Задачи повышенной сложности из 2 части ЕГЭ по математике
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс)

Публикация на тему: Задачи повышенной сложности из 2 части ЕГЭ по математике

Федорова Р.С. - учитель математики МАОУ «СОШ №9» г. Нурлат Республики Татарстан.

Ранее я работала в сельской школе (2015-2017 гг.). На пробном профильном ЕГЭ по математике ученица, имеющая знания по данному предмету  между «3» и «4» правильно решила задание 19 (а), получила при этом  1 первичный балл. Просмотрев задание 19,  пришла к выводам:

- пункт «а» в задаче решается практически сразу, при этом часто используется метод «Оценка плюс пример»;

- пункт «б» часто сводится к решению нестандартных уравнений в целых числах с несколькими переменными;

- пункт «в» часто сводится к решению нестандартных неравенств.

Пункты «а»  и «б» решаются относительно быстро, их решение может освоить ученик со средней успеваемостью, а вот для решения пункта «в» нужна специальная подготовка.

Задание 19 – задание высокой сложности и оценивается в 4 первичных балла и пересчитываются в 9-10 тестовых балла! Для поступления в ВУЗ эти баллы могут  сыграть решающую роль. Я считаю, раз это загадочное задание можно научиться решать, тогда это просто необходимо сделать для получения достойных баллов по профильному ЕГЭ по математике.

Задание 19 на профильном ЕГЭ по математике направлено на выявление у учеников:

-  способности оперировать числами и их свойствами;

- умения строить и исследовать простейшие математические модели.

Что необходимо знать для решения задания №19?

1. Знания из области теории чисел: делимость чисел, наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное, основная теорема арифметики, признаки делимости на 3, на 4, на 5, на 8, 9, 10 и 11. 

2. Знания по темам: Арифметическая прогрессия и Геометрическая прогрессия.

3. Освоение метода «Оценка плюс пример».

4. Освоение алгоритмов решения:  уравнения в целых числах с несколькими переменными и нестандартных неравенств.

5. Развитие культуры математических рассуждений для правильного оформления решения задания.

Из опыта работы с 19-м заданием считаю, что после решения десятка задач, приходит определенное понимание сути их решения,  и дальше вы сможете самостоятельно решить практически любое из них, по крайней мере, пункты «а» и «б».

Задание 19 делится на 4 группы:

1. Числа и их свойства.

2. Числовые наборы на карточках и досках.

3. Последовательности и прогрессии.

4. Сюжетные задачи.

Для того, чтобы вызвать интерес к решению данного задания и появления мотивации «достижения успеха», на первом занятии рассматриваем по одному несложному заданию с каждой из вышеперечисленных групп по следующему алгоритму:

1. Один вариант задания 19 решаем вместе на доске подробно с разъяснением, при этом оставляем образец записи решения.

2. Другой вариант аналогичного задания с другими числами на доске решает ученик, пользуясь образцом.

3. Подобранные заранее аналогичные задания ученики получают как домашнее задание.  

Цель данной работы – научиться решать задания 19 и получить достойные баллы по профильному ЕГЭ по математике.

Рассмотрим фрагмент первого занятия и решение задач из второй и четвертой группы.

Первое занятие

2. Числовые наборы на карточках и досках

Задание 19, в. 19 [3]. Решаем вместе на доске подробно с разъяснением, при этом оставляем образец записи решения. 

Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Решение.

а) В результате получится «о» только тогда, когда одна из полученных сумм будет равна «0». Полученная сумма будет равна нулю только в случае сложения противоположных чисел, например: 7 + (-7) = 0, а далее произведение полученных сумм будет = 0.  

Но среди восьми данных чисел нет противоположных. Значит, сумма чисел ни на одной  карточке не равна 0. Поэтому всё произведение не может равняться нулю.

б) 1 подход к решению. Полученная сумма будет равна 1, если все множители будут равны 1. Если мы напишем на карточке с цифрой 1 на обратной стороне  (-2), сумма будет = -1 и т.д.  У нас все равно будет две пары (-5; 7) и (7; -5), которые в сумме дадут 2 и 2. Это невозможно.

2 подход к решению. Среди восьми данных чисел пять нечётных: 1, -3; -5; 7; 9.   Значит, на какой-то карточке попадётся два нечётных числа, и их сумма чётная. Поэтому всё произведение всегда будет чётно и не может равняться 1.

в) 1 подход к решению. Чтобы получить наименьшее целое положительное число нужно на обратной стороне писать такое число, чтобы разность модулей между ними была наименьшей, тогда полученные суммы будут или равны 1 или (-1), что при умножении дадут наименьшее произведение, например:

   1    -2    -3    4    -5    7    -8     9

  -2     1     4   -3     7   -5     9    -8

  -1    -1     1    1     2    2     1     1

Наименьшее целое неотрицательное число =  (-1) * (-1) * 1 * 1 * 2 * 2 * 1 * 1 * 1 = 4

2 подход к решению. Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, хотя бы на двух карточках с обеих сторон написаны нечётные числа, и сумма чисел на каждой из этих карточек чётная. Поэтому всё произведение делится на 4. Наименьшее целое положительное число, делящееся на 4, это 4. Оно получается при следующем наборе пар чисел на карточках: (1; −2); (−2; 1); (−3; 4); (4; −3); (−5; 7); (7; −5); (−8; 9); (9; −8).

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.

Задание 19 № 500966, [5]. Решает ученик, пользуясь образцом. 

Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел: −11, 12, 13, −14, −15, 17, −18, 19. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному из чисел: −11, 12, 13, −14, −15, 17, −18, 19. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 117?

в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться? 

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.

Д/з: Задание 19, в. 13 [4].

Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел:  -1, 2, 4, -6, 7, -8, -10, 12. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел -1, 2, 4, -6, 7, -8, -10, 12. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Ответ:  а) нет; б) нет; в) 16.

Д/з: Задание 19 № 514921,  [5].  

Каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11 по одному записывают на 10 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные 10 сумм перемножают.

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.

4. Сюжетные задачи

Задание 19 № 513263,  [5].  Решаем вместе на доске подробно с разъяснением, при этом оставляем образец записи решения. 

В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 600 000 рублей (размер премии каждого сотрудника - целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 100 купюр по 1000 рублей и 100 купюр по 5000 рублей.

а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить поровну?

б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 40 000 рублей, а остальные поделить поровну на 70 сотрудников?

в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий? 

Ответ: а) да; б) нет; в) 26.

Решение.

Дано:

∑ = 600 000 руб.

Р - премия каждого сотрудника

Р € Z, кратно 1000

100 к. по 1000 руб.

100 к. по 5000 руб.

а) Введем обозначения:

n – число сотрудников

n = 40 чел.

Премию  распределить поровну.

Разделим общую сумму в 600 000 руб. на 40, получим, что каждый должен получить по 15 000 руб.

Р = 600 000 : 40 = 15 000 руб.

Так как это число кратно и 1000 и 5000, то всем 40 сотрудникам можно раздать равную премию в указанных купюрах.

15 000 руб. = 3 * 5000 – каждому сотруднику.

Купюр по 5000 руб. 100 штук, значит 99 : 3 = 33 человека получит по 15 000 руб. = 3*5000 руб.

Далее 6 человек получит по 15 000 руб.  = 15 * 1000. На эту оплату уйдет 6*15 = 90 купюр по 1000 руб.

Осталась 1 купюра по 5000 руб. и 10 купюр по 1000 руб. Всего 15 000 руб. Эти деньги получит сороковой сотрудник. 33 + 6 + 1 = 40 чел.

б) Сумма, оставшаяся после выплаты ведущему специалисту 40 000 руб., будет равна 560 000 руб. При делении на 70 сотрудников получаем выплаты по 8000 руб.

Их можно раздать, используя наши купюры следующим образом: 8000 = 5000 + 3 · 1000 и для 70 сотрудников нужно будет 70 * 3 = 210 тысячных купюр, а их всего 100.

в) Здесь надо обратить внимание на слова «при любом распределении размеров премий».

Так как размеры премий могут быть разными, т.е. любой ее расклад, который будет упираться в распределение  100 купюр по 1000 руб.  Например:

- премия в 9 000 руб. в купюрах по 1000 руб. получат 100к. : 9 ≈ 11 чел.;

- премия в 6 000 руб. в купюрах по 1000 руб. получат: 100к. : 6 ≈ 16 чел. Значит выбираем премию размером меньше чем 5000 руб., т.к. 5-ти тысячные купюры есть.

Наибольшая премия в 4000 руб. можно раздать 4-мя купюрами по 1000 руб. и она не исключит премию меньше 4000 руб.

100к. : 4к. (по 1000 руб.) = 25 чел.

Значит, 25 человек получат по 4000 руб. и плюс купюры по 5000 руб. в разных количествах, т.к. премии могут быть разными. Если купюры по 5000 руб. не закончатся, а это не исключено, то их заберет 26-той человек. Отсюда следует, что  максимальное количество сотрудников в отделе, при котором задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий равно 26.

Сделаем проверку. Возьмем, например, количество сотрудников в отделе = 27 чел., тогда  для 26 чел. нужно: 26 чел. * 4 к. (по 1000 руб.) = 104 купюры. Но у нас по условию только 100 купюр по 1000 руб. Противоречие.

Ответ: а) да; б) нет; в) 26.

Задание 19 № 514431,  [5]. Решает ученик, пользуясь образцом.   

В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 800 000 рублей (размер премии каждого сотрудника - целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 250 купюр по 1000 рублей и 110 купюр по 5000 рублей.

а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить поровну?

б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 80 000 рублей, а остальное поделить поровну на 80 сотрудников?

в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?  Ответ: а) да; б) нет; в) 63.

На последующих занятиях решаем задание 19, начиная с 1 группы заданий с постепенным усложнением уровня задач.

В заключение хотелось бы отметить, что для решения задания 19  требуется использование одних и тех же способов и приёмов. Нужно только овладеть ими, и все эти задачи будут казаться вам не сложными.

Список использованной литературы

1. Алгебра и начала математического анализа.11 класс в 2ч.Ч.1.Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ А.Г Мордкович, П.В. Семенов.- . – 8 е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013. – 424 с.
2. Бухштаб А.А. Теория чисел. – М.: Просвещение, 2008. – 284 с.
3. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. 36 вариантов: Типовые варианты экзаменационных заданий / И.В. Ященко, М.А. Волчкевич, И.Р. Высоцкий и др. / Под ред. И.В. Ященко. – М.: «Экзамен», 2018. – 170 с.
4. ЕГЭ 2020. Математика. Профильный уровень. 36 вариантов: Типовые варианты экзаменационных заданий / И.В. Ященко, М.А. Волчкевич, И.Р. Высоцкий и др. / Под ред. И.В. Ященко. – М.: «Экзамен», 2019. – 167 с.

Интернет – источники:

5. Сдам ГИА. Решу ЕГЭ. //https://mathb-ege.sdamgia.ru.