Презентация урока. Математическое ожидание и дисперсия
презентация к уроку по алгебре (9 класс)

Слайд 1

Слайд 2

ПРЕЗЕНТАЦИЯ УРОКА Для 9 класса Учитель: Помазкина Татьяна Александровна

Слайд 3

Пусть мы измеряем случайную величину N раз, например, десять раз измеряем скорость ветра и хотим найти среднее значение. V 1=10км/ч; V 2=11км/ч; V 3=12км/ч; V 4=13км/ч; V 5=10км/ч; V 6=12км/ч; V 7=11км/ч; V 8=10км/ч; V 9=12км/ч; V 10=13км/ч; Как связано среднее значение с функцией распределения?

Слайд 4

Пример. Будем кидать игральный кубик большое количество раз. Количество очков, которое выпадет на кубике при каждом броске, является случайной величиной и может принимать любые натуральные значения от 1 до 6. Среднее арифметическое выпавших очков, подсчитанных за все броски кубика, тоже является случайной величиной, однако при больших N оно стремится ко вполне конкретному числу – математическому ожиданию M x . В данном случае M x = 3,5.

Слайд 5

Каким образом получилась эта величина? Пусть в N испытаниях 1 раз выпало 1 очко, 2 раз – 2 очка и так далее. Тогда При N → ∞ количество исходов, в которых выпало одно очко, Отсюда

Слайд 7

Предположим теперь, что мы знаем закон распределения случайной величины x , то есть знаем, что случайная величина x может принимать значения x 1 , x 2 , ..., x k с вероятностями p 1 , p 2 , ..., p k . Математическое ожидание M x случайной величины x равно Математическое ожидание случайной величины часто обозначается как < x >. Записи < x > и M x эквивалентны.

Слайд 8

ПРИМЕР Закон распределения рассматриваемой случайной величины может быть задан следующей таблицей: Найти математическое ожидание Значит, Ответ. 2,8. 1 2 3 0 0.2 0.8

Слайд 9

Математическое ожидание не всегда является разумной оценкой какой-нибудь случайной величины. Так, для оценки средней заработной платы разумнее использовать понятие медианы, то есть такой величины, что количество людей, получающих меньшую, чем медиана, зарплату и большую, совпадают.

Слайд 10

Медианой случайной величины называют число x 1/2 такое, что p ( x < x 1/2 ) = 1/2. Другими словами, вероятность p 1 того, что случайная величина x окажется меньшей x 1/2 , и вероятность p 2 того, что случайная величина x окажется большей x 1/2 , одинаковы и равны 1/2. Медиана определяется однозначно не для всех распределений. Вернёмся к случайной величине x , которая может принимать значения x 1 , x 2 , ..., x k с вероятностями p 1 , p 2 , ..., p k .

Слайд 11

Дисперсией случайной величины x называется среднее значение квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: Используя вероятности p i того, что величина x принимает значения x i , эту формулу можно переписать следующим образом: Среднеквадратическим отклонением случайной величины x называется корень квадратный из дисперсии этой величины:

Слайд 12

ПРИМЕР В условиях предыдущего примера вычислить дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины x . Имеем: D x = 0 • (1 – 2,8) 2 + 0,2 • (2 – 2,8) 2 + 0,8 • (3 – 2,8) 2 = 0,16. Ответ. 0,16, 0,4.

Слайд 13

ПРИМЕР Найти распределение вероятности числа очков, выпавших на кубике с первого броска, медиану, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение. Выпадение любой грани равновероятно, так что распределение будет выглядеть так: Математическое ожидание M x = 3,5 ( пример в начале параграфа). 1 2 3 4 5 6 1\6 1\6 1\6 1\6 1\6 1\6

Слайд 14

С вероятностью 1/2 случайная величина x ≤ 3. С такой же вероятностью x ≥ 4. Таким образом, медианой случайной величины является любое число из интервала (3; 4). Обычно в качестве медианы указывают среднее значение из этого интервала: x 1/2 = 3,5. В нашем случае медиана совпала с математическим ожиданием, в других распределениях это не так. Дисперсия: Среднеквадратичное отклонение Видно, что отклонение величины от среднего значения очень велико.

Слайд 15

СВОЙСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ Математическое ожидание суммы независимых случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M x + y = M x + M y . Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M x · y = M x · M y .

Слайд 16

ПРИМЕР Найти математическое ожидание суммы и произведения очков, выпавшей на двух кубиках. В примере 3 мы нашли, что для одного кубика M ( x ) = 3,5. Значит, для двух кубиков M x + y = M x + M y = 7, M xy = M x · M y = 3,5 2 = 12,25.

Слайд 17

СВОЙСТВА ДИСПЕРСИИ Дисперсия суммы независимых случайных величин равно сумме дисперсий: D x + y = D x + D y .