Пособие для учащихся «Алгоритм решения дробного рационального уравнения»
методическая разработка по алгебре (9 класс) на тему

В.К. Кузнецова,

учитель математики ГБОУ «Школа № 329» г.  Москва

кандидат педагогических наук

Готовимся к ОГЭ

Пособие для учащихся

 «Алгоритм решения дробного рационального уравнения»

1. Определение дробного рационального уравнения.

Дробно-рациональным уравнением называется уравнение, обе части которого являются рациональными выражениями, причем хотя бы один из них – дробным выражением.

Наличие дроби в выражении не свидетельствует о том, что это дробное выражение (уравнение), необходимо присутствие переменной в знаменателе дроби.

2. Алгоритм решения дробного рационального уравнения:

Пример 1.

     Р е ш е н и е:

1). Общий знаменатель (у + 3).

2). Умножим обе части на общий знаменатель дробей.

    ▪ (у + 3).

3). Получим:

у2 = у;

у2 – у = 0;

у (у – 1) = 0;

у = 0     или        у – 1 = 0;

                        у = 1.

4). При обоих значениях у знаменатель не обращается в нуль.

Ответ: 0; 1.

Пример 2.

     Р е ш е н и е:

 ;

1). Общий знаменатель дробей (х – 2).

2). Умножим обе части на общий знаменатель дробей.

3). Получим:

2х2 = 7х – 6;

2х2 – 7х + 6 = 0,

D = (–7)2 – 4 · 2 · 6 = 49 – 48 = 1, D> 0, 2 корня.

x1 = = 2; x2 = = 1,5.

Если х = 2, то х – 2 = 0.

Если х = 1,5, то х – 2 ≠ 0.

Ответ: 1,5.

Пример 3.

   .

   Р е ш е н и е:

   1).  Общий знаменатель дробей (х + 7) (х – 1).

   2). Умножим обе части на общий знаменатель

   3). Получим:

(2х – 1) (х – 1) = (3х + 4) (х + 7);

2х2 – 2х – х + 1 = 3х2 + 21х + 4х + 28 = 0;

2х2 – 2х – х + 1 – 3х2 – 21х – 4х – 28 = 0;

–х2 – 28х – 27 = 0;

х2 + 28х + 27 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х1 = –27, х2 = –1.

Если х = –27, то (х + 7) (х – 1) ≠ 0.

Если х = –1, то (х + 7) (х – 1) ≠ 0.

Ответ: –1

Другой способ исключения посторонних корней.

1. Сначала определить ОДЗ (любые числа, кроме тех, которые обращают знаменатель в нуль).
2.  В конце проверить, входят ли полученные корни в ОДЗ или нет.

Например,

1. Решить уравнение:

 – 4 = 0;                          ОДЗ:         х + 5 ≠ 0, х ≠ –5.

1). Общий знаменатель (х + 5)

2). Умножим обе части уравнения на общий знаменатель

3). Получим:                                                

2х – 5 – 4 (х + 5) = 0;

2х – 5 – 4х – 20 = 0;

–2х – 25 = 0;

–2х = 25;

х = –12,5.

4). Учитывая ОДЗ, получим

Ответ: –12,5.

2. Решить уравнение:

                ОДЗ: х.

1). Общий знаменатель 4х

2). Умножим обе части уравнения на общий знаменатель

3). Получим:

х2 – 4 = 2 (3х – 2);

х2 – 4 = 6х – 4;

х2 – 6х = 0;

х (х – 6) = 0;

х = 0     или        х – 6 = 0; х = 6.

4). Учитывая ОДЗ, получим

Ответ: 6.