статья:"Задачи на сплавы и концентрацию"
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (9 класс) по теме

Комарова Людмила Сергеевна учитель математики БОУ  г. Омска «Лицей № 166».

2013 год.

ЗАДАЧИ НА СПЛАВЫ И КОНЦЕНТРАЦИЮ.

Задачи на сплавы и концентрацию часто включают в экзаменационные варианты тестов для 9 и 11 классов, но многие ученики пропускают эти задачи, так как испытывают трудности при их решении.

        Учителю, при решении задач на сплавы и концентрацию, необходимо указывать в каком  классе решали тот или иной тип  задачи. В процессе решения задач на сплавы и концентрацию, учащиеся повторяют, определение процента, перевод процентов в десятичную дробь, как найти часть от числа и число по его части, прямую и обратную пропорциональные зависимости, способы решения задач.  Задачи на смеси имеют практическую направленность. Прежде чем объяснять методы решения таких задач, необходимо побеседовать с ребятами. Например: мы пьем чай и кладем в чашку столько сахара, чтобы не пересластить (создаем нужную нам концентрацию), а если пересластили, то добавляем воды. Врач выписывает рецепт, и мы покупаем мази, микстуры с определенной концентрацией лекарственных веществ.

        Решая задачи, нужно будет выделить компоненты, которые изменяются, и те, что остаются неизменными. Измерять количество компонентов смеси будем в единицах массы, а не объема, так как изменение массы происходит линейно, а изменение объема по более сложной зависимости, и все равно приходится переходить к изменениям массы, но уже используя плотность веществ.

Различные способы решения задач.

1.-17.Сколько нужно взять 10%-го и 30%-го растворов марганцовки, чтобы получить 200г 16%-го раствора марганцовки? (140г 10%-го и 60г -30%-го)

I способ (5класс)

Пусть  граммов масса I раствора, тогда

Составим и решим уравнение:

  Ответ:140г-10%-го и 60г-30%-го.

II способ (7 класс)

Пусть масса первого раствора  граммов,

масса второго раствора граммов.

Cоставим и решим систему двух уравнений с двумя переменными:

Ответ:140г-10%-го и 60г-30%-го.

III способ (способ креста)

Составим схему

В левой колонке схемы записаны процентные содержания марганца в имеющихся растворах.

Посередине – процентное содержание марганцовки в полученной смеси.

В правой – разности процентных содержаний имеющихся растворов и полученной смеси (вычитаем из большего числа меньшее и записываем на ту диагональ, где находятся, соответственно, уменьшаемое и вычитаемое).

Исходя из схемы, делаем вывод: в 200г смеси содержится 14 частей 10%-го раствора и 6 частей 30%-го раствора.

Найдем их массы:

1) 200:(14+6)14=140г;

2) 200:(14+6) 6=60г.

Ответ:140г-10%-го и 60г-30%-го.

IV способ (способ, который предлагает нам Евгений Ефимович Вольпер)

Составим уравнение:   0,1х + 0,3(200-х) = 0,16200;

                                         0,2х = 28;

                х = 140.

Ответ:140г-10%-го и 60г-30%-го.

2.-16. В колбе было 140г 10%-го раствора марганцовки (перманганата калия). В нее добавили 60г 30% раствора марганцовки. Определите процентное содержание марганцовки в полученном растворе. (16%)

Решение: Заполним таблицу по условию задачи:

 - доли  основноговещества в смеси будем называть отношение массы основного вещества (м) в смеси к общей массе смеси (М), , - измеряется в долях, процентах.

Ответ: 16%.

Задачи на понижение концентрации.

3.-1.Сироп содержит 18% сахара. Сколько кг воды нужно добавить к 40кг сиропа, чтобы содержание сахара составило 15%? (8кг)

Решение:

Пусть  кг  воды надо добавить, тогда

Масса сахара не изменилась, то составим уравнение и его решим:

0, 15(40+) = 0,1840;

                  = 8.

Или:

Составим и решим уравнение:

Или:

40 кг сиропа составляет 15 частей

18% раствор составляет 3 части

1. 40:15  3 = 8 (кг)

Ответ: 8(кг)

4.-2. Сколько граммов 35%-го раствора марганцовки надо добавить к 325г воды, чтобы концентрация марганцовки в растворе составила 10%? (130г)

Решение:

Пусть г марганцовки надо добавить, тогда

Составим и решим уравнение:

 0,35 =   0,1(325+);

  = 130.

Ответ: 130 граммов.

Задачи на высушивание.

5.-5. В свежих грибах 70% влаги, а в сушеных 10%. Сколько кг свежих грибов надо собрать для того, чтобы получить 30кг сушеных? (90кг)

Решение:

Пустькг свежих грибов надо собрать, тогда

Составим уравнение:

 0,3  =  0,9 30;

 0,3 = 27;

         = 90.

Ответ: 90кг.

Задачи на повышение концентрации.

 6.-10. Сплав массой 36кг содержит 45% меди. Сколько меди нужно добавить, чтобы новый сплав содержал 60% меди?(13,5кг)

Решение: Пусть кг меди нужно добавить к сплаву, тогда

Составим уравнение:

0,4536 +  =  0,6(36+);

0,4   = 5,4;

          = 13,5.

Ответ: 13,5кг.  

                             Задачи на смешение растворов разных концентраций.

7.-12. При смешивании 5% и 40% растворов кислоты получили 140граммов 30% раствора кислоты. Сколько грамм каждого раствора было взято? (40г – 5%, 100г-40%)

Решение: Пусть г масса первого раствора кислоты, тогда (140-)г масса второго раствора, получим

Составим и решим уравнение:

0,05+0,4(140-)=0,3140,

0,35=14,

=40.

Ответ: 40 г 5%-го и 100 г 40%.

8.-13. Имеются два сосуда, содержащие 30кг и 35кг раствора кислоты различной концентрации. Если смешать оба раствора, то получится раствор, содержащий 46% кислоты. Если смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47% кислоты. Какова концентрация данных растворов. (60% и 34%)

Решение: Пусть концентрация одного раствора %, а другого %, -массы растворов во втором случае. Заполним таблицу:

0,01+=0,472;

Составим систему уравнений:

Ответ: 60% и 34%.

9.-14. Из сосуда, наполненного 96% раствором кислоты, отлили 2,5л и долили 2,5л 80% раствора той же кислоты. Затем еще раз отлили 2,5л смеси и снова долили 2,5л 80% раствора. После этого в сосуде получился 89% раствор кислоты. Определите вместимость сосуда. (10литров)

Решение: Пусть л – вместимость сосуда, тогда

1)

2)

3)

4)

Составляем уравнение:

Ответ: 10литров.

10.-15. Из бутылки, наполненной 12% раствором соли отлили 1литр и долили водой, затее отлили еще 1литр и опять добавили водой. В результате в бутыли оказался 3% раствор соли. Какова вместимость бутыли. (2л)

Решение: Пусть л – вместимость бутыли, тогда

1)

 Составим и решим уравнение:

Ответ: 2 литра.

Задачи на понижение концентрации.

1. Сироп содержит 18% сахара. Сколько кг воды нужно добавить к 40кг сиропа, чтобы содержание сахара составило 15%? (8кг)
2. Сколько граммов 35%-го раствора марганцовки надо добавить к 325г воды, чтобы концентрация марганцовки в растворе составила 10%? (130г)
3. Сколько кг 5%-го раствора соли надо добавить к 15кг 10%-го раствора той же соли, чтобы получить ее 8%-ный раствор? (10кг)
4. Требуется приготовить 100г 10%-го раствора нашатырного спирта. Сколько для этого потребуется воды и 25%-го раствора нашатырного спирта? (40г нашатырного спирта и 60г воды)

Задачи на высушивание.

5.  В свежих грибах 70% влаги, а в сушеных 10%. Сколько кг свежих грибов надо собрать для того, чтобы получить 30кг сушеных? (90 кг)
6. Собрали 8кг свежих цветков ромашки, влажность которых 85%. После того как цветки высушили, их влажность составила 20%.Чему равна масса цветков ромашки после сушки? (1,5кг)
7. Из 22кг свежих грибов получается 2,5кг сухих грибов, содержащих 12% воды. Каков процент воды в свежих грибах? (90%)
8. На складе хранилась 51 т зерна, влажность которого была 20%. Перед закладкой зерна в зернохранилище его просушили, доведя влажность до 15%. Сколько тонн зерна засыпали в зернохранилище? (48т)
9. Сколько кг нужно выпарить из 2т раствора соли, содержащего 85% воды, чтобы получить25% раствор соли? (800кг)

Задачи на повышение концентрации.

10. Сплав массой 36кг содержит 45% меди. Сколько меди нужно добавить, чтобы новый сплав содержал 60% меди?(13,5кг)
11. Сплав меди с серебром содержит серебра на 1845г больше, чем меди. Если к нему добавить  массы серебра, содержащегося в сплаве, то получится новый сплав, содержащий 83,5% серебра. Какова масса сплава и процентное содержание серебра в нем?

Задачи на смешение растворов разных концентраций.

12. При смешивании 5% и 40% растворов кислоты получили 140граммов 30% раствора кислоты. Сколько грамм каждого раствора было взято? (40г – 5%, 100г-40%)
13. Имеются два сосуда, содержащие 30кг и 35кг раствора кислоты различной концентрации. Если смешать оба раствора, то получится раствор, содержащий 46% кислоты. Если смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47% кислоты. Какова концентрация данных растворов. (60% и 34%)
14. Из сосуда, наполненного 96% раствором кислоты, отлили 2,5л и долили 2,5л 80% раствора той же кислоты. Затем еще раз отлили 2,5л смеси и снова долили 2,5л 80% раствора. После этого в сосуде получился 89% раствор кислоты. Определите вместимость сосуда. (10литров)
15. Из бутылки, наполненной 12% раствором соли отлили 1литр и долили водой, затее отлили еще 1литр и опять добавили водой. В результате в бутыли оказался 3% раствор соли. Какова вместимость бутыли. (2л)
16. В колбе было 140г 10%-го раствора марганцовки (перманганата калия). В нее добавили 60г 30% раствора марганцовки. Определите процентное содержание марганцовки в полученном растворе. (16%)
17. Сколько нужно взять 10%-го и 30%-го растворов марганцовки, чтобы получить 200г 16%-го раствора марганцовки? (140г 10%-го и 60г 30%-го)
18.  При смешении 5%-го и 40%-го растворов кислоты получили 140г 30%-го раствора кислоты. Сколько грамм каждого раствора было взято? (40г 5%-го и 100г 40%-го)
19. Один раствор содержит 20% соли, а второй-70%. Сколько граммов первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить 100г 50%-го солевого раствора? (20%-го 40г, 70%-го 60г)
20. При смешении 10% -го раствора с 5%-ым раствором получено 5кг 6%-го раствора. Сколько каждого раствора было взято? (1кг 10%-го, 4кг 5%-го)
21. В сосуд налито 4л 70%-го раствора кислоты. Сколько нужно добавить 90%-го раствора кислоты, чтобы получить 75%-ый раствор?
22. Имеются два сплава меди и цинка. В первом сплаве меди в 2 раза больше, чем цинка, а во втором меди в 5 раз меньше, чем цинка. Во сколько раз больше нужно взять второго сплава, чем первого, чтобы получить новый сплав, в котором цинка было бы в 2 раза больше, чем меди? (2 раза)
23. Имеются два сплава раствора кислоты, содержащих соответственно 0,8 и 0,4л воды. При их сливании получили 76%-ый раствор. Найти объемы исходных растворов, если известно, что концентрация первого из них на 20% выше второго.(?)

Используемая литература:

1. Вольпер Е.Е., Федорова Е.И.- Математика. Задачи для подготовки к ЕГЭ. – Омск: ОмГУ, 2004, стр35-36.
2. Корешкова Т. А., Мирошин В. В., Шевелева Н. В. Единые государственный экзамен: Математика: тренировочные задания. – М.: Просвещение, Эксмо, 2005. Стр.: 9, 21, 27 (B-9*)
3. Лысенко Ф.Ф., Кулабухов С.Ю.- Математика. Подготовка к ЕГЭ-2010. – Ростов –на- Дону: Легион-М,2009.
4. Прокопенко Н.И.- Задачи на смеси и сплавы. - М.: Чистые пруды,2010, стр.4-6,8-9,12-13,16-17.