Дата | 11. 03.2019 |
Класс | 11«Д» |
УМК | А. Н. Колмагоров, А. М. Абрамов и др. Алгебра и начала анализа. Москва. «Просвещение» 10 - 11 класс |
Тип урока | Урок - лекция |
Тема урока | Производная и первообразная показательной функции» |
Цель урока | Познакомить с функцией  , с теоремами дифференцируемости показательной функции. |
Задачи урока (планируемый результат) | - Развивать навыки логического мышления, математической речи.
- Воспитать культуру труда
- Показать практическую направленность темы.
|
Методы обучения | наглядно - иллюстративный, поисковый, исследовательский, групповой, творческий, информационно-коммуникационная деятельность. |
Формы организации ПД | коллективная, индивидуальная, групповая. |
Средства обучения | УМК, карточки рефлексии, дидактический материал, компьютер, проектор. |
Ход урока |
Деятельность учителя | Деятельность учащихся |
Познавательная | Коммуникативная | Регулятивная |
Осуществляемые учебные действия | Формируемые способы действий | Осуществляемые учебные действия | Формируемые способы действий | Осуществляемые учебные действия | Формируемые способы действий |
Организационный момент | Учитель проверяет готовность рабочего места, создаёт ситуацию успеха | Отвечают на приветствие учителя | Выделение существенной информации из слов учителя. | Взаимодействуют с учителем | Слушание учителя | Мобилизуют силы и энергию. Прогнозируют результат. | Умение настраиваться на занятие |
2. Постановка цели и задач урока | Объявляет тему урока и раскрывает обучающие цели. Повторение Учитель задаёт вопросы: - Определение производной.
- Что значит функция, дифференцируемая в точке?
- Лемма о непрерывности дифференцируемой функции.
- Определение показательной функции
- Определение логарифма
- Определение первообразной функции
- Основное логарифмическое тождество.
| Отвечают на вопросы учителя | Актуализация личного жизненного опыта. | Развивают творческую и познавательную активность | Слушают учителя, товарищей. | Контроль правильности ответов обучающихся | Умение формулировать полученные знания, умение слушать в соответствии с целевой установкой. |
3. Актуализация знаний | Объяснение нового материала. (Графики спроектированы на экран) Посмотрим на графики показательных функций при различных  . Все графики проходят через точку М (0;1) и Являются плавными кривыми. Значит, в каждой их точке можно провести касательную. Но существование касательной к графику функции в точке равносильно её дифференцируемости в этой точке. Поэтому естественно предположить, что показательная функция дифференцируема во всех точках. Проведём касательную в точке М(0;1) к графикам функций. Мы видим, что чем больше основание  , тем круче расположение касательной, т. е. при непрерывном изменении угловой коэффициент касательной в точке М(0;1) ( к графикам функции) будет непрерывно меняться и найдётся такое значение , для которого этот коэффициент будет равен 1. Вывод (определение) Существует такое число, больше 2 и меньше 3 (Это число обозначают буквой е), что показательная функция y =  в точке Оимеет производную, равную 1. | Ребята: отвечают на вопросы, в конце обсуждение. | Компетенция обучающихся в области алгебры. | Сотрудничество учителя и ученика. | Развитие монологической речи. | Развитие регулятивной учебной деятельности. Взаимоконтроль выполнения заданий в группе. | Проверка выполненных заданий, обсуждение допущенных ошибок, их коррекция. |
4. Первичное усвоение новых знаний
4. Первичное усвоение новых знаний
| Теорема (о дифференцируемости функции y = ). Показательная функция дифференцируема в каждой точке области определения и  )’ = ) Доказательство. - Найдём приращение функции в точке
∆y = -  =  - = ( - 1) - Составим отношение:
=  =  при  0 По определению производной y’ = при любом  . Замечание: Доказано, что число eиррационально и поэтому записывается в идее бесконечной десятичной непериодической дроби. Это замечательное число вошло в обиход в 18 веке.
| Работа с презентацией. Слушают, обсуждают новую информацию, рассматривают графики, решают. Пример 1 Найти , если y =  Решение ()’ = 
| Формирование умения сравнивать | Работа в группах и индивидуально. | Умение работать в команде, распределение ролей, опыт выступления. | Контроль за работой обучающихся Самоконтроль и взаимоконтроль выполнения задания. | Умение работать в соответствии с целевой установкой. Планирование своих действий. |
В современной математике число «е» играет важную роль. С помощью ЭВМ найдено более 2000 знаков после запятой e = 2,7118281928459045… Функцию ещё называют экспонентой и обозначают expx. Экспонентами называют и функции более общего вида y =  . Определение: Натуральным логарифмом Называется логарифм по основанию e: ln x =  По основному логарифмическому тождеству для любого положительного числа   =
Поэтому = ( =  |
| Усвоение новых знаний, умение работать в коллективе. | Работа в группах | Строить монологическое высказывание | Обеспечить восприятие, осмысление и первичное запоминание изучаемого материала учащимися. | Формирование навыков работы с информацией. Формирование навыков работы с графиками. |
Теорема 2. При любом положительном функция  дифференцируема в каждой точке области определения и()’ = 
| Доказывают теорему 2. Один ученик у доски, остальные в тетрадях. Доказательство: ()’=( ’= = Следствие. Показательная функция непрерывна в каждой точке своей области определения, т. е. при любом  и любом  имеем  при x
| Выявление следственно - причинных связей. | Ответы на поставленный вопрос. | Умение высказывать свою точку зрения, оценивают результат. | рефлексия своих действий, объективная самооценка результатов своей деятельности.
| Использование речи для регуляции своего действия. |
5. Первичная проверка понимания | Даёт учащимся задание работать с карточками, задаёт вопросы. Наблюдает за работой учащихся.
| Выбирают карточку, решают Пример 2 Найти ( )’; ( )’ ()’= ; ()’=-3 Пример 3 Исследовать на возрастание (убывание) и экстремумы функцию y= x Решение y’=(x)’= x ’+x() ’=+x= (1+x) y’=(1+x);  для любого x y’ при x , y’ при x
x | (- ; -1) | -1 | (-1; +;) | y’ | - | 0 | + | y | 
| - | ↗ |
|
| Работа в группах | Умение работать в команде |
|
|
6. Первичное закрепление | Теорема 3Функция есть первообразная для функции на R Первообразной для функциина Rявляется функция 
Пример 4. Найти первообразные для функции - ; б. 3
 ; в. 5
Пример 5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=, y=0, x=-1, x=2
| Доказывают теорему, отвечают на вопросы учителя. Доказательство: - )’=для всех x
 )’ =  ()’ =
Решение - F(x) =
 ; б. F(x) = ; в. F(x) =
Решение
S= dx=  = -  = - =  Ответ: S= | Перенос знаний в новые условия | работа в команде | Обсуждение. | Самооценка результатов своей деятельности.
| Выделение и осознание учащимися того что уже усвоено и что подлежит усвоению |
7. Домашнее задание | Информация о домашнем задании. Обеспечить понимание учащимися цели, содержания и способов выполнения ДЗ. Дает дифференцированное ДЗ. Представление права выбора ДЗ. | Делают выбор ДЗ, задают вопросы |
| Обсуждение вариантов ДЗ. | Осуществление выбора в выполнении ДЗ. |
|
|
8. Итог урока
| Подводит итоги учебного занятия: На уроке изучены новые понятия и теоремы | Отвечают на вопросы. | Осознанно и произвольно строят речевое высказывание | Формулируют собственное мнение и позицию. |
| Проводят контроль, самоконтроль |
|
9. Рефлексия
| Выявить уровень достижения учебных задач урока. Дать оценку результата учебной деятельности класса и отдельных учеников. Подвести итог занятия вместе с учащимися. Чему научились, что нового узнали на уроке? С середины 17 в. появилось предположение, что число е иррационально. Однако доказать эту догадку долгое время даже не пытались. И только в 1766 году Ламберт доказал, что «е» иррационально. Особый интерес к числу «е», проявившейся в 18 столетии, был вызван исключительной ролью, которое это число стало играть в математическом анализе. Оно входит в большое число формул. Логарифмы по основанию «е» позволяют выражать математическую зависимость, которая характеризует разнообразные химические, физические и др. процессы. По-видимому, этим и объясняется название «натуральные логарифмы», т. е. естественные.
| Подводят итог своей учебной деятельности (УД), оценивают результат своей УД. | Осознанно и произвольно строят речевое высказывание
| Использование речи для регуляции своего действия | Развитие монологической речи. | Подводят итог своей работы. | Объективная самооценка результатов своей деятельности. |
Конспект урока
