Лист Мёбиуса
творческая работа учащихся по алгебре

Министерство образования Нижегородской области

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Павловский техникум народных художественных промыслов России»

Исследовательский проект

по математике на тему:

«Лист Мёбиуса»

Автор:  Ерофеева Алёна Александровна,

студентка I курса 12 гр.,

обучающаяся по профессии

54.02.02  Ювелир

Руководитель: Клюкина О. В.,

преподаватель математики.

г. Павлово,

2018 г.

        СОДЕРЖАНИЕ        

I. Введение

1)Что побудило меня к созданию проекта по математике?

2) Основополагающий вопрос.

3) Цель и задачи проекта.

II.  Основная часть

1) Что такое лист Мёбиуса?

2) История открытия листа.

3) Топологические опыты по исследованию свойств односторонней поверхности.

4) Лента Мёбиуса и гипотезы.

5) Применение листа Мёбиуса в технике.

6) Лист Мёбиуса в литературе.

7)Графическое искусство.

8) Скульптура.

9) Архитектура.

10) Лист Мёбиуса в повседневной жизни.

11) «Памятники» А.Ф.Мёбиусу.

III. Заключение.

IV.  Список  литературы и Интернет-ресурсов.

I.Введение

1) Что побудило меня к созданию проекта по математике?

Я хочу рассказать об удивительной поверхности, которая имеет только одну сторону и относится к «математическим неожиданностям». Хотя лист Мёбиуса был открыт ещё в XΙX веке, он был актуалени в XX веке. Интерес к листу Мёбиуса не угас и в наши дни.  Удивительные свойства листа Мёбиуса использовались и используются в технике, в физике, в живописи, в архитектуре, в оформлении ювелирных изделий, бижутерии и даже в кулинарии. Он вдохновляет на творчество многих писателей и художников. Меня очень заинтересовала и заинтриговала эта тема. Я изучила литературу, изготовила лист Мебиуса,  проводила исследования, ставя опыты, изучая его волшебные, необыкновенные свойства.  Многие знают, что такое лист (лента) Мёбиуса, но  тем, кто ещё не знаком с ним и его свойствами, я предлагаю вместе со мной провести исследование и окунуться в светлое чувство познания. Это ведёт к более глубокому осмыслению математики как прикладной науки.

2) Основополагающий вопрос.

    Только ли математикам интересен лист Мёбиуса?

3) Цель и задачи проекта.

1) Изучение истории открытия листа Мёбиуса.

2) Изготовление листа Мёбиуса и исследование  его свойств.

3)Нахождение объектов в окружающем мире, имеющих функциональные сходства с листом  Мёбиуса.

4) Применение листа Мёбиуса в повседневной жизни.

II.  Основная часть

1) Что такое лист Мёбиуса?

Лист Мёбиуса – один из объектов области математики под названием «топология» (по-другому – «геометрия положений»). Топология - наука, изучающая непрерывные среды и пространство. Проявление законов топологии  легко обнаружить на простой бумажной полоске.  Удивительные свойства листа Мёбиуса – он имеет один край, одну сторону, – не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер. В евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые.

2) История открытия листа.

Таинственный  и  знаменитый  лист  Мёбиуса придумал  в 1858г. немецкий геометр  Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик «короля  математики» Гаусса.   В  возрасте  68 лет  ему удалось  сделать открытие  поразительной  красоты.  Это  открытие  односторонних  поверхностей.

  Согласно легенде  открыть свой «лист» Мёбиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты.

3)ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ОПЫТЫ

по исследованию свойств односторонней поверхности

Я запаслась несколькими листами обычной бумаги, клеем, ножницами и красками. Самое  удивительное то, что изготовить лист Мёбиусасвоими руками совсем несложно: надо лишь взять полоску бумаги и склеить её концы, предварительно повернув один из них на 180о. И тогда в ваших руках окажется лист, или лента Мёбиуса. Полоска должна быть узкой и длинной, с возможно большим отношением длины к ширине (10:1).

Я задалась вопросом: « Сколько сторон у этого листа бумаги?Две, как у любого другого?»  Попробовала закрасить  это кольцо с одной стороны.

 Моя попытка закрасить только одну сторону листа Мёбиусабыла обречена на неудачу, так как у листа Мёбиуса всего одна сторона.

Я  вырезала бумажного человечка и  отправила его  вдоль  пунктира, идущего  посередине  листа  Мёбиуса.  Он  вернулся к  месту  старта. Но  в  каком  виде? В  перевернутом! А   чтобы  он  вернулся  к  старту  в нормальном  положении,  ему нужно было совершить  ещё  одно «круголистное»  путешествие.

Лента Мебиуса обладает любопытными свойствами.

Если разрезать простое кольцо ножницами вдоль, то получится два кольца вдвое меньшей ширины, чем первоначальное.

А что получится, если разрезать ленту Мёбиуса?

Я разрезала ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв. Вместо двух лент Мебиуса получилась одна длинная двусторонняя лента с двумя полными оборотами, которую называют «афганская лента».

Я поставила перед собой вопрос: «Что будет, если разрезать лист Мёбиуса  вдоль, но не посередине, а ближе к одному краю?»

 У меня получилось две ленты, одна — более тонкая лента Мёбиуса, другая — длинная лента с двумя полуоборотами (Афганская лента).

- А если разрезать на три части? Я получила  два  сцепленных  кольца.  Одно  из  них  вдвое   длиннее  исходного  и  перекручено  два  раза. Второе-  лист  Мёбиуса,  ширина  которого  втрое  меньше,  чем  у  исходного.

Я продолжила перекручивание полоски бумаги перед склеиванием, каждый раз увеличивая число полуоборотов на один.

Опыты по исследованию свойств ленты Мёбиуса

Разрез ленты с дополнительными оборотами дал мне неожиданные фигуры.

Я  узнала, что они  называются парадромными кольцами.

ИТАК РЕЗУЛЬТАТЕ ИССЛЕДОВАНИЯ Я ВЫЯСНИЛА,, В ЧТО

1) Лист Мёбиуса - односторонняя поверхность                                                          

2) Второе свойство листа  – непрерывность.

3) Третье свойство – связность.

4)  Лента Мёбиуса и гипотезы

Вселенная замкнута в  ленту Мебиуса?

Лист Мёбиуса находит многочисленные применения в науке, технике и изучении свойств Вселенной. Физики-теоретики пришли к выводу, что наша Вселенная, вполне вероятно, замкнута в  ленту Мебиуса. Согласно теории относительности - чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Эта теория полностью подтверждает предположение, что космический корабль, всё время летящий прямо, может вернуться к месту старта. Это подтверждает неограниченность и конечность Вселенной.

Физики утверждают, что все оптические законы основаны на свойствах листа Мебиуса, в частности, отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой зеркального своего двойника.

Лента Мёбиуса  - прародитель символа бесконечности?

Ленту Мёбиуса иногда называют прародителем символа бесконечности, так как находясь на поверхности ленты Мёбиуса, можно было бы идти по ней вечно. Это не соответствует действительности, так как символ использовался для обозначения бесконечности в течение двух столетий до открытия ленты Мёбиуса.

Спираль ДНК –фрагмент ленты Мебиуса?

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе  является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того - такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение или аннигиляция, как подтверждают физики.

Ритмы мёбиусного вихря?

В ритмологическом ключе знак ленты Мёбиуса приобретает иное наполнение. Мы знаем, что есть ритмы, благодаря которым мы развиваем своё энергетическое, сердечное начало, и есть ритмы, обеспечивающие раскрытие нашего мозга, наших информационных возможностей. Чтобы эти противоположные начала развивались в нас равновелико и гармонично, между «энерго» - ритмами и «информо» - ритмами разместились ритмы Мёбиусного вихря. Учёные предполагают, что благодаря иммы имеем возможность непрерывно и бесконечно перемещаться от сердца к мозгу, от информации к энергии, сохраняя при этом баланс между планетарной и человеческой сторонами жизни. Ритмы Мёбиусного вихря позволяют нам совершать своеобразный «обмен» энергии на информацию и наоборот.

5) Применение листа Мёбиуса в технике.

Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно.

Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи).

Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.

Устройство под названием резистор Мёбиуса — это недавно изобретённый электронный элемент, который не имеет собственной индуктивности.

Были созданы особые кассеты для магнитофона, которые дали возможность слушать магнитофонные кассеты “с двух сторон”, не меняя их местами.

Лист Мёбиуса применяют  в детских заводных игрушках,  в конструкции стабилизатора штурвала рулевого привода, в щелевом затворе фото- или кинокамеры.

В метро ручка эскалатора, не что иное как лента Мёбиуса. Это  позволяет ей равномерно изнашиваться, и продлевает срок службы резины.

6) Лист Мёбиуса в литературе

Чудесные свойства ленты породили множество фантастических рассказов. В одном из них описывался случай в Нью-Йоркском метро, когда потерялся во времени поезд, отправившийся в путь по пути, замкнутом в ленту Мебиуса.

Листу Мёбиуса посвящены стихи. Одно из стихотворений «Лист Мёбиуса» написано Н. Ю. Ивановой

Лист Мебиуса – символ математики,

 Что служит высшей мудрости венцом…

 Он полон неосознанной романтики:

 В нем бесконечность свернута кольцом.

В нем – простота, и вместе с нею – сложность,

                              Что недоступна даже мудрецам:

                              Здесь на глазах преобразилась плоскость

                               В поверхность без начала и конца.              

Как о порог, об этот ноль споткнешься.

Но как бы ни был прежний путь тернист,

Вновь выбирай (и ты не ошибешься!)

Путь в бесконечность – Мёбиуса лист.

7) Графическое искусство

Лист Мёбиуса служит вдохновением для скульптур и для графического искусства. Морис Эшер был одним из художников, кто особенно любил лист и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — лист Мёбиуса, показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.

8) Скульптура

В  МОСКВЕ на станции метро «Фрунзенская», напротив кинотеатра «Горизонт», есть памятник «Ленте Мёбиуса».

В качестве примера использования ленты Мебиуса российскими художниками можно привести скульптуру «Лента Мебиуса и шар», созданную Александром Эткало.

9) Архитектура

О ленте Мебиуса ходит очень много легенд, одна из которых заключается в том, что если посмотреть сквозь эту ленту на мир под каким-то особенным углом, можно увидеть его совсем в другом свете.Интересен в этом смысле проект «Дом Мёбиус», построенный по принципу ленты Мёбиуса. Дом возведен в 1992-1998гг. в Голландии. Он представляет собой сосуществование двух параллельных миров (в каждом – офис и спальня), соединяющихся в некоторых общих точках и вновь расходящихся.

Архитектурная компания DWP Architects, специально для вьетнамского города Хошимин, разработала проект многофункционального жилого комплекса. Вдохновителем этого проекта стала лента Мебиуса.

Имеются и материальные воплощения простого листа Мёбиуса. Построенный в Лондоне Олимпийский велодром имеет контуры, которые можно назвать вариацией на тему листа Мёбиуса.

10) Лист Мёбиуса в повседневной жизни

Лента Мёбиуса понравилась не только математикам, но и фокусникам.

Более 100 лет она используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).

Лента Мебиуса  вдохновляет создателей ювелирных украшений. Среди их работ можно встретить кольца и кулоны в виде ленты Мёбиуса.

Не остались равнодушными к ней и мебельщики. Одним из примеров их работы в этом направлении является шезлонг, который представляет собой ленту Мёбиуса, склеенную из гнутого Британского дуба.

Поклонниками ленты Мебиуса стали даже обувщики. Так голландец Рэм Колхаас придумал остроумный силуэт туфель Мёбиус, словно состоящих из одной хитро свернутой ленты.

Не захотели остаться в стороне и дизайнеры. Художник и архитектор РонАрад является создателем дизайна флакона для духов в виде ленты Мёбиуса.

Лист Мёбиуса используется в кулинарии для того, чтобы создать интересный и аппетитный вид для булочек, сушек, хвороста, также при изготовлении инструментов для приготовления и украшения различных блюд, силовых конструкций (мешалка).

11)  «Памятники» математику  А.Ф.Мёбиусу

У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка.

В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса.

И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка – своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу, профессору Лейпцигского университета. В честь учёного назван астероид28516 (Möbius).

III. Заключение.

В ходе работы над проектом я узнала много интересного о листеМёбиуса.  Лист обладает замечательными свойствами и находит применение  в реальной жизни.

Он интересен не только математикам, но и физикам, биологам, писателям, художникам, скульпторам, инженерам и просто школьникам. Даже мастерицы-рукодельницы изготавливают шарфики, закрученную в эту чудо-ленту.

Конечно же, главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Именно поэтому его часто считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах и значках, как, например, на значке механико-математического факультета Московского университета.

При исследовании  этой поразительной (и  тем не менее совершенно реальной) односторонней поверхности я получила море удовольствия. Это очень успокаивает расстроенные трудными уроками нервы, уверяю вас.

Что может быть полезнее Чистого Знания?

IV. Список используемой литературы

1) В.А.Гусев, А.И.Орлов, А.Л.Розенталь «Внеклассная работа по математике», М., Просвещение, 2006г.

2) Ю.А.Данилова «Математический  цветник» М., Просвещение, 2009г.

 3) Д. Я. Стройк«Краткий очерк истории математики», М., Просвещение, 2001г.

4) И.Н.Шарыгин«Наглядная геометрия», М., Дрофа, 2011г.

Ссылки сайтов с интернета.

• http://arbuz.uz/t_lenta.html
• http://www.frei.ru/golos/books/
• http://umiranie.chat.ru/sphere.htm
• http://school-sector.relarn.ru/dckt/projects/ctrana/matric/t_lm1.htm
• http://www.kvant.info/
• http://www.websib.ru/noos/math/listmebiusa/
• http://www.univer.omsk.su/omsk/Edu/Math/mmebius.htm