Исследовательский проект 6 класс "Софизмы"
проект (6 класс)

Исследовательская работа на тему:

"Софизмы в математике"

Автор проекта:

ученики 6"А" класса Гриценко Владислав, Толайкин Семен

Руководитель проекта:

учитель математики Реминная Наталья Юрьевна

Учреждение: МБОУ "Гимназия имени Подольских курсантов"

2019 г.

"В математических вопросах

нельзя пренебрегать даже

самыми мелкими ошибками."
И. Ньютон

Мы  хотели, с помощью этой исследовательской работы изучить и понять софизмы. Чтобы не совершать ложных  рассуждения, под видом истинны. Ведь при обнаружении ошибок появляется интерес. Так же важно добиться отчетливого понимания ошибок, иначе софизмы будут бесполезны. Обнаружить ошибку – это значит осознать её, а осознание ошибки предупреждает нас от повторения её в других математических рассуждениях

  Цель нашей работы показать, что софизмы   являются не просто интеллектуальным мошенничеством, а важным двигателем человеческой мысли.  Софизмы развивают логику и мышление, помогают лучше разобраться в математике, прививают навыки правильного мышления.

Учитывая нашу цель мы ставим следующие задачи:

1.Узнать, что такое софизмы.

2.Рассмотреть математические софизмы.

3. Выяснить ,как разбор математических софизмов развивает умение и навыки логического мышления.

.

В распространенном понимании софизм (от греч. слова, «мастерство , умение, хитрая выдумка, уловка») - это умышленный обман, основанный на нарушении правил. Но обман тонкий и завуалированный, так, что его не сразу и не каждому удается раскрыть. Цель софизма – выдать ложь за истину.

Считается, что прибегать к софизму предосудительно, как и вообще обманывать и внушать ложную мысль, зная, в чем заключается истина. Аристотель называл софизмом «мнимые доказательства», в которых обоснованность заключения кажущаяся и обязана чисто субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью логического анализа. Софистами называли группу древнегреческих философов 4 века до нашей эры, достигших большого искусства в логике

Использование софизмов уводит рассуждение в сторону.

Пример древнего софизма: «Вор не желает приобрести ничего дурного; приобретение хорошего - есть дело хорошее; следовательно, вор желает хорошего».

Математический софизм-удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные , а подчас и очень тонкие ошибки.
Особенно часто в софизмах выполняют  «запрещенные»  действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил.   
Пример софизма:
- 5 есть 2+3 («два» и «три»). Два – число четное, три – нечетное, выходит, что пять – число и четное и нечетное.

 Такие софизмы разоблачить не трудно. Однако встречаются софизмы, в которых подвох хорошо замаскирован, в силу чего над ними надо изрядно поломать голову.

Классификация софизмов по темам:

Распределим некоторые софизмы, помогающие нам развить логическое мышление.

1.Арифметические.

Арифметика - (греч. arithmetika, от arithmys — число), наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними. Так что же такое арифметические софизмы? Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.

2.Алгебраические.

Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

3.Логические.

Кроме математических софизмов, существует множество других. Понять абсурдность таких утверждений проще, но от этого они не становятся менее интересными. Очень многие софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста.

5 класс

( Тема: упрощение выражений)

5 = 6.

Возьмём числовое тождество:

35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54

Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки.

Получим:

5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9)

Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключённый в скобки).

Получаем 5 = 6

(Ошибка: общий множитель (7 + 2 – 9) равен 0, а делить на 0 нельзя).

( Тема: единицы измерений)

Один рубль не равен ста копейкам

Возьмем верное равенство:

1 р. = 100 к.,

Возведем его по частям в квадрат, получим:

1 р. = 10000 к.

Таким образом, один рубль не равен ста копейкам.

(Ошибка: возведение в квадрат величин не имеет смысла, в квадрат возводятся только числа).

Равен ли полный стакан пустому?

Пусть имеется стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану, наполовину пустому. Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен стакану пустому.

Не знаешь то, что знаешь

«Знаешь ли ты то, о чём я хочу тебя спросить?» - «Нет». – «Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?» - «Знаю». – «Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь».

Вор

«Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего».

Рогатый

«Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога».

Апельсин- планета

Земля, Марс и т. д. - круглые. Значит, все планеты круглые. Апельсин тоже круглый, значит апельсин - планета?

Сидящий стоит

«Сидящий встал; кто встал, тот стоит; следовательно, сидящий стоит».

Логический софизм 

Вход в парк некоего могущественного князя был запрещен. Если нарушитель попадался, его ожидала смерть, но ему предоставлялось право выбирать между виселицей и обезглавливанием. Он должен был что-то заявить, и если его утверждение было верно, его обезглавливали, а если ложно, то его вешали. Что нужно было заявить нарушителю, чтобы избежать установленного правила и остаться живым?

«Меня повесят, естественно».

Ты не человек

Я человек, ты не я, значит ты не человек.

Самое быстрое не догонит самое медленное

Быстроногий Ахиллес никогда не настигнет черепаху. Пока Ахиллес добежит до черепахи, она продвинется немного вперед. Он быстро преодолеет это расстояние, но черепаха уйдет еще чуточку вперед. И так до бесконечности. Всякий раз, когда Ахиллес будет достигать места, где была перед этим черепаха, она будет оказываться хотя бы немного, но впереди.

Может ли всемогущий маг создать камень, который не сможет поднять?

Если не может - значит, он не всемогущий. Если может - значит, всё равно не всемогущий, т.к. он не может поднять это камень.

Софизм «лгун»
Вполне возможно, что лгун сознается в том, что он лгун. В таком случае он скажет правду. Но тот, который говорит правду, не есть лгун. Следовательно, возможно, что лгун не есть лгун. (Какая ошибка?)

«Софизм Кратила»

Диалектик Гераклит, провозгласив "все течет", пояснял, в одну и ту же реку нельзя войти дважды, когда входящий будет входить в следующий раз, на него будет течь уже другая вода. Кратил сделал и другие выводы: в одну и ту же реку нельзя войти даже один раз, так как пока ты входишь, она уже изменится.

«Лекарства»

«Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше».

«Девушка — не человек»

Доказательство от противного. Допустим, девушка – человек. Девушка – молодая, значит девушка – молодой человек. Молодой человек – это парень. Противоречие. Значит девушка — не человек.

«Последние годы нашей жизни короче, чем первые»

 Известно старое изречение: в молодости время идёт медленнее, а в старости скорее. Это изречение можно доказать математически. Действительно, человек проживает в течение тридцатого года 1/30 часть своей жизни, в течение сорокового года - 1/40 часть, в течение пятидесятого - 1/50 часть, в течение шестидесятого - 1/60 часть. Совершенно очевидно, что 1/30 > 1/40 > 1/50 > 1/60, откуда ясно, что последние годы нашей жизни

 Исследовательская часть:

Чтобы показать и подтвердить значимость софизмов в жизни, мы провели исследовательскую работу в сфере учебной деятельности (приложение). Данная работа была направлена

• на ознакомление учащихся с софизмами.
• на развитие умения находить ошибку,  и устранять ее;
• на развитие логического мышления;
• на формирование математической грамотности учащихся.

Практическая часть.

Анкетирование:

 1.Знакомо ли вам понятие «Софизм» ?

2. Доводилось ли вам слышать подобную фразу : «Дважды два равно пяти» или хотя бы « Два равно трём» ?

3.Найди ошибку:

 5 = 6.

Возьмём числовое тождество:

35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54

Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки.

Получим:

5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9)

Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключённый в скобки).

Получаем 5 = 6

4.Найди ошибку:

«Дважды два – пять».

Доказательство:

Пусть исходное соотношение - очевидное равенство:

4:4= 5:5 (*) .

Вынесем за скобки общий множитель каждой чести (*) равенства, и мы получим:

4·(1:1)=5·(1:1) (**)

Тогда разложим число 4 на произведение 2 ·2.

Получаем (2·2)· (1:1)=5·(1:1) (***)

Наконец, зная, что 1:1=1, мы из соотношения (**) устанавливаем: 2·2=5.

Мы  провели анкетирование среди учащихся 5,6,8 и 11 классов(_____человека)на знание софизмов,анкетирование было проведено до урока-презентации по теме «Софизмы в математике» . и после проведения этого урока.

 Учащимся были заданы следующие вопросы:

1. Знакомо ли вам понятие «Софизм» ?

Да ответило- ___ человек -___ %. Нет – __ человек – __ %.

2. Доводилось ли вам слышать подобную фразу: «Дважды два равно пяти» или хотя бы « Два равно трём»?

Да ответило- __человек – __ %. Нет – __человек – __ %.

3.Найди ошибку:

 5 = 6.

Возьмём числовое тождество:

35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54

Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки.

Получим:

5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9)

Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключённый в скобки).

Получаем 5 = 6

Нашло ошибку- __ человек – __%. Нет – __ человека – __ %.

После проведения урока:

Нашло ошибку- __ человек – __%. Нет – __ человека – __ %.

4.Найди ошибку:

«Дважды два – пять».

Доказательство:

Пусть исходное соотношение - очевидное равенство:

4:4= 5:5 (*) .

Вынесем за скобки общий множитель каждой чести (*) равенства, и мы получим:

4·(1:1)=5·(1:1) (**)

Тогда разложим число 4 на произведение 2 ·2.

Получаем (2·2)· (1:1)=5·(1:1) (***)

Наконец, зная, что 1:1=1, мы из соотношения (**) устанавливаем: 2·2=5.

 Нашли ошибку- ___ человек – __ %. Нет – ___ человека – ___ %.

После проведения урока:

Нашло ошибку- __ человек – __%. Нет – __ человека – __ %.

5.Хотелось ли вам познакомиться с софизмами ?

Да ответило- __ человек – ___ %. Нет – ___человек – ___ % .

Результаты тестирования(приложение 1)

Заключение:

 В своей работе мы доказали, что софизмы являются не просто интеллектуальным мошенничеством, а важным двигателем человеческой мысли. Мы рассмотрели математические софизмы с точки зрения их важности для изучения математики.  Во время работы над проектом нам было интересно, мы узнавали много нового. Мы считаем эту тему очень увлекательной и содержательной, развивающей познавательный интерес к урокам математики. Обнаружение и анализ ошибки, заключенной в софизме, зачастую оказывается более поучительным, чем просто разбор решений «безошибочных» задач.

Список использованной литературы

1. «Математические софизмы». Книга для учащихся 7-11 классов. Авторы: А.Г. Мадера, Д.А. Мадера. Издательство Москва «Просвещение» 2003.

2.«Математическая шкатулка». Автор: Ф.Ф. Нагибин. Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР 1961.

3. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика/Составители А.П. Савин, В. В. Станцо, А.Ю. Котова: под общей редакцией О.Г.Хинн.-М.:АСТ,1995.

4. Глейзер Г.И. История математики в школе: IX-Xкл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение,1983

1. Фамилия Имя класс.

 2.Знакомо ли вам, понятие «Софизм» ?

3. Доводилось ли вам, слышать подобную фразу : «Дважды два равно пяти» или хотя бы « Два равно трём» ?

4.Найди ошибку:

 5 = 6.

Возьмём числовое тождество:

35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54

Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки.

Получим:

5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9)

Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключённый в скобки).

Получаем 5 = 6

5.Найди ошибку:

«Дважды два – пять».

Доказательство:

Пусть исходное соотношение - очевидное равенство:

4:4= 5:5 (*) .

Вынесем за скобки общий множитель каждой чести (*) равенства, и мы получим:

4·(1:1)=5·(1:1) (**)

Тогда разложим число 4 на произведение 2 ·2.

Получаем (2·2)· (1:1)=5·(1:1) (***)

Наконец, зная, что 1:1=1, мы из соотношения (**) устанавливаем: 2·2=5.

6.«Понравилась ли вам эта тема? Хотели бы вы узнавать подобное на уроках математики?»,