Научная статья на тему: "Симметрические многочлены"
статья по алгебре

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О СИММЕТРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНАХ.

В математике часто приходится рассматривать многочлены, зависящие не от одного, а от двух и более неизвестных, которые вызывают у школьников некоторые затруднения при решении.

Существуют многочлены, в которые все неизвестные входят симметрическим образом и не меняются при перестановке неизвестных.  Такие многочлены называются симметрическими. Примерами симметрических многочленов будут: сумма и произведение всех неизвестных, сумма квадратов или сумма кубов всех неизвестных и т.д.

В данной статье подробно рассмотрим симметрические многочлены от двух неизвестных, а также основную теорему о симметрических многочленах от двух переменных и разберем примеры решения задач по применению основной теоремы.

Симметрические многочлены от x и у.

Многочлен от x и y называют симметрическим, если он не изменяется при замене x на y, а y на x.[4]

Например,  – симметрический. Напротив, многочлен 2 не является симметрическим, так как при замене x на y, а y на x, он превращается в многочлен 2, который не равняется первоначальному.

Также приведем важнейшие примеры симметрических многочленов.

Как известно из арифметики, сумма двух чисел при перестановке слагаемых не меняется, x+y=y+x для любых чисел x и y. Из этого равенства следует, что многочлен x+y является симметрическим. Точно так же из закона коммутативности умножения xy=yx следует, что произведение xy является симметрическим многочленом. Эти многочлены являются самыми простыми, и их называют элементарными симметрическими многочленами от x и y. Обозначим: =x+y, =xy. [4]

Далее сформулируем основную теорему о симметрических многочленах от двух переменных:

Любой симметрический многочлен от x и y можно представить в виде многочлена от =x+y и =xy. [4]

Главная цель моей работы состоит в том, чтобы показать примеры решения задач по применению основной теоремы о симметрических многочленах. Для этого рассмотрим следующие примеры. 

Применения к элементарной алгебре.

1. Решение систем уравнений.

Часто встречаются системы уравнений, у которых левые части симметрично зависят от неизвестных x, y. В этом случае удобно ввести новые неизвестные =x+y и =xy.

Пример:

Пусть =x+y и =xy. Так как , находим

Получаем неравенство:    Отсюда находим , подставив  в первое    уравнение:  => .

Итак, , = > получаем следующую систему уравнений   Решая методом подстановки получаем:

2. Квадратные уравнения.

Задачи, в которых требуется вычислить некоторые выражения, содержащие корни заданного квадратного уравнения, также с успехом решается при помощи симметрических многочленов.

Пример: Составить квадратное уравнение , корнями которого являются числа ,

 , где - корни квадратного уравнения

Для решения снова воспользуемся формулами Виета: ,

Далее вычислим p и q.

 =>  искомое квадратное уравнение.

3. Неравенства.

С помощью симметрических многочленов можно привести доказательство многих неравенств.

Пример: Доказать, что если a и b – действительные числа, удовлетворяющие неравенству ,    то

Так как по условию задачи  то неравенство  доказано.

Рассмотрев довольно непростые примеры решения задач приходим к выводу, что основной проблемой для школьников является решение систем уравнений и неравенств высших степеней. Поэтому существует метод, основанный на использовании теории так называемых симметрических многочленов. И в отличие от метода исключения, он приводит не к повышению, а к понижению степени уравнений. Теория симметрических многочленов по сути несложная, в принципе понятная и позволяет решать не только системы уравнений, но и различные другие алгебраические задачи.

Литература

1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. –М.,1971.
2. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. –М., 1979
3. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. –М.,1979
4. Болтянский Н.Г., Виленкин Н.Я. Симметрия в алгебре.  –М.,2002
5. Агаханов Н.Х. Всероссийские олимпиады школьников по математике 1993 – 2006. –М., Издательство МЦНМО, 2007