ЗАДАЧИ НА СПЛАВЫ И КОНЦЕНТРАЦИЮ
учебно-методический материал по алгебре (10 класс)

Кудрявцева Тамара Николаевна

ЗАДАЧИ НА СПЛАВЫ И КОНЦЕНТРАЦИЮ

 

Скачать:

ВложениеРазмер
Microsoft Office document icon zadachi_na_smesi.doc374.5 КБ

Предварительный просмотр:

        Итоговая работа   ГБУ ДПО ЧИППКРО / май 2017 /

        ЗАДАЧИ НА СПЛАВЫ И КОНЦЕНТРАЦИЮ

В современном мире множество отраслей, связанных с химией, например такие, как пищевая, фармацевтическая, тяжёлая промышленность, медицина, фармакология и т.д. Однако все они связаны не только с химией, но и с математикой, так как приходится решать задачи на процентное содержание в продукте питания, металле, лекарстве, косметике и т.д. тех или иных веществ.

         Задачи на смеси, сплавы, растворы  при первом знакомстве с ними вызывают у учащихся общеобразовательных классов затруднения. Самостоятельно справиться с ними могут немногие. Задачи данного типа, ранее встречающиеся практически только на вступительных экзаменах в ВУЗы и олимпиадах, сейчас включены в КИМы  для подготовки и проведения экзамена по математике за курс основной школы. Эти задачи, имеющие практическое значение, являются также хорошим средством развития мышления учащихся. Поэтому на сегодняшний день тема решений таких задач является актуальной.

Чтобы лучше понимать условия задач, необходимо знать следующие понятия:

  •  Все получающиеся сплавы или смеси однородны.
  •          При решении этих задач считается, что масса смеси нескольких веществ равна сумме масс компонентов.
  • Процент - одна сотая любого вещества.  
  • Производительность объекта - скорость работы 
  • Процентным содержанием ( концентрацией)  вещества в смеси называется отношение его массы к общей массе всей смеси. Она показывает долю вещества в растворе.  
  • Это отношение может быть выражено либо в дробях, либо в процентах.
  •  Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна единице.

         

Все задачи на «смеси, сплавы, растворы» можно разделить на три типа:

  • на вычисление концентрации;
  • на вычисление количества чистого вещества в смеси (или сплаве);
  • на вычисление массы смеси (сплава).

 

Существуют следующие способы решения задач:

  • с помощью таблиц;
  • с помощью схемы;
  • старинным арифметическим способом;
  • алгебраическим способом;
  •  с помощью формулы.

 

Алгоритм решения задачи на сплавы, растворы и смеси:

  • Изучить условия задачи;
  • Выбрать неизвестную величину (обозначить ее буквой);
  • определить все взаимосвязи между данными величинами;
  • Составить математическую модель задачи (выбрать способ решения задачи, составить пропорцию или уравнение относительно неизвестной величины) и решить ее;
  • провести анализ результата.

Различные способы решения задач.

  1. Сколько нужно взять 10%-го и 30%-го растворов марганцовки, чтобы получить 200г 16%-го раствора марганцовки? (140г 10%-го и 60г -30%-го)

I способ         

Пусть  граммов масса I раствора, тогда

М(г)

m(г)

1-й раствор

10% или 0,1

0,1

2-й раствор

30% или 0,3

200-

0, 3(200-)

3-й раствор

16% или 0,16

200

0,16200

Составим и решим уравнение:

 

  Ответ:140г-10%-го и 60г-30%-го.

II способ

Пусть масса первого раствора  граммов,

масса второго раствора граммов.

М(г)

m(г)

1-й раствор

10% или 0,1

0,1

2-й раствор

30% или 0,3

200-

0, 3(200-)

3-й раствор

16% или 0,16

200

0,16200

Cоставим и решим систему двух уравнений с двумя переменными:

                   

Ответ:140г-10%-го и 60г-30%-го.

III способ (способ креста)

Составим схему

В левой колонке схемы записаны процентные содержания марганца в имеющихся растворах.

Посередине – процентное содержание марганцовки в полученной смеси.

В правой – разности процентных содержаний имеющихся растворов и полученной смеси (вычитаем из большего числа меньшее и записываем на ту диагональ, где находятся, соответственно, уменьшаемое и вычитаемое).

Исходя из схемы, делаем вывод: в 200г смеси содержится 14 частей 10%-го раствора и 6 частей 30%-го раствора.

Найдем их массы:

1) 200:(14+6)14=140г;

2) 200:(14+6) 6=60г.

Ответ:140г-10%-го и 60г-30%-го.

IV способ (способ, который предлагает нам Евгений Ефимович Вольпер)

10%

0,1х

x

16%

+

=

0,16200

200

30%

0,3(200-х)

200 - x

Составим уравнение:   0,1х + 0,3(200-х) = 0,16200;

                                         0,2х = 28;

                х = 140.

Ответ:140г-10%-го и 60г-30%-го.

  1.  В колбе было 140г 10%-го раствора марганцовки (перманганата калия). В нее добавили 60г 30% раствора марганцовки. Определите процентное содержание марганцовки в полученном растворе. (16%)

Решение: Заполним таблицу по условию задачи:

М(г)

м(г)

Было

10% или 0,1

140г

0,1140

Добавили

30% или 0,3

60г

0,360

Стало

?

140+60г

 - доли  основноговещества в смеси будем называть отношение массы основного вещества (м) в смеси к общей массе смеси (М), , - измеряется в долях, процентах.

 

Ответ: 16%.

Задачи на понижение концентрации.

  1. Сироп содержит 18% сахара. Сколько кг воды нужно добавить к 40кг сиропа, чтобы содержание сахара составило 15%? (8кг)

Решение:

Пусть  кг  воды надо добавить, тогда

М(кг)

m(кг)

Было

18% или 0,18

40

0,1840

Стало

15% или 0,15

40+

0, 15(40+)

Масса сахара не изменилась, то составим уравнение и его решим:

0, 15(40+) = 0,1840;

                  = 8.

Или:

18% сах

0,1840

40кг

15% сах

+

=

0,15(40+)

(40+ )                                

0

 x

Составим и решим уравнение:

                                                                                                                                                                                                                                                                                             

Или:

40 кг сиропа составляет 15 частей

18% раствор составляет 3 части

  1. 40:15  3 = 8 (кг)

Ответ: 8(кг)

  1. Сколько граммов 35%-го раствора марганцовки надо добавить к 325г воды, чтобы концентрация марганцовки в растворе составила 10%? (130г)

Решение:

Пусть г марганцовки надо добавить, тогда

35% марг

0,35

 г

10% марг

+

=

0,1(325+)

  325+                           

0

 325г

Составим и решим уравнение:

 0,35 =   0,1(325+);

  = 130.

Ответ: 130 граммов.

Задачи на высушивание.

  1. В свежих грибах 70% влаги, а в сушеных 10%. Сколько кг свежих грибов надо собрать для того, чтобы получить 30кг сушеных? (90кг)

Решение:

Пустькг свежих грибов надо собрать, тогда

 

70% влаги

30% суш

0,3

кг

10% влаги

90% суш

=

0,9 30

30 кг

Составим уравнение:

 0,3  =  0,9 30;

 0,3 = 27;

         = 90.

Ответ: 90кг.

Задачи на повышение концентрации.

  1.  Сплав массой 36кг содержит 45% меди. Сколько меди нужно добавить, чтобы новый сплав содержал 60% меди?(13,5кг)

Решение: Пусть кг меди нужно добавить к сплаву, тогда

45% медь

0,4536

36 кг

60% медь

+

=

0,6(36+)

                               

(36+)кг

 кг

Составим уравнение:

0,4536 +  =  0,6(36+);

0,4   = 5,4;

          = 13,5.

Ответ: 13,5кг.  

                             Задачи на смешение растворов разных концентраций.

  1.  При смешивании 5% и 40% растворов кислоты получили 140граммов 30% раствора кислоты. Сколько грамм каждого раствора было взято? (40г – 5%, 100г-40%)

Решение: Пусть г масса первого раствора кислоты, тогда (140-)г масса второго раствора, получим

5% кисл

0,0 5

г

30% кисл

+

=

0,3140

                                 

140г

40%

0,4(140-)

(140-

Составим и решим уравнение:

0,05+0,4(140-)=0,3140,

0,35=14,

=40.

Ответ: 40 г 5%-го и 100 г 40%.

  1. Имеются два сосуда, содержащие 30кг и 35кг раствора кислоты различной концентрации. Если смешать оба раствора, то получится раствор, содержащий 46% кислоты. Если смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47% кислоты. Какова концентрация данных растворов. (60% и 34%)

Решение: Пусть концентрация одного раствора %, а другого %, -массы растворов во втором случае. Заполним таблицу:

% кисл

0,0130

30 кг

46% кисл

+

=

0,4665

                                 

65 кг

%

35кг

% кисл

0,01

 кг

47% кисл

+

=

0,472

                                 

2кг

%

кг

0,01+=0,472;

Составим систему уравнений:

    

Ответ: 60% и 34%.

  1.  Из сосуда, наполненного 96% раствором кислоты, отлили 2,5л и долили 2,5л 80% раствора той же кислоты. Затем еще раз отлили 2,5л смеси и снова долили 2,5л 80% раствора. После этого в сосуде получился 89% раствор кислоты. Определите вместимость сосуда. (10литров)

Решение: Пусть л – вместимость сосуда, тогда

1)

96% кисл

0,96

л

96% кисл

-

=

0,96(-2,5)

                                 

(-2,5)л

2,5л

2)

96% кисл

0,96(-2,5)

(-2,5)л

+

=

0,96(-2,5)+0,82,5

                                 

л

80%

        0,96-0,4

0,82,5

2,5л

3)

 кисл

0,96-0,4/

-

2,5л

=

0,96-0,4/

                                 

(-2,5)л

       

4)

 кисл

(0,96-0,4/)(-2,5)

(-2,5)л

89%

+

=

0,89

                                 

л

80%

       

0,82,5

2,5л

Составляем уравнение:

Ответ: 10литров.

  1. Из бутылки, наполненной 12% раствором соли отлили 1литр и долили водой, затее отлили еще 1литр и опять добавили водой. В результате в бутыли оказался 3% раствор соли. Какова вместимость бутыли. (2л)

Решение: Пусть л – вместимость бутыли, тогда

1)

12% соль

0,12

л

12% соль

-

=

0,12(-1)

                                 

(-1)л

2)

12% соль

0,12(-1)

(-1)л

0,12(-1)/ соль

+

=

0,12(-1)

                                 

л

3)

    0,12(-1)/

0,12(-1)

л

-

=

0,12(-1)

                                 

(-1)л

4)

0,12(-1)/

(-1)л

0,12(-1)/ соль

+

=

0,12(-1)

                                 

л

5)

0,12(-1)/

=

              0,03

 Составим и решим уравнение:

Ответ: 2 литра.

Задачи на понижение концентрации.

  1. Сироп содержит 18% сахара. Сколько кг воды нужно добавить к 40кг сиропа, чтобы содержание сахара составило 15%? (8кг)
  2. Сколько граммов 35%-го раствора марганцовки надо добавить к 325г воды, чтобы концентрация марганцовки в растворе составила 10%? (130г)
  3. Сколько кг 5%-го раствора соли надо добавить к 15кг 10%-го раствора той же соли, чтобы получить ее 8%-ный раствор? (10кг)
  4. Требуется приготовить 100г 10%-го раствора нашатырного спирта. Сколько для этого потребуется воды и 25%-го раствора нашатырного спирта? (40г нашатырного спирта и 60г воды)

Задачи на высушивание.

  1.  В свежих грибах 70% влаги, а в сушеных 10%. Сколько кг свежих грибов надо собрать для того, чтобы получить 30кг сушеных? (90 кг)
  2. Собрали 8кг свежих цветков ромашки, влажность которых 85%. После того как цветки высушили, их влажность составила 20%.Чему равна масса цветков ромашки после сушки? (1,5кг)
  3. Из 22кг свежих грибов получается 2,5кг сухих грибов, содержащих 12% воды. Каков процент воды в свежих грибах? (90%)
  4. На складе хранилась 51 т зерна, влажность которого была 20%. Перед закладкой зерна в зернохранилище его просушили, доведя влажность до 15%. Сколько тонн зерна засыпали в зернохранилище? (48т)
  5. Сколько кг нужно выпарить из 2т раствора соли, содержащего 85% воды, чтобы получить25% раствор соли? (800кг)

Задачи на повышение концентрации.

  1. Сплав массой 36кг содержит 45% меди. Сколько меди нужно добавить, чтобы новый сплав содержал 60% меди?(13,5кг)
  2. Сплав меди с серебром содержит серебра на 1845г больше, чем меди. Если к нему добавить  массы серебра, содержащегося в сплаве, то получится новый сплав, содержащий 83,5% серебра. Какова масса сплава и процентное содержание серебра в нем?

Задачи на смешение растворов разных концентраций.

  1. При смешивании 5% и 40% растворов кислоты получили 140граммов 30% раствора кислоты. Сколько грамм каждого раствора было взято? (40г – 5%, 100г-40%)
  2. Имеются два сосуда, содержащие 30кг и 35кг раствора кислоты различной концентрации. Если смешать оба раствора, то получится раствор, содержащий 46% кислоты. Если смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47% кислоты. Какова концентрация данных растворов. (60% и 34%)
  3. Из сосуда, наполненного 96% раствором кислоты, отлили 2,5л и долили 2,5л 80% раствора той же кислоты. Затем еще раз отлили 2,5л смеси и снова долили 2,5л 80% раствора. После этого в сосуде получился 89% раствор кислоты. Определите вместимость сосуда. (10литров)
  4. Из бутылки, наполненной 12% раствором соли отлили 1литр и долили водой, затее отлили еще 1литр и опять добавили водой. В результате в бутыли оказался 3% раствор соли. Какова вместимость бутыли. (2л)
  5. В колбе было 140г 10%-го раствора марганцовки (перманганата калия). В нее добавили 60г 30% раствора марганцовки. Определите процентное содержание марганцовки в полученном растворе. (16%)
  6. Сколько нужно взять 10%-го и 30%-го растворов марганцовки, чтобы получить 200г 16%-го раствора марганцовки? (140г 10%-го и 60г 30%-го)
  7.  При смешении 5%-го и 40%-го растворов кислоты получили 140г 30%-го раствора кислоты. Сколько грамм каждого раствора было взято? (40г 5%-го и 100г 40%-го)
  8. Один раствор содержит 20% соли, а второй-70%. Сколько граммов первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить 100г 50%-го солевого раствора? (20%-го 40г, 70%-го 60г)
  9. При смешении 10% -го раствора с 5%-ым раствором получено 5кг 6%-го раствора. Сколько каждого раствора было взято? (1кг 10%-го, 4кг 5%-го)
  10. В сосуд налито 4л 70%-го раствора кислоты. Сколько нужно добавить 90%-го раствора кислоты, чтобы получить 75%-ый раствор?
  11. Имеются два сплава меди и цинка. В первом сплаве меди в 2 раза больше, чем цинка, а во втором меди в 5 раз меньше, чем цинка. Во сколько раз больше нужно взять второго сплава, чем первого, чтобы получить новый сплав, в котором цинка было бы в 2 раза больше, чем меди? (2 раза)
  12. Имеются два сплава раствора кислоты, содержащих соответственно 0,8 и 0,4л воды. При их сливании получили 76%-ый раствор. Найти объемы исходных растворов, если известно, что концентрация первого из них на 20% выше второго.(?)


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Задачи на сплавы.

Презентация....

статья:"Задачи на сплавы и концентрацию"

Задачи на сплавы и концентрацию часто включают в экзаменационные варианты тестов для 9 и11 классов, но многие ученики пропускают эти задачи, так как испытываюттрудности при их решении.Я предлагаю разл...

Мастер-класс "Задачи на сплавы"

Мастер-класс по теме "Задачи на сплавы"...

Решение задач на сплавы и смеси

Принцип решения задач на сплавы, смеси складывается из того что – бы по условию задачи составить схему, на которой наглядно указывается вес всего вещества (внутри «вёдер») и вес сухого вещества, содер...

Готовимся к ЕГЭ по математике. В14. Задача на сплавы, смеси, растворы.

В презентации  тип задач — задачи на растворы, смеси и сплавы. Они встречаются не только в математике, но и в химии. Представляю самый простой...

Подготовка к ЕГЭ. Задачи на сплавы.

В работе представлен сборник задач на сплавы. Даны решения прототипов, ответы ко всем задачам. Можно использовать для самостоятельной подготовки учащихся к ЕГЭ....

подборка задач по теме "Проценты, концентрация"

задачи для подготовки к ЕГЭ, ОГЭ математика...