Решение квадратных уравнений
статья по алгебре (8 класс)

Решение квадратных уравнений

 Квадратные уравнения

Уравнение вида  называют квадратным уравнением, где a – старший коэффициент, b – средний коэффициент, с – свободный член.

В зависимости от коэффициентов а, b и с – уравнение может быть, полным или не полным, приведенным или не приведенным.

Неполные квадратные уравнения

Рассмотрим способы решения неполных квадратных уравнений:

1)  Начнем  разобраться с решением первого вида неполных квадратных уравнений при c=0. Неполные квадратные уравнения вида a·x2+b·x=0 позволяет решить метод разложения на множители. В частности метод вынесения за скобки.

Очевидно, мы можем , находящийся в левой части уравнения, для чего достаточно вынести за скобки общий множитель x. Это позволяет перейти от исходного неполного квадратного уравнения к равносильному уравнению вида: x·(a·x+b)=0.

А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x=0 или a·x+b=0, последнее из которых является линейным и имеет корень x=−.

Итак, неполное квадратное уравнение a·x2+b·x=0 имеет два корня 

x=0 и x=−.

2)  Теперь рассмотрим, как решаются неполные квадратные уравнения, в которых коэффициент b равен нулю, а c≠0, то есть, уравнения вида a·x2+c=0. Мы знаем, что перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, а также деление обеих частей уравнения на отличное от нуля число дают равносильное уравнение. Поэтому можно провести следующие равносильные преобразования неполного квадратного уравнения a·x2+c=0:

• перенести c в правую часть, что дает уравнение a·x2=−c,
• и разделить обе его части на a, получаем .

Полученное уравнение позволяет сделать выводы о его корнях.

Если число  – отрицательное, то уравнение  не имеет корней. Это утверждение следует из того, что квадрат любого числа есть число неотрицательное.

Если же   – положительное число, то дело с корнями уравнения  обстоит иначе. В этом случае, нужно вспомнить, что корень уравнения есть, им является число. Корень уравнения вычисляется по схеме:

Известно, что подстановка в уравнение вместо x его корней обращает уравнение в верное равенство. 

Обобщим информацию этого пункта. Неполное квадратное уравнение  a·x2+c=0 равносильно уравнению , которое

• не имеет корней, если ,
• имеет два корня, если .

3) Решения неполных квадратных уравнений, в которых коэффициенты b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида a·x2=0. Уравнению a·x2=0 следует  x2=0, которое получается из исходного делением его обеих частей на отличное от нуля число a. Очевидно, корнем уравнения x2=0 является нуль, так как02=0. Других корней это уравнение не имеет.

Итак, неполное квадратное уравнение a·x2=0 имеет единственный корень x=0.

Пример 3. Решите уравнения: а) x2=5x, если уравнение имеет несколько корней, то в ответе укажите меньший из них;  

б) , если уравнение имеет несколько корней, то в ответе укажите больший из них;      

в) x2 −9=0, если уравнение имеет несколько корней, то в ответе укажите меньший из них.

Решение.

a)

 получили неполное квадратное уравнение к котором отсутствует свободный член. Решаем методом вынесения за скобки.

Уравнение умеет два корня, меньшее из которых является 0.

Ответ: 0.

б) . Аналогично предыдущему примеру применяем метод вынесения за скобки

.

В ответе необходимо указать больший из корней. Таковым является число 2.

Ответ: 2.

в) . Данное уравнение является неполным квадратным уравнением, у которого отсутствует средний коэффициент.

Меньшим из данных корней является число – 3.

Ответ: –3.

Полные квадратные уравнения.

1. Дискриминант, основная формула корней квадратного уравнения

Для решения квадратных уравнений вида  существуют формула корней.

Запишем формулу корней квадратного уравнения пошагово: 

1)  D=b2−4·a·c – так называемый дискриминант квадратного уравнения.

а) если D<0, то уравнение не имеет действительных корней;

б) если D>0, то уравнение не имеет один корень:

в) если D<0, то уравнение не имеет два корня:

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

На практике при решении квадратных уравнения можно сразу использовать формулу корней, с помощью которой вычислить их значения. Но это больше относиться к нахождению комплексных корней.

Однако в школьном курсе алгебры обычно речь идет не о комплексных, а о действительных корнях квадратного уравнения. В этом случае целесообразно перед использованием формул корней квадратного уравнения предварительно найти дискриминант, убедиться, что он неотрицательный (в противном случае можно делать вывод, что уравнение не имеет действительных корней), и уже после этого вычислять значения корней.

Приведенные рассуждения позволяют записать алгоритм решения квадратного уравнения. Чтобы решить квадратное уравнение a·x2+b·x+c=0, надо:

• по формуле дискриминанта D=b2−4·a·c вычислить его значение;
• заключить, что квадратное уравнение не имеет действительных корней, если дискриминант отрицательный;
• вычислить единственный корень уравнения по формуле , если D=0;
• найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней , если дискриминант положительный.

2. Дискриминант, вторая формула корней квадратного уравнения (при четном втором коэффициенте).

Для решения квадратных уравнений вида , при четном коэффициенте b=2k  существуют другая формула.

Запишем новую формулу корней квадратного уравнения при : 

1)  D’=k2−a·c – так называемый дискриминант квадратного уравнения.

а) если D’<0, то уравнение не имеет действительных корней;

б) если D’>0, то уравнение не имеет один корень:

в) если D’<0, то уравнение не имеет два корня:

Пример 4.  Решите уравнение 2x2 −3x+1=0.. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Решение. В первом случае имеем следующие коэффициенты квадратного уравнения: a=2,b=-3 и c=1. Согласно алгоритму, сначала надо вычислить дискриминант D=b2−4·a·c=(-3)2−4·2·1=9-8=1. Так как 1>0, то есть, дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле корней 

У нас получилось два корня больший из которых является число 1.

Ответ: 1.

Пример 5. Решите уравнение x2 −21=4x.

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Решение. По аналогии с предыдущим примером перенесем 4ч в левую сторону от знака равенства  и получим:

В данном случае имеем следующие коэффициенты квадратного уравнения: a=1, k=-2 и c=−21. Согласно алгоритму, сначала надо вычислить дискриминант D’=k2−a·c=(-2)2−1·(−21)=4+21=25. Число 25>0, то есть, дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле корней 

Ответ: 7.

Частные методы решения квадратных уравнений.

1) Связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Теорема Виета.

Формула корней квадратного уравнения  выражает корни уравнения через его коэффициенты. Отталкиваясь от формулы корней, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Наиболее известной и применимой формулой называемой Теоремой Виета.

Теорема: Пусть  - корни приведенного квадратного уравнения . Тогда произведение корней равна свободному члену, а сумма корней противоположному значению второго коэффициента:

Используя уже записанные формулы можно получить и ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. К примеру, можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты.

Пример 6. а) Решите уравнение x2 −6x+5=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

б) Решите уравнение x2 +7x+10=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

в) Решите уравнение x2 ─5x─14=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Решение.

а) Решите уравнение x2 −6x+5=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Применяя теорему Виета, записываем формулы для корней

Рассуждая логически делаем вывод, что . Выбираем меньший из корней

Ответ: 1

б) Решите уравнение x2 +7x+10=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Применяя теорему Виета, записываем формулы для корней

Рассуждая логически делаем вывод, что . Выбираем больший из корней

Ответ: ─2.

в) Решите уравнение x2 ─5x─14=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Применяя теорему Виета, записываем формулы для корней

Рассуждая логически делаем вывод, что . Выбираем меньший из корней

Ответ: ─2.