Решение экономических задач с помощью таблицы в ЕГЭ
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс)
Решение экономических задач с помощью таблицы в ЕГЭ, 17 задание
Скачать:
Предварительный просмотр:
Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение гимназия
г. Вятские Поляны Кировской области, ул. Гагарина, д.17, факс/телефон
(83334) 6-29-29 e-mail: vpschool3@mail.ru, сайт: гимназия-вп.рф
Решение экономических задач с помощью таблицы в ЕГЭ
Составила: Гатауллина Гульфия Анасовна
учитель математики
МКОУ гимназии г. Вятские Поляны
Кировской области
2019
Оглавление
Задачи для самостоятельного решения 11
Введение
В условиях современных требований к выпускникам средней школы при поступлении в ВУЗы, профилирующие предметы которых связаны с математической наукой, ЕГЭ по математике профильного уровня расширен.
С 2015 года в него добавлено экономическая (банковская) задача. Эта задача ориентирована на реальную жизнь. В этих заданиях рассматриваются идеализированные жизненные ситуации, которые являются некоторыми текстовыми упрощениями, моделями, реально возникающих, например, при обращении в банк, покупке или продаже ценных бумаг, выпуск производственной продукции и получение прибыли.
За правильное решение задания № 17 на ЕГЭ можно получить три балла.
В своей работе я решила обратиться к рассмотрению решения таких задач, потому, что с одной стороны по ним представлено не много материала в открытых источниках, а с другой – было большое желание разобраться в их решении на собственном опыте.
Рассмотрим один из подходов к решению задач с «экономическим содержанием» с помощью таблицы на примере следующих задач.
Примеры решения задач
1) В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
-каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?
Решение:
Пусть 𝑛− срок кредита
Составим таблицу:
Год | Долг на начало года | Основной платёж | Дополнительный платёж |
1 | 28 | ||
… | |||
𝑛 |
Очевидно, что наибольший годовой платёж будет в первом году (потому что платежи равномерно уменьшаются в течение 𝑛 лет)
Наибольший годовой платёж = 9 млн
𝑛 = 14
В таблице все значения становятся известными:
Год | Долг на начало года | Основной платёж | Дополнительный платёж |
1 | 28 | 7 | |
… | |||
14 | 2 | 2 |
Общая сумма выплат (ОСВ) – это все основные платежи и все дополнительные платежи (сумму всех дополнительных платежей найдём с помощью формулы суммы первых 𝑛 членов арифметической прогрессии)
Сумма первых n членов арифметической прогрессии
80,5
Ответ: 80,5 млн
2) В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж составит 1,25 млн рублей?
Решение:
Пусть 𝑛− срок кредита
Составим таблицу:
Год | Долг на начало года | Основной платёж | Дополнительный платёж |
1 | 9 | ||
… | |||
𝑛 |
Очевидно, что наименьший годовой платёж будет в последнем году (потому что платежи равномерно уменьшаются в течение 𝑛 лет)
Наибольший годовой платёж = 1.25 млн
𝑛 = 9
В таблице все значения становятся известными:
Год | Долг на начало года | Основной платёж | Дополнительный платёж |
1 | 9 | 2.25 | |
… | |||
9 | 1 | 1 |
Общая сумма выплат (ОСВ) – это все основные платежи и все дополнительные платежи (сумму всех дополнительных платежей найдём с помощью формулы суммы первых 𝑛 членов арифметической прогрессии)
Сумма первых n членов арифметической прогрессии
20.25
Ответ: 20.25 млн
3) В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей?
Решение:
Пусть 𝑛− срок кредита
Составим таблицу:
Год | Долг на начало года | Основной платёж | Дополнительный платёж |
1 | 16 | ||
… | |||
𝑛 |
Общая сумма выплат (ОСВ) – это все основные платежи и все дополнительные платежи (сумму всех дополнительных платежей найдём с помощью формулы суммы первых 𝑛 членов арифметической прогрессии)
Сумма первых n членов арифметической прогрессии
Ответ: 10
4) 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 𝑟% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на
30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите 𝑟.
Решение:
Пусть 𝑥 − сумма кредита
Тогда 1,3𝑥 − общая сумма выплат, превышающая сумму кредита на 30%
Составим таблицу:
Месяц | Долг на начало месяца | Основной платёж | Дополнительный платёж |
1 | 𝑥 | ||
2 | |||
… | |||
19 |
Общая сумма выплат (ОСВ) – это все основные платежи и все дополнительные платежи (сумму всех дополнительных платежей найдём с помощью формулы суммы первых 𝑛 членов арифметической прогрессии)
Сумма первых n членов арифметической прогрессии
Ответ: 3
5) К 15 декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тыс. рублей меньше долга на 15-ечисло предыдущего месяца;
- к 15 –му числу 21 месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного погашения составит 1604 тыс. рублей.
S тыс.руб – сумма, которую планируют взять в кредит.
3%=0,03
№ | Долг по кредиту на начало месяца | Сумма, на которую возрастает долг на 1-е число каждого месяца | Выплата |
1. | s | s∙0,03=0,03 s | 30+0,03 s |
2. | s-30 | 0,03 (s-30) | 30+0,03 (s-30) |
3. | s-2∙30 | 0,03(s-2∙30) | 30+0,03(s-2∙30) |
4. | s-3∙30 | 0,03(s-3∙30) | 30+0,03(s-3∙30) |
5. | s-4∙30 | 0,03(s-4∙30) | 30+0,03(s-4∙30) |
… | …. | …. | … |
20 | s-19∙30 | 0,03(s-19∙30) | 30+0,03(s-19∙30) |
21 | s-20∙30 | 0,03(s-20∙30) | s-20∙30+0,03(s-20∙30) |
Итого: | 1604 тыс. рублей |
Составим и решим уравнение:
Общая сумма выплат представляет собой сумму суммы, которую планируют взять в кредит, и сумму сумм, на которые возрастает долг на 1-е число каждого месяца.
s +0,03 s +0,03 (s-30)+ 0,03(s-2∙30)+….+ 0,03(s-20∙30)=1604
s +0,03∙(s+( s-30)+(s-2∙30)+… (s-20∙30))=1604
s+0,03∙( 21s- (30+2∙30+…20∙30)+=1604
30;2∙30;…;20∙30-арифметическая прогрессия, а1 =30, а21 =20∙30
S=*20=6300
s+0,03∙( 21s-6300)=1604
1,63 s-189=1604
1,63s=1793
s=1793:1,63
s=1100
Ответ: 1100 тыс. Рублей
Задачи для самостоятельного решения
- Жанна взяла в банке в кредит 1,2 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2 %, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна вернёт банку в течение первого года кредитования?
- Александр взял кредит в банке на срок 9 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на 12%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Александром. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину.
Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Александром банку (сверх кредита)?
3) 15-го января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условие его выплаты таковы:
- 1-го числа каждого месяца долго возрастёт на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит?
Заключение
Я считаю введение таких задач чрезвычайно полезным так как, работая над моделями, сформулированными в условиях, они заставляют задумываться о реальной жизни. О том, что кредиты, отношения с банками, игра на бирже, колебания курсов ценных бумаг, начисление процентов дело сложное и требует больших знаний. К этому нельзя относиться легкомысленно. С чего начинать решать экономические задачи – очень внимательно читать условия задачи и по шагам распределить действия, затем постараться математически выразить их и постараться прийти к ответу.
Список литературы
1. Ященко И. В. и др. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2018 году. Базовый и профильный уровни. Методические указания / И. В. Ященко, С. А. Шестаков, А. С. Трепалин. – М.: МЦНМО, 2015. – 288 с.
2. Демонстрационный вариант контрольно-измерительных материалов единого государственного экзамена 2018 года по математике. Профильный уровень. Сайт http://www.ege.edu.ru/
3. Спецификация контрольно-измерительных материалов для проведения в 2018 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень. Сайт http://www.ege.edu.ru/
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
1) В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; - в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?
Решение
2 ) В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: – каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; – в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж составит 1,25 млн рублей ?
Решение
3 ) В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: – каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; – в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. На сколько лет планируется взять кредит, если известно , что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей?
Решение
4 ) 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы: – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 𝑟% по сравнению с концом предыдущего месяца; – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; – 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно , что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30 % больше суммы, взятой в кредит. Найдите 𝑟.
Решение
Список литературы 1. Ященко И. В. и др. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2018 году. Базовый и профильный уровни. Методические указания / И. В. Ященко, С. А. Шестаков, А. С. Трепалин. – М.: МЦНМО, 2015. – 288 с. 2. Демонстрационный вариант контрольно-измерительных материалов единого государственного экзамена 2018 года по математике. Профильный уровень. Сайт http :// www . ege . edu . ru / 3. Спецификация контрольно-измерительных материалов для проведения в 2018 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень. Сайт http :// www . ege . edu . ru /
Спасибо за внимание!
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2011/11/01/picture-28999.jpg)
Решение логических задач при помощи таблиц
В презентации представлены разноуровневые задания. Слайды удобно использовать для решения задач на интерактивной доске....
Решение экономических задач с помощью арифметической и геометрической прогрессии
Предлагаю вашему вниманию урок, который я провожу при изучении темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» в 9 классе. Материал урока позволяет показать способ решения экономических задач ...
![](/sites/default/files/pictures/2011/11/30/picture-38274.jpg)
Урок по теме "Решение экономических задач с помощью электронных таблиц" "
Урок проводится в профильном информационно-технологическом 11 классе при изучении темы "Электронные таблицы"В ходе урока выполняются задачи:Развитие экономической и информационной компетентности...
![](/sites/default/files/pictures/2013/01/23/picture-185487-1358940634.jpg)
Практические работы по учебной дисциплине МАТЕМАТИКА по теме «Решение текстовых задач с помощью таблицы»
Решение тестовых задач для многих учащихся является трудной практически невозможной работой, т.к. много условий, непонятно что брать за «Х, У, Z», и уж совсем непонятно как ус...
Материал к уроку "Решение логических задач с помощью таблиц"
Содержит конспект урока, презентацию к уроку, карточки с заданиями, ребусы. Можно успользовать как в 6 классе по ФГОС, так и в 7 классе УМК Л.Л.Босова...
![](/sites/default/files/pictures/2013/10/07/picture-155762-1381167173.jpg)
Решение логических задач с помощью таблиц и кругов Эйлера
В презентации представлен разбор решений логических задач с использованием двух методов - табличного и кругов Эйлера....
![](/sites/default/files/pictures/2014/04/20/picture-439615-1398008601.jpg)
Решение логических задач с помощью таблиц
Данный материал можно использовать в 7 классе при изучении темы "Решение логических задач с помощью таблиц" . Материала позволяет расширить представления учащихся о табли...