Методика решения дробно - рациональных уравнений. Подготовка учащихся к ОГЭ.
методическая разработка по алгебре (9 класс)

 Методика решения дробно - рациональных уравнений.

 Подготовка учащихся к ОГЭ.

( из опыта работы учителя математики МБОУ Погребская средняя общеобразовательная школа Стратий Татьяны Николаевны)

Кодификатор требований к уровню подготовки обучающихся для проведения основного государственного экзамена по математике является одним из документов, определяющих структуру и содержание КИМов. В нем сформулированы требования к уровню подготовки выпускников основной школы. В разделе III прописано требование «Уметь решать уравнения, неравенства и их системы»

С темой «Дробные рациональные уравнения » учащиеся впервые знакомятся на уроках алгебры в 8 классе. Вводится понятие дробно-рационального уравнения, указывается чёткий алгоритм его решения, разбираются базовые примеры. В 9 классе при изучении главы II «Уравнения и неравенства с одной переменной»  расширяем знания учащихся по теме «Дробные рациональные уравнения», решаем более сложные задания. Результаты обучения в значительной степени зависят от конкретной методики обучения, которую применяет учитель на уроках. Учитель, при активном сотрудничестве с обучающимися, должен помочь им выделить систему общих указаний, которые будут служить  ориентирами при решении уравнений.

Целесообразно четко сформулировать  алгоритм решения дробно-рационального уравнения:

1) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

2) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

3) решить получившееся целое уравнение;

4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

В ходе решения дробно-рациональных уравнений необходимо установить, являются ли найденные корни целого уравнения допустимыми значениями переменной. Учащиеся нередко ошибаются, пропуская этот момент, поэтому надо настойчиво добиваться, чтобы в каждом случае алгоритм был выполнен до конца.

       Важно  научить обучающихся  пользоваться «методом пристального взгляда» чтобы они зрительно видели разложение знаменателей на простые множители и безошибочно находили наименьший общий знаменатель. Такая методика решения уравнений позволяет школьникам не допускать ошибок при решении дробных рациональных уравнений,  успешно решать задачи с помощью дробных рациональных уравнений.

     Следует также предварительно отработать умения и навыки учащихся при выполнении тождественных преобразований, решения квадратных и линейных уравнений, раскладывания квадратного трёхчлена на множители, нахождения ОДЗ, основного свойства пропорции, формул сокращённого умножения

Приемы решения дробных рациональных уравнений  находят естественное и важное применение при решении текстовых задач. При решении текстовой задачи учащиеся выполняют три этапа, входящие в процесс решения:

- переводят задачу на язык алгебры (составляют математическую модель),

- решают полученное уравнение,

- выполняют содержательный анализ полученного ответа.

    В практической деятельности при проведении уроков по этой теме я  применяю   организацию учебной деятельности следующим образом: обучающиеся работают по группам. Одна группа   решает текстовые задачи – им требуется  в процессе решения  получить дробное рациональное уравнение. Другая группа  работает над решением этих же уравнений. Последующая проверка у доски работы двух групп представляет полное решение текстовой задачи с обоснованной записью ответа. В зависимости от наполняемости класса можно организовать подобным образом работу четырех или шести групп. Такая организация урока позволяет активизировать мыслительную деятельность учащихся, развивает коммуникативные навыки, умение работать в сотрудничестве позволяет закрепить умение решать текстовые задачи и одновременно умение решать дробные рациональные уравнения.

        Все выпускники 9 класса должны уметь решать дробные рациональные уравнения.

     Чтобы достичь поставленной задачи учителю следует руководствоваться методическими требованиями к системе упражнений, направленной на организацию усвоения приемов решения дробных рациональных уравнений.

1. система упражнений должна обеспечивать возможность активного участия обучаемых в конструировании приема решения рассматриваемого класса задач (в нашем случае решения дробных рациональных уравнений)
2.   система упражнений должна обеспечить усвоение и необходимое повторение каждого из приемов, входящих в качестве составной части в формируемый прием ( решения дробных рациональных уравнений)
3. система упражнений должна строиться по принципу систематичности, постепенного нарастания сложности, содержать задания комплексного характера, выполнение которых  требует распознания типа уравнения и осознанного выбора способа его решения.

Дробно-рациональные уравнения

Стандартный вид дробно-рационального уравнения:

Где – многочлены.

Область допустимых значений (ОДЗ) данного уравнения: Решение уравнений  сводится к решению системы

Дробно-рациональные уравнения вида

Где – многочлены, можно решать, используя основное свойство пропорции:

               Основные методы решения рациональных уравнений.

         1. Простейшие: решаются путём обычных упрощений — приведение к общему знаменателю, приведение подобных членов и так далее.

Квадратные уравнения ax2 + bx + c = 0 решаются по  формуле  или используется теорема Виета: x1 + x2 = – b / a; x1x2 = c / a.

         2.Способ группировки: путём группировки слагаемых, применения формул сокращённого умножения привести (если удастся) уравнение к виду, когда слева записано произведение нескольких сомножителей, а справа — ноль. Затем приравниваем к нулю каждый из сомножителей.

        3. Способ подстановки: ищем в уравнении некоторое повторяющееся выражение, которое обозначим новой переменной, тем самым упрощая вид уравнения. В некоторых случаях очевидно какую следует сделать подстановку.

Например, уравнение

      (x2 + x – 5) / x  +  3x / (x2 + x – 5) + 4 = 0,

легко решается с помощью подстановки (x2 + x – 5) / x = t,

 получаем t + (3 / t) + 4 = 0.

     Или: 21 / (x2 – 4x + 10) – x2 + 4x = 6.

Здесь можно сделать подстановку x2 – 4 = t. Тогда 21 / (t + 10) - t = 6 и т.д.

        В более сложных случаях подстановка видна лишь после нескольких преобразований.               Например, дано уравнение

(x2 + 2x)2 – (x +1)2 = 55.

Переписав его иначе, а именно (x2 + 2x)2 – (x2 + 2x + 1) = 55, сразу увидим подстановку x2 + 2x=t.

Имеем t2 – t – 56 = 0, t1 = – 7, t2 = 8. Осталось решить x2 + 2x = – 7 и x2 + 2x = 8.

            В ряде других случаев удобную подстановку желательно знать “заранее”. Например

Уравнение (x + a)4 + (x + b)4 = c сводится к биквадратному, если сделать подстановку

x = t – (a + b) / 2.

     Симметрическое уравнение (возвратное) a0xn + a1xn – 1 + … + a1x + a0 = 0 (коэффициенты членов, равностоящих от концов, равны) решается с помощью подстановки x + 1 / x = t, если n —чётное; если n — нечётное, то уравнение имеет корень x = – 1.

     Уравнение вида (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = l сводится к квадратному, если

    a + b = c + d и т.д.

    К основному методу решения дробно-рациональных уравнений относится также метод замены переменной.

4. Подбор:  при решении уравнений высших степеней рациональные корни уравнения anxn + an – 1xn – 1 + … + a1x + a0 = 0 ищем в виде p / q,

 где p — делитель a0, q — делитель an, p и q взаимно просты, pÎ Z, qÎ N.

5. “Искусство”, т.е. решать пример нестандартно, придумать “свой метод”, догадаться что-то прибавить и отнять, выделить полный квадрат, на что-то разделить и умножить и т.д.

                                     Используемая литература и электронные ресурсы

1.  Д.Т. Письменный «Готовимся к экзамену по математике»- М.; Рольф, Айрис-пресс,1998г.

2.   «Математика. Подготовка к ГИА- 2015»- под редакцией Ф.Ф. Лысенко, Ростов- на-Дону, Легион. 2014г.

3.   «Алгебра -9 класс»- Ю.Н. Макарычев, Н.Г.Миндюк и др. под редакцией

С.А. Теляковского, М.: Просвещение,2010г.

4.   Л.И. Заввич «Итоговая аттестация. Задания по математике»М,:Просвещение,2011г.

5.   С.С.Минаева,Л.О.Рослова   «Алгебра. Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации».М.,Экзамен.2014г.

6.  М.Р.Леонтьева, С.Б. Суворова «Упражнения в обучении алгебре»,М.,Просвещение,2005г.

7.   Ресурсы, представленные на портале ФЦИОР (Федеральный центр информационных образовательных ресурсов) – http://fcior.edu.ru , http://eor.edu.ru 

 8.  Каталог образовательных ресурсов сети Интернет для школы -     http://katalog.iot.ru/

9.  Справочная информация по математическим дисциплинам      

        http:/www. mathem.h1.ru/

10.     Образовательный математический сайт          http://www.exponenta/ru

 11.     Публикации по алгебре, геометрии, тригонометрии  

                     http://www.ega-math.narod.ru/

 12. Сеть творческих учителей           http://www.it-n.ru

 13. Материалы газеты «Математика»       http://mat.1september.ru

14.Интернет-проект «Задачи» . Помощь при подготовке уроков, кружков             http://www.problems.ru/