Симметрические многочлены
презентация к уроку по алгебре (10 класс)

Слайд 1

Слайд 2

Познакомиться: с симметрическими многочленами от двух и трёх переменных; с о способом нахождения коэффициентов многочлена Научиться применять это при решении задач. Цель урока:

Слайд 3

Многочлен от x , y называется симметрическим, если он не изменяется при замене x на y , а y на x . Симметрические многочлены u =x + y и v = x · y называются элементарными симметрическими многочленами от x и y . Определение:

Слайд 4

Примеры 1) x 2 + y 2 2) 2а 2 - 3ас+2с 2 3 ) ( x 2 1 + x 2 2 ) 2 -3 x 3 1 x 2 ; 4 )

Слайд 5

Всякую степенную сумму s n = x n +y n можно представить в виде многочлена от u =x + y и v = x · y О сновная теорема о симметрических многочленах Любой симметрический многочлен от x и y можно единственным образом представить в виде многочлена от u =x + y и v = x · y

Слайд 6

х 2 + ху + у 2 = u 2 - 2 v + v = u 2 - v х 2 + у 2 = ( х + у) 2 - 2ху = u 2 - 2 v , х 3 + у 3 = ( х + у)( х 2 - ху + у 2 ) = u ( u 2 - 2 v – v ) = u 3 - 3 uv , х 4 + у 4 = ( х 2 + у 2 ) 2 - 2х 2 у 2 = ( u 2 - 2 v ) 2 - 2 v 2 = u 4 - 4 u 2 v + 2 v 2 ,

Слайд 7

Назовем многочлен f ( x , y,z ) симметрическим от трех переменных , если при любой перестановке этих переменных он остается неизменным. В частности, элементарные симметрические многочлены от трех переменных x , y и z – это u =x+y+z , v =xy + xz + yz и h =xyz . Определение: Например: ( x+y )( y+z )( z+x )

Слайд 8

Разложение на множители многочлена P n (x ), имеющего n действительных корней x 1 , x 2, …, x n : P n (x )=a 0 x n +a 1 x n-1 +…+a n-1 x+a n = =a 0 (x-x 1 )(x-x 2 )(x-x 3 )…(x- x n ).

Слайд 9

Метод неопределенных коэффициентов Если раскрыть скобки в правой части равенства на предыдущем слайде и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х многочленов левой и правой его частей, то получим: *Равенства (1) x 1 +x 2 +x 3 +…+ x n =-a 1 /a 0 , x 1 x 2 +x 1 x 3 +…+x n-1 x n =a 2 /a 0 , x 1 x 2 x 3 +x 1 x 2 x 4 +…+x n-2 x n-1 x n =-a 3 /a 0 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 1 x 2 x 3 … x n =(-1) n *a n /a 0 .

Слайд 10

Заключение Равенства (1) называют формулами Виета (Ф. Виет вывел эти формулы для n < 5). При n=2 имеем знакомые x 1 +x 2 =-a 1 /a 0 , x 1 x 2 =a 2 /a 0 . Можно заметить, что многочлены левой части равенств (1) и есть элементарные симметрические многочлены.

Слайд 11

Не решая данное квадратное уравнение, составьте квадратное уравнение, корни которого обратны корням уравнения:

Слайд 13

Известно, что х+у=1 и ху=-2. Найти значение выражения х 6 +у 6 . № 338

Слайд 14

Глава 3 § 7 № 337, 334, 340 Домашнее задание: