения основной образовательной программы основного общего образования являются ключевой составляющей Стандарта.

6

Стандарт устанавливает требования к результатам освоения обучающимися основной образовательной программы ООО:

     личностным (готовность и способность к саморазвитию, сформированность мотивации к обучению);

     метапредметным (освоенные межпредметные понятий и УУД, организация учебного сотрудничества с педагогами и сверстниками);

     предметным (освоенные виды деятельности и знания в рамках учебного предмета, формирование научного типа мышления).

     Математика − наиболее точная из наук. Изучение предметной области «Математика и информатика» должно обеспечить:  осознание значения математики и информатики в повседневной жизни человека;  формирование представлений о социальных, культурных и исторических факторах становления математической науки; понимание роли информационных процессов в современном мире; формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, универсальном языке науки,  позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления.  В результате  освоения предметного содержания курса математики у учащихся формируются общие учебные умения и способы познавательной деятельности. Обучающиеся развивают логическое и математическое мышление, получают представление о математических моделях,  овладевают математическими рассуждениями,  учатся применять математические знания при решении различных задач и оценивать полученные результаты, овладевают умениями решения учебных задач, развивают математическую интуицию, получают представление об основных информационных процессах в реальных ситуациях.

Предметные результаты изучения предметной области «Математика и информатика» должны отражать:

1) формирование представлений о математике как о методе познания реальной действительности;

7

2) развитие умений работать с математическим текстом, точно выражать свои мысли с применением терминологии и символики, проводить классификации, доказательства;

3) развитие представлений о числе; овладение навыками вычислений;               4) овладение символьным языком алгебры, приёмами тождественных преобразований, решения уравнений, неравенств и их систем, умение моделировать реальные ситуации на языке алгебры;

5) овладение системой функциональных понятий, развитие умения применять эти понятия;

6) овладение элементами статистики и теории вероятностей;

7) овладение геометрическим языком, умением выполнять построения и  решать геометрические и практические задачи с помощью геометрических понятий и теорем;

8) умение решать задачи из смежных дисциплин с помощью математических знаний, использовать для решения компьютерные устройства.

      Чтобы математические знания воспринимались учащимися как личностно значимые, т. е. действительно нужные ему, требуется постановка проблем, актуальных для ученика данного возраста, удовлетворяющих его потребности в познании. В организации учебно-воспитательного процесса важную роль играет сбалансированное соединение традиционных и новых методов обучения, использование технических средств. Для развития мотивационно-волевой сферы личности обучающегося в процессе обучения математике важно создавать ситуации, в которых он познаёт разнообразие математических отношений в реальной жизни, приобретает уверенность в своих силах при решении поставленных задач, развивает волю и настойчивость, умение преодолевать трудности. Содержание примерной программы по математике позволяет шире использовать дифференцированный подход к учащимся. Это способствует нормализации нагрузки обучающихся, обеспечивает более целесообразное их включение в

8

учебную деятельность, своевременную корректировку трудностей и успешное продвижение в математическом развитии.

        Поскольку в новой модели процесс обучения становится многообразным и вариативным, то важную роль начнет играть как внешняя, так и внутренняя система оценки качества, ориентированная на выявление и поддержку новых результатов и распространение нового. В этой оценке должны найти место не только стандартизированные экзамены, но и новые методы оценивания, которые будут отражать достижения и индивидуальный прогресс ребенка. Помимо Единого государственного экзамена необходимо развивать и другие инструменты оценки результатов общего образования школьников. 

За последние десятилетия в обществе произошли кардинальные изменения в представлении о целях образования и путях их достижения. В жизни каждого человека необходимостью и реальностью становится непрерывное образование. Приоритетной целью школьного образования становится развитие у учащихся способности самостоятельно ставить учебные цели, проектировать пути их достижения, контролировать и оценивать свои достижения. Иначе говоря, формирование умения учиться.

§2. Исторические сведения по теме «Преобразования тригонометрических выражений».

      Тригонометрия является одним из наиболее молодых отделов элементарной математики, получивших окончательное оформление лишь в XVIII в., хотя отдельные идеи её относятся к глубокой древности, к античному миру и к математическому творчеству индусов.

        Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников (trigwnon - треугольник, а metrew- измеряю). Его ввёл в употребление в 1595г. немецкий математик и богослов Варфоломей Питиск. В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т.е. определение сторон, углов и других элементов

9

треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников. Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.

       Тригонометрия - раздел математики, который изучает зависимости между углами и сторонами треугольников, а также свойства тригонометрических функций синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса. К концу 17 века почти все эти функции были уже, по существу, известны. Правда, самого понятия тригонометрических функций, как и их обозначений, тогда ещё не существовало. Вместо них говорили о длинах некоторых хорд, касательных, секущих в окружности определённого радиуса. В тригонометрии изучались три вида соотношений: 1) между самими тригонометрическими функциями; 2) между элементами плоского треугольника (тригонометрия на плоскости); 3) между элементами сферического треугольника, т. е. фигуры, высекаемой на сфере тремя плоскостями, проходящими через её центр (сферическая тригонометрия).

      Потребность в решении треугольников раньше всего возникла в астрономии: и в течении долгого времени тригонометрия развивалась изучалась как один из отделов астрономии. Насколько известно: способы решения треугольников (сферических) впервые были письменно изложены греческим астрономом Гиппархом в середине 2 века до н.э. Наивысшими достижениями греческая тригонометрия обязана астроному Птоломею (2 век н.э.), создателю геоцентрической системы мира, господствовавшей до Коперника. Греческие астрономы не знали синусов, косинусов и тангенсов. Вместо таблиц этих величин они употребляли таблицы: позволяющие

10

отыскать хорду окружности по стягиваемой дуге. Дуги измерялись в градусах и минутах ; хорды тоже измерялись градусами (один градус составлял шестидесятую часть радиуса), минутами и секундами. Это шестидесятеричное подразделение греки заимствовали у вавилонян.

               Значительные высоты достигла тригонометрия и у индийских средневековых астрономов. Главным достижением индийских астрономов стала замена хорд синусами, что позволило вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах. Индийские ученые пользовались различными тригонометрическими соотношениями, в том числе и теми, которые в современной форме выражается как      Sin2 a + cos2 a = 1,

sin a = cos (90 - a),   sin ( a + B)= sin a . cos B + cos a . sin B.

      Длительную историю имеет понятие синус. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III веке до н.э. в работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Апполония Пергского. В римский период эти отношения достаточно систематично исследовались Менелаем (I век н.э.), хотя и не приобрели специального названия.  Современный синус a, например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной a, или как хорда удвоенной дуги. Индийские ученые положили начало учению о тригонометрических величинах, которые они рассматривали в пределах первой четверти круга. Синус и косинус встречаются в индийских астрономических сочинениях уже в IV — V вв. Заменив хорду синусом, индийцы вначале называли синус «ардхаджива», т. е. половина хорды («джива» — хорда, тетива лука), а позже просто «джива». Это слово было, как полагают, искажено арабами в «джайб», означающее по-арабски пазуха, выпуклость. Слово «джайб» было переведено в XII в. на латынь соответствующим словом sinus. Косинус

11

индийцы называли «котиджива», т.е. синус остатка (до четверти окружности). В XV в. Региомонтан, как и другие математики, применял для понятия «косинус дуги (х)» латинский термин sinus complementi, т.е. синус дополнения, имея в виду sin(90°–х). От перестановки этих слов и сокращения одного из них (cosinus) образовался термин «косинус», встречающийся в 1620г. у английского астронома Э. Гунтера.        

      В IX — X вв. ученые стран ислама (ал-Хабаш, ал-Баттани, Абу-л-Вафа и др.) ввели новые тригонометрические величины: тангенс и котангенс, секанс и косеканс. В частности, ал-Баттани установил, что в прямоугольном треугольнике острый угол можно определить отношением одного катета к другому. Происхождение названий двух тригонометрических функций, тангенса и секанса (термины, введенные в 1583 г. немецким математиком Т. Финком), связано с геометрическим их представлением в виде отрезков прямых. Латинское слово tangens означает касающийся (отрезок касательной), secans — секущий (отрезок секущей). Термины «котангенс» и «косеканс» были образованы в средние века по аналогии с термином «косинус». Все три термина вошли во всеобщее употребление в первой половине XVII в. Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completely sinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”; cosa =  sin( 90° - a)).Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов.  Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе. Название «тангенс»,

12

происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г.  Tangens переводится как «касающийся» (линия тангенсов – касательная к единичной окружности).

          Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а также в работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.

        Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер, т. е. факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов. Пожалуй, наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практический интерес (например, для решения задач определения местонахождения судна, предсказания затемнения и т. д.). Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников. И надо заметить, что математики древности удачно справлялись с поставленными задачами.    

        Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались, и приобрели важное значение для всей математики.

Таким образом, тригонометрия возникла на геометрической основе и имела геометрический язык,  применялась к решению геометрических задач о

13

решении треугольников, со временем развилась в науку о тригонометрических функциях.

         Позднее, часть тригонометрии, которая изучает свойства тригонометрических функций и зависимости между ними, начали называть гониометрией (в переводе – наука об измерении углов, от греческого gwnia - угол,  metrew- измеряю). Развитие алгебраической символики позволило записывать тригонометрические соотношения в виде формул; применение отрицательных чисел позволило рассматривать направленные углы и дуги и распространить понятие тригонометрических линий (определенных отрезков в круге) для любых углов. В этот период создалась база для изучения тригонометрических функций как функций числового аргумента, основа аналитической теории тригонометрических (круговых) функций. Аналитический аппарат, позволяющий вычислять значения тригонометрических функций с любой степенью точности, был разработан Ньютоном.

           Современный вид тригонометрия получила в трудах великого ученого, члена Российской академии наук Л. Эйлера (1707 – 1783). Эйлер стал рассматривать значения тригонометрических функций как числа – величины тригонометрических линий в круге, радиус которого принят за единицу («тригонометрический круг» или «единичная окружность»). Эйлер дал окончательное решение о знаках тригонометрических функций в разных четвертях, вывел все тригонометрические формулы из нескольких основных, установил несколько неизвестных до него формул, ввел единообразные обозначения. Именно в его трудах впервые встречаются записи sinα,  cosα,

 tgα, ctg α. Он также открыл связь между тригонометрическими и показательной функциями от комплексного аргумента. На основании работ Л. Эйлера были составлены учебники тригонометрии, излагавшие ее в строгой научной последовательности. После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путем

14

формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее проще. Аналитическое (не зависящее от геометрии) построение теории тригонометрических функций, начатое Эйлером, получило завершение в трудах великого русского ученого Н.И. Лобачевского.

              Современная точка зрения на тригонометрические функции как на функции числового аргумента во многом обусловлена развитием физики, механики, техники. Эти функции легли в основу математического аппарата, при помощи которого изучаются различные периодические процессы: колебательные движения, распространение волн, движения механизмов, колебание переменного электрического тока. Как показал Ж. Фурье (1768 – 1830), всякое периодическое движение с любой степенью точности можно представить в виде суммы простейших синусоидальных (гармонических) колебаний.      Если  в  начале  развития  тригонометрии  соотношение

sin2α + cos2α =1   лишь выражало зависимость между площадями квадратов, построенных на сторонах переменного прямоугольного треугольника с гипотенузой равной 1, то в последующем это отношение стало отражать также сложение двух колебательных движений с происходящей при этом интерференцией.

§3. Логико-дидактический анализ содержания темы

«Преобразование тригонометрических выражений» по учебнику: Алгебра и начала анализа. 10 класс. С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин,  М.:Издательство «Просвещение», 2012.

3.1. Целеполагание

Тригонометрия как отдельная дисциплина школьного курса математики не существует, она «растеклась» не только в геометрию основной школы, но и в алгебру и начала анализа старшей классов. При

15

систематическом изучении математики ученику приходится встречаться с тригонометрией четыре раза.  Ее содержание представляется состоящим из трех частей. Эти части при обучении отделены друг от друга по времени и не похожи как по смыслу, так и по действиям и по приложениям. Тригонометрический материал впервые появляется в курсе планиметрии в восьмом классе. Вводятся тригонометрические зависимости в прямоугольном треугольнике. Решаются прямоугольные треугольники, доказывается основное тригонометрическое тождество, выводятся значения тригонометрических функций 30°, 45°, 60°. Рассматриваются задачи на построение угла по значению тригонометрической функции. Проходит время и тригонометрия возвращается к школьникам. В девятом классе доказываются и применяются теоремы синусов и косинусов. Вводятся формулы для координат точки через длину радиус-вектора точки и угол между лучом и положительной полуосью Ох. Тригонометрические отношения определяются с помощью единичной полуокружности, а не прямоугольного треугольника. Рассматриваются формулы приведения. Третья встреча с тригонометрией происходит в курсе алгебры и начал анализа. Теперь тригонометрические отношения определяются как функции углов, но углы произвольны, их меры выражаются в радианах, изменяется постановка задач, трактовка их решений. Появляются новые формулы. Далее речь идет о тригонометрических функциях, их свойствах, которые позволяют упрощать выражения, решать уравнения и неравенства.  При любом построении тригонометрической линии учитель может при наличии времени начать работу по обучению тригонометрии еще в восьмом классе, т.к. большое число упражнений (на построение, преобразование, доказательство тождеств, вывод формул, решение уравнений с аргументом от 0° до 90°) выполняются «геометрически».

     Таким образом, тема «Преобразование тригонометрических выражений» занимает важное место в курсе школьной математики.

16

  Основное содержание темы: Радианная мера угла. Поворот точки вокруг начала    координат. Определение синуса, косинуса и    тангенса угла. Знаки синуса, косинуса, тангенса.  Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла и действительного числа. Основное тригонометрическое тождество для синуса и косинуса.  Понятия арксинуса, арккосинуса. Тангенс и котангенс угла и числа. Основные тригонометрические тождества для тангенса и котангенса. Понятие арктангенса числа.    Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла. Тригонометрические    тождества. Синус, косинус, тангенс углов α и − α.

      Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух аргументов. Формулы

приведения. Синус, косинус и тангенс    двойного угла. Синус, косинус и тангенс половинного угла. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведения и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.

Преобразование простейших тригонометрических выражений. Простейшие тригонометрические уравнения. Простейшие тригонометрические неравенства.

Цели обучения теме «Преобразование тригонометрических выражений» 1) формирование понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла (числа);

2)  знакомство учащихся с основными формулами тригонометрии;

3) обучение    применению     формул     для   преобразования тригонометрических выражений, сформировать умение выполнять простейшие преобразования выражений;

 4) овладеть умением решать сложные вычислительные примеры и уравнения, упрощать выражения, применяя тригонометрические формулы, решать простейшие уравнения и неравенства, используя тригонометрическую окружность.

17

Материал данной темы составляет важную часть школьного курса математики, что и определяет цели ее изучения: в процессе обучения  происходит ознакомление обучающихся с основами наук; развивается логическое мышление, формируются и закрепляются вычислительные навыки. Материал данной темы  находит широкое применение при изучении других тем школьного курса математики, так же и других смежных дисциплин, помогают тем самым реализовать межпредметные связи.  

Изучение данной темы способствует развитию алгоритмической культуры, критичности мышления. В процессе обучения закрепляется, углубляется и повторяется пройденный материал, решаются разнообразные практические задачи.

Теоретическая база при изучении темы «Преобразования тригонометрических выражений»  рассматривается в главе II «Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции». По мнению авторов учебника особенностью изложения материала главы II является то, что сначала (в §§ 7–9) изучаются тригонометрические функции угла с опорой на геометрические иллюстрации и факты. Все их свойства доказываются для углов, решаются задачи на нахождение всех углов, удовлетворяющих некоторым равенствам или неравенствам.

Изложения тригонометрического материала в учебнике таково, что все формулы доказываются с минимальной опорой на геометрию сначала для синуса и косинуса, а потом для тангенса и котангенса.

Все формулы сложения и следствия из них в учебнике доказаны, но термин «формулы приведения» в учебнике не используется.

При профильном обучении предусмотрено изучение арксинуса, арккосинуса, арктангенса, формул для них, следствий из формул сложения, не предусмотренных при обучении на базовом уровне. В стандартах эти понятия не предназначены для изучения на базовом уровне. Но совершенно очевидно, что, не сформировав у учащихся представления об арксинусе,

18

арккосинусе и арктангенсе, нельзя считать, что мы научили их решать даже простейшие тригонометрические уравнения, которые на базовом уровне должны изучаться. Нельзя же считать ученика обученным решению простейших тригонометрических уравнений, если он умеет решать уравнение sin x = 0,5, но не умеет решать уравнение sin x = 0,6.

В результате изучения главы II учащиеся должны знать основные определения, свойства и формулы, связанные с тригонометрическими функциями, уметь по значению одной из функций находить значения остальных, преобразовывать несложные выражения, содержащие тригонометрические функции, применяя изученные формулы, знать свойства и уметь строить графики функций у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х, уметь решать простейшие тригонометрические и сводящиеся к ним уравнения и неравенства.

§ 7. Синус и косинус угла.

В этом параграфе восемь пунктов, шесть из которых базового уровня , а два- профильного (примеры использования арксинуса и арккосинуса, формулы для них)

 п.7.1 Понятие угла. В этом пункте учащиеся знакомятся с обобщением понятия угла, на которое распространены понятии синуса, косинуса, тангенса и котангенса.  Полезно повторить, что поворот – это перемещение, что для его задания нужно указать: а) центр поворота, б) угол поворота, в) направление поворота. Учащиеся анализируют правило: любой угол можно получить как результата двух поворотов  в положительном направлении на угол от 0° до 360° и на целое число полных оборотов.  Учащимся надо показать прием построения «табличных» углов (300, 450, 600, 900) и связанных с ними углов без транспортира, что позволит в дальнейшем быстрее находить значения тригонометрических функций, сводимых к значениям функций для «табличных» углов, а позднее хорошо решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства.  

19

 п.7.2. Радианная мера угла. В пункте рассматривается новая мера угла, вводится понятие радиана. Можно сообщить о существовании других единиц (града,  румба)

п.7.3.  Определение синуса и косинуса угла. Вводятся понятия единичная окружность, синус и косинус угла, изучаются свойства синуса и косинуса угла с опорой на единичную окружность. Чтобы в дальнейшем успешно решать простейшие тригонометрические уравнения, учащиеся должны научиться правильно изображать на единичной окружности точки, соответствующие значениям тригонометрических функций и в случае «табличных» значений уметь определять соответствующие значения аргументов этих функций.

п.7.4.  Основные формулы для синуса и косинуса угла. В данном пункте с опорой на уравнение окружности, свойства точек единичной окружности, симметричных относительно оси Ох, симметричных относительно начала координат доказываются основное тригонометрическое тождество, свойства синуса и косинуса (ограниченность, как следствие основного тождества; четность доказывается геометрически, формулы приведения). В этом пункте рассматриваются упражнения на нахождение точек единичной окружности, соответствующих углам, для которых выполняется тригонометрическое равенство (т.е. уравнения) и задание этих углов формулами.

п.7.5-7.6. Арксинус. Арккосинус. В пунктах вводятся понятия арксинус и арккосинус, рассматриваются свойства. Упражнения направлены на формирование умения преобразовывать выражения, включающие тригонометрические функции.

 § 8. Тангенс и котангенс угла.

В параграфе шесть пунктов, четыре из которых содержат материал базового уровня, а два – профильного.

п.8.1. Определение тангенса и котангенса угла

В данном пункте учебника вводятся понятия тангенса и котангенса угла,

20

показывается применение осей тангенса и котангенса для наглядного представления числовых значений этих функций угла. Здесь, как и при введении синуса и косинуса угла, надо начать с определений этих функций для острого угла прямоугольного треугольника, получить все «табличные» значения этих функций, показать эти значения на оси тангенса и оси котангенса.  Учащиеся должны научиться по заданному «табличному» значению tg  и ctg  показать соответствующие точки единичной окружности, уметь записать один из углов, соответствующих этой точке, и все такие углы.

п.8.2. Основные формулы для tg α и ctg α

В этом пункте доказаны основные формулы для tg и ctg . Здесь выполняются задания на упрощение выражений с помощью изученных формул, на нахождение по заданному значению одной из функции sin , cos , tg и ctg  значений остальных функций.

п.8.3. Арктангенс

В данном пункте учебника дано определение арктангенса числа a, из которого получается формула tg (arctg a) = a, справедливая для любого числа a  R.

Введение понятия арктангенса можно мотивировать так же, как и введение понятия арксинуса.

Далее рассмотрена задача: для данного числа a  R, найти все углы , для каждого из которых tg  = a. Здесь впервые получена формула  = arctg a + n,
n  Z. Эта формула в дальнейшем будут использована при решении простейших тригонометрических уравнений.

п.8.4. Арккотангенс

Введение понятия арккотангенса можно мотивировать так же, как и введение понятия арксинуса.

21

§9. Формулы сложения.

В параграфе семь пунктов, пять из которых базового уровня, два профильного.

п.9.1. Косинус разности и косинус суммы двух углов

Отметим, что основной формулой, из которой получаются остальные, является формула cos ( – ) = cos  cos  + sin  sin . Она доказывается с помощью скалярного произведения векторов. Для доказательства формулы cos ( + ) достаточно выполнить преобразование cos ( + ) = cos ( – (–)) и применить формулу косинуса разности двух углов и свойства синуса и косинуса.

п.9.2. Формулы для дополнительных углов

В этом пункте доказаны две формулы   cos  = sin     и         sin  = cos , которые очень часто используются в дальнейшем.

п.9.3. Синус суммы и синус разности двух углов

п.9.4. Сумма и разность синусов и косинусов

п.9.5. Формулы для двойных и половинных углов

п.9.6. Произведение синусов и косинусов        

п.9.7. Формулы для тангенсов

 В этих пунктах доказаны соответствующие формулы для преобразования тригонометрических выражений.

При изучении данной темы в учебнике вводятся следующие понятия:

угол, нулевой угол, положительный угол,  отрицательный угол; радиан; синус (косинус, тангенс, котангенс) угла; ось тангенсов и котангенсов, арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

Все определения темы вводятся конструктивным способом и через описание.

22

При изучении данной темы формулируются следующие свойства:

А) свойства синуса, косинуса, тангенса  и котангенса угла: 1) малому изменению угла соответствует малое изменение синуса и косинуса (тангенса и котангенса);         2) свойства убывания и возрастания синуса и косинуса  

(тангенса и котангенса);      3) основное тригонометрическое тождество;

4) ограниченность синуса, косинуса;      5) четность косинуса и нечетность синуса, тангенса, котангенса;   6) периодичность,  7) формулы приведения.

Б) формулы: 1) косинус суммы и разности двух углов, 2) синус суммы и разности двух углов, 3) формулы для дополнительных углов,  4) сумма и разность синусов и косинусов, 5) формулы для двойных и половинных углов, 6) произведение синусов и косинусов, 7) формулы для тангенсов.

Большинство правил  вводятся в учебнике символически и словесно с доказательством  методом синтеза в результате решения задач или  выполнения упражнений, вследствие анализа их решения.

Планируемые результаты – ученики должны

Знать: 

• взаимно-однозначное соответствие между точками единичной окружности и действительными числами;
• обобщенное понятие угла;
• определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса произвольного действительного числа.

Уметь:

• выражать градусную меру угла в радианах и радианную меру – в градусах;
• находить приближенные значения тригонометрических функций с помощью калькулятора;
• находить точные значения тригонометрических функций некоторых табличных углов;
• определять значения углов по заданным значениям их тригонометрических функций;
• выполнять преобразования тригонометрических выражений, используя различные формулы.

23

• решать расчетные задачи из реальной практики, включающие в себя нахождение длин сторон и углов треугольников (прямоугольных и произвольных).

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни; владеть:

• терминологией, связанной с тригонометрическими функциями произвольного угла и  действительного числа;
• навыками преобразований тригонометрических выражений, вычислением их значений на основе формул и теорем (основное тождество, теоремы сложения, формулы приведения, формулы двойного угла и др.);
• навыками решения тригонометрических уравнений.

При проведении логико-дидактического анализа выделены особенности структурного построения и методического изложения материала учебника, определено представление задачного материала. На основании данного анализа сделаны выводы.

Результаты логико-дидактического анализа учебного материала представлены в таблице 1.

Таблица 1

Результаты логико-дидактического анализа учебного материала

темы «Преобразования тригонометрических выражений»

Тематическое планирование темы

На изучение темы «Преобразование тригонометрических выражений» по

учебнику: Алгебра и начала анализа. 10 класс. С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин,  М.:Издательство «Просвещение», 2012., по программе отводится 24 час, из них 2 часа на контрольные работы.  Тематическое планирование изучения данной темы представлено в таблице 2. Дидактические материалы содержат самостоятельные и контрольные работы различных уровней сложности для осуществления учителем вариативного обучения в зависимости от учебного плана, соответствующего уровню класса.

26

Таблица2

Тематическое планирование, 5 часов в неделю