«Методы решения иррациональных неравенств».
методическая разработка по алгебре (10 класс)
«Методы решения иррациональных неравенств».
Если в неравенство входят функции под знаком корня, то такие неравенства называют иррациональными.
Стандартный метод решения этих неравенств заключается в возведении обеих частей неравенства в нужную степень.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 175 КБ |
Предварительный просмотр:
«Методы решения иррациональных неравенств».
Ахметова Гюзяль Абузяровна-
учитель математики МБОО-Старокулаткинская СШ №1.
2016 г.
Методы решения иррациональных неравенств.
Если в неравенство входят функции под знаком корня, то такие неравенства называют иррациональными.
Стандартный метод решения этих неравенств заключается в возведении обеих частей неравенства в нужную степень: если в неравенство входит квадратный корень, то в квадрат; входит корень третьей степени − в куб и т. д. Однако, Правило : Если f (x) ≥ 0, g (x) ≥ 0 на множестве X, то неравенства
равносильны на этом множестве , преобразования неравенств, возводить в квадрат, не нарушая равносильности, можно только неравенство, у которого обе части неотрицательны. При возведении же в квадрат неравенств, части которых имеют разные знаки, могут получиться неравенства, как равносильные исходному, так и неравносильные ему. Простой пример: –1 < 3 − верное неравенство, − тоже верное неравенство. Несмотря на то, что –4 < –1 − неравенство верное, неравенство уже верным не является.
Как получить равносильные системы для некоторых часто встречающихся типов неравенств.
Неравенства вида:
Если x лежит в ОДЗ: f (x) ≥ 0, то левая часть неравенства существует и неотрицательна. Поскольку для всех x, являющихся решением данного неравенства, правая часть больше левой, то g (x) > 0. Следовательно, обе части неравенства неотрицательны (для тех x, которые являются решениями неравенства, другие x нас не интересуют). Значит, возведение в квадрат не нарушает равносильности и можно записать равносильную нашему неравенству систему неравенств:
Пример 1
Решение:
Неравенство равносильно системе: Ответ. |
Пример 2
Решение:
Ответ. |
Неравенства вида
ОДЗ данного неравенства f (x) ≥ 0. Пусть для каких-то x из ОДЗ g (x) < 0. Тогда, очевидно, все эти x − решения, так как при этих x левая часть определена (x ОДЗ) и неотрицательна, в то время как правая часть g (x) < 0.
Для других x из ОДЗ g (x) ≥ 0. Для них обе части неравенства неотрицательны, и его можно возвести в квадрат: Значит, данное неравенство равносильно совокупности неравенств:
Заметим, что в последнюю систему не входит требование f (x) ≥ 0. Оно и не нужно, так как выполняется автоматически ибо полный квадрат всегда неотрицателен.
Пример 3
Решите неравенство
Решение:
Пример 4
Решение:
ОДЗ данного неравенства: Будем рассматривать только эти x, другие x не могут являться решениями данного неравенства. 1. Если то есть то все такие x из ОДЗ, удовлетворяющие этому условию, являются решениями неравенства. Значит, все x ≤ –3 − решения неравенства. 2. Если то есть а с учетом ОДЗ это означает, что то обе части неравенства неотрицательны. Возведём обе части неравенства в квадрат: Уравнение имеет корни и Значит, решением неравенства являются С учётом получается, что на данном множестве решениями являются Объединяя результаты пунктов 1 и 2, получаем Запишем это решение другим способом: Ответ. |
Неравенства вида
ОДЗ данного неравенства: Обе части неравенства неотрицательны в ОДЗ, и потому можно возводить в квадрат. Получим равносильную систему
Заметим, что из неравенства следует, что то есть дополнительно это требовать и включать это неравенство в систему не нужно.
Отметим полезное следствие. Предположим, что ОДЗ неравенства уже найдено, и мы будем отбирать решения только из ОДЗ (это разумно, поскольку вне ОДЗ решений нет). Тогда исходное неравенство равносильно следующему: а та система, которой это неравенство равносильно, может быть представлена (для x из ОДЗ) в виде Следовательно, в ОДЗ
Эти же рассуждения применимы и для знака неравенства ≥. Отсюда можно сделать вывод:
Знак разности совпадает со знаком выражения
Отсюда же получается ещё одно следствие:
в ОДЗ:
Пример 5
Решить неравенство:
Перейдём к равносильной системе:
Решая эту систему методом интервалов, получаем:
Ответ.
Пример 6
Решение:
ОДЗ неравенства:
Заметим, что в ОДЗ x ≥ 0, поэтому существует и значит,
Мы воспользовались здесь тем, что в ОДЗ x ≥ 0, (x – 5)(x – 6) ≥ 0 и потому существуют выписанные в последней строчке корни. Кроме того, мы вынесли за скобку который по вышесказанному существует. Этот корень неотрицателен и потому не влияет на знак неравенства, следовательно, на него можно сократить, не забывая, что он может ещё обратиться в нуль и те x, для которых корень обращается в нуль, являются решениями неравенства. Таким образом, в ответ необходимо включить число x = 5. При x = 6 корень обращается в нуль, но x = 6 не входит в ОДЗ неравенства. Воспользуемся теперь тем, что знак разности корней совпадает со знаком разности подкоренных выражений. Имеем:
Учтём теперь ОДЗ и получим:
Ответ.
Неравенства вида
ОДЗ данного неравенства: Предположим, что функции f (x) и g (x) не имеют общих корней. Рассмотрим вспомогательное неравенство
(*) |
1. Если g (x) < 0, то для любого x из ОДЗ выполнено
2. Если g (x) ≥ 0, то выражение может иметь любой знак, но выражение всегда строго положительно. Умножая обе части неравенства (*) на строго положительное число не меняя знака неравенства, перейдём к равносильному неравенству
Таким образом, в ОДЗ
Значит, при g (x) ≥ 0, знак разности совпадает со знаком разности в ОДЗ.
Получаем следующие условия равносильности.
Запоминать приведённые системы неравенств не нужно, важно понимать, как они получаются.
Пример 7
Решить неравенство:
Решение:
Выполним равносильные в ОДЗ преобразования :.
Не случайно сделано последнее преобразование. Важно знать, чему конкретно равняется функция g (x) = 2x – 8. Часто ошибкой является считать, что g (x) = 2x + 8.
ОДЗ данного неравенства: то есть Перейдём к равносильной системе.
С учётом ОДЗ сразу получаем:
Ответ.
Вывод.
Иррациональными называются неравенства, в которых переменная содержится под знаком корня.
Иррациональное неравенство сводится к равносильной системе (или совокупности систем) неравенств:
Литература:
1.Математика: алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубленный уровни /( Ш.А. Алимов, Ю.М.Колягин и др.)-М. : Просвещение, 2016.
2.Дорофеев Г., Потапов М., Розов Н. Математика для поступающих в вузы. М.: Дрофа, 2002.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2011/11/02/picture-29139.jpg)
Методическая разработка урока алгебры в 11 классе "Решение иррациональных неравенств"
Тема "Иррациональные уравнения" изучается в провильном математическом классе. По этой теме можно подобрать множество интересных нестандартных задач. Упражнения к уроку подбирала из вариантов ЕГЭ, диаг...
Методическая разработка урока по математике в 10 классе по теме:"Решение иррациональных неравенств"
Урок-закрепление , углубление знаний учащихся по решению иррациональных неравенств....
![](/sites/default/files/pictures/2014/06/14/picture-457141-1402762287.jpg)
Конспект занятия элективного курса "Методы решения иррациональных неравенств"
Рассмативаются методы решения разных иррациональных неравенств, в том числе с параметрами....
![](/sites/default/files/pictures/2016/10/21/picture-835174-1477073167.jpg)
Методы решения иррациональных уравнений и неравенств
Иррациональные уравнения и неравенства часто встречаются на ЕГЭ. Разберем несколько примеров....
![](/sites/default/files/pictures/2017/01/28/picture-884811-1485567841.jpg)
Материал для элективного курса "Решение иррациональных неравенств методом интервалов"
Решение иррациональных неравенств методом интервалов...
![](/sites/default/files/pictures/2024/02/16/picture-1354041-1708091478.jpg)
Конспект урока для 11 класса по теме "Иррациональные уравнения и приемы преобразования уравнений. Методы решения иррациональных уравнений"
Конспект урока для 11 класса пр теме "Иррациональные уравнения и приемы преобразования уравнений. Методы решения иррациональных уравнений"...