Модуль. Параметр.
элективный курс по алгебре (9, 10, 11 класс)

Республика Саха (Якутия)

МР «Чурапчинский улус (район)»

МБОУ «Диринская СОШ «АГРО» им. И.Е.Федосеева-Доосо»

Модуль. Параметр.

Элективный курс

 (подготовка к ЕГЭ, в ВУЗ)

 Автор:   Захарова Светлана Николаевна,  

                  учитель математики

                  МБОУ «Диринская СОШ «АГРО»

   им. И.Е.Федосеева-Доосо»

                                                       с. Дирин. 2018.

                                                       Пояснительная записка.

Данный элективный курс представляет собой тематическое планирование и разработки занятий элективного курса по теме «Модуль» и «Параметр» для 9-11 классов.

По каждым пунктам приведены теоретические и практические материалы. Предложенные задания закрепляют, систематизируют и углубляют знания по темам «Модуль» и «Параметр», способствуют развитию аналитического мышления, формированию навыков самообразования.

 Курс предназначен для подготовки к итоговой аттестации и вступительным экзаменам в высшие учебные заведения. Материалы работы могут быть использованы для подготовки к олимпиадам.

Элективный курс содержит 2 раздела, к которым приведены задачи и примеры решения. В конце курса приведены контрольные вопросы к знаниям и умениям.    

Элективный курс рассчитан на 35 ч.

                                       Учебно-тематический план.

Содержание.

1. Модуль.

1.1. Модуль. Основные способы решения уравнений и неравенств с модулем.

Определение:  .

Основные свойства модуля:

1.      2.      3. ;     4. ;     5. .

1.1.2. Простейшие неравенства.

Неравенство  < а  (а > о) эквивалентно двойному неравенству .

Неравенство  > а  (а > о) эквивалентно совокупности неравенств .

Неравенство  > а  (а < о) справедливо при .

Неравенство  > а справедливо при .

1.1.3. Неравенства вида .

Неравенство  эквивалентно совокупности

1.1.4. Неравенства вида  

Исходя из равенства                      

имеем  получим  

          При  исходное неравенство не имеет решений.

1.1.5.  Неравенства вида

Неравенство вида   равносильно совокупности  неравенств

 Если , то неравенство  выполняется на всей ОДЗ функции

2. Метод интервалов. Возведение в квадрат.

1.2.1. Метод интервалов (разбиение на промежутки).

Пример 1. Решить неравенство  Ответ: (-3/4; 9/4).

Пример 2. Решить неравенство   Ответ:

1.2.2. Возведение в квадрат.

Пример 1. Решить неравенство  Ответ: (-3; 1/3).

Пример 2. Решить неравенство   Ответ:

1.3.   Графики функций с модулем.

Пример 1. Построить график функции    .

Пример 2. Построить график функции    

1.4.   Графический метод решения задач с параметрами.

Пример 1. При каких значениях а уравнение  имеет более двух корней?

Указание: Пусть х ≠ 0, тогда можно записать

Ответ: а = 0.

Пример 2. Сколько корней имеет уравнение  в зависимости от а?

Ответ:  - решений нет; а = 2 – одно решение;  - два решения.

Пример 3. При каких значениях параметра а уравнение  имеет единственное решение. Найти это решение.

Указание: Если х=2 подставить в уравнение, то получим 5=а*0, значит х≠2. Поделим правую и левую части уравнения на , тогда .

Ответ: х=-3 при а=0; х=-0,5 при а=1.

Пример 4. При каких значениях а уравнение  имеет более трех корней?

Ответ: .

II. Параметр.

2.1.  Линейные уравнения и неравенства.

         2.1.1. Линейные уравнения с коэффициентами, зависящими от параметра.

При решении уравнения вида Ах=В, где А и В – выражения, зависящие от параметра, необходимо рассматривать два случая: А=0. и А≠0.

Пример 1. Для каждого значения параметра а решите уравнение:

Ответ: при а = 3/2 х;

            при а = -3/2 х;

            при а  х.

2.1.2. Линейные неравенства с коэффициентами, зависящими от параметра.

При решении неравенства вида Ах><В, где А и В – выражения, зависящие от параметра, необходимо рассматривать три случая: А=0, А>0, А<0. Напомним, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Таким образом

Пример 1.  Для каждого значения параметра а решите неравенство:

Ответ: при   ;

            при  а=-1  ;

            при а = 1   ;

            при    

2. Квадратные уравнения и неравенства.

2.2.1. Квадратные уравнения с параметрами.

В уравнении  с параметром а и переменной х принадлежит одному из следующих типов:

1)           2)

3) ;                  4)

5) ;                      6)

Пример 1. Решить уравнение

Ответ:               

 ;      

Пример 2. Решить уравнение

Указание: Отметим промежутки, на которых коэффициенты   обращаются

в ноль.

Ответ: При а =2 ;   при  ;  при    и при    при   х=0;  при   х=0, .

2.2.2. Неравенства с параметрами второй степени.

В неравенстве  с параметром а и переменной х для допустимых значений параметра совокупность всех частных неравенств разбивается на следующие типы:

1)           2)

3) ;                  4) ;

5) ;                       6)  

  7)   

  8)

Пример1. Решить неравенство

Пример 2. При каких значениях параметра  а всякое решение неравенства  будет одновременно решением неравенства ?

Ответ: 

3. Теорема Виета.

2.3.1. Соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.

Следствие из теоремы Виета:  Для приведенного квадратного уравнения х2 + рх – q =0  имеют место соотношения: х12+х22=р2-2q и х13+х23=-р(р2-3q).

Пример 1. пусть х1 и х2 – корни квадратного уравнения 9х2 + 18х +1 =0. Составить квадратное уравнение с корнями: а) -х1 и -х2 ;   б) 1/х1 и 1/х2.

Ответ:   а) 9х2 + 18х +1 =0;   б) х2 + 18х +9 =0.

Пример 2. При каком значении параметра  а разность корней уравнения х2-ах+2=0

равна 1?

Ответ:

Пример 3. При каком значении параметра  а разность квадратов корней уравнения

3х2-5х+а=0 равна 5/9?

Ответ:

2.3.2.  Разложение трехчлена на линейные множители.

Теорема: Если х1  и х2 – корни квадратного уравнения, то квадратный трехчлен разлагается на линейные множители вида: Ах2+Вх+С=А(х-х1)(х-х2).

Пример 1.  Разложить на множители выражение: 4(х2z+у2х+z2у)-2(хz2+zу2+уz2)-7хуz.

Успех в решении такого рода задач заключается в удачном выборе переменной. В данном случае все переменные равноправны, поэтому можно рассматривать исходное выражение как квадратное относительно х: Р(х)=2(2z-у)х2+(4у2-7уz-2z2)х+(4z2у-2у2z).

Ответ: Р(х)=(х-2у)(у-2z)(z-2х).

3. Обобщение теоремы Виета на уравнении третьей степени.

Если х1, х2, х3 – действительные корни уравнения х3+рх2+ qх+r =0, то разлагая многочлен третьей степени на линейные множители, раскрывая скобки и приведя подобные слагаемые, получим: . На самом деле полученные соотношения являются частным случаем теоремы Виета многочлена любой степени.

Пример 1.  Ребра а,в,с прямоугольного параллелепипеда являются корнями кубического уравнения х3-10х2+23х-15=0. Найти объем и площадь полной поверхности параллелепипеда.

Ответ: V=15; S=46.

3. Квадратные уравнения с ограничением на корни.

2.4.1.  Условие знакопостоянства ( противоположности) знаков корней квадратного трехчлена.

Теорема 1. (о положительности корней). Корни х1,  х2 квадратного уравнения Ах2+Вх+С=0 действительны и положительны тогда и только тогда, когда выполняются условия: D -В/А>0, С/А>0.

Теорема 2. (об отрицательности корней). Корни х1,  х2 квадратного уравнения Ах2+Вх+С=0 действительны и отрицательны тогда и только тогда, когда выполняются условия: D -В/А< 0, С/А>0.

Теорема 3. (о корнях разного знака). Корни х1,  х2 квадратного уравнения Ах2+Вх+С=0 действительны, и имеют разные знаки тогда и только тогда, когда выполняются условия: D>0, С/А< 0.

Пример1.  Не решая уравнения ах2+2(а+1)х+2а=0 определить знаки его корней в зависимости от параметра.

Ответ: При  корни положительны;

              При  корни отрицательны;

              При , корни разного знака.

Пример 2. При каких значениях параметра  а уравнение (а-1)-(8а-4)х+16а-5=0  имеет два различных корня больших или равных 2?

Ответ: а>1.

Пример 3. При каких значениях параметра  а уравнение (а-1)-(6а+10)х+9а+16=0  имеет два различных решения, одно из которых больше 2, а другое меньше 2?

Ответ: 

Пример 4. При каких значениях параметра  а уравнение +2х-8=а(х-4)имеет два различных корня? Определить знаки этих корней в зависимости от а.

Ответ: При а<2 – корни разных знаков;

              При а>18 – оба корня положительны.

Контрольные вопросы.

1. Метод интервалов для решения уравнений и неравенств с модулем.
2. Общая схема решения линейных уравнений и неравенств с параметром.
3. Общая схема решения квадратных уравнений и неравенств с параметром.
4. Теоремы о положительности, об отрицательности корней, о корнях разного знака.
5. Корни квадратного уравнения относительно числа.
6. Обобщение (елочка)

Литература для учителя:

1. Галаева Е.А. Профильный курс. Алгебра. 11 класс. Волгоград: ИТД «Корифей», 2007.
2. Афанасьева А.Б., и др. Домашние задания по математике. 10-11 класс. СУНЦ МГТУ им. Н.Э. Баумана. – М.: «Олита», 2001.
3. Денежкина И.Е., Окромешко Н.Г. Линейная функция (задачи повышенной сложности). – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.
4. Афанасьева А.А., и др. Квадратный трехчлен и задачи с параметрами. СУНЦ МГТУ им. Н.Э. Баумана. – М.: «Олита», 2004.
5. Васильева А.В., Заз А.И. Математика: Сборник задач для поступающих в вузы. - М.: Учебный центр «Ориентир» при МГТУ, 2000.
6. Пархимович И.В. Математика для поступающих. – Мн.: Высшая шк., 1998.
7. Кучерова К.И.. математика: Методические указания. – М: Издательство МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2006.
8. Вавилов В.В., и др. Задачи по математике. Алгебра. Справочное пособие. – М.: Наука., 1998.  
9. Денищева Л.О., Глазков Ю.А., и т.д. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ-2004. Математика. –М.: Интеллект-Центр, 2004.
10.  Денищева Л.О., Глазков Ю.А., и т.д. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ-2005. Математика. –М.: Интеллект-Центр, 2005.
11. Соболь Б.В., Виноградова И.Ю., и др. Пособие для подготовки к ЕГЭ и централизованному тестированию по математике. – Ростов н\Д: «Феникс», 2003.
12. Клово А.Г., Калашников В.Ю., и др.  Пособие для подготовки к ЕГЭ по математике. – М.: Центр тестирования МО РФ, 2004.
13. Попов С.В. Письменные экзамены по математике в центральные вузы России. Пособие. – Новосибирск: Издательский центр НГУ, 2003.
14. Баишева М.И., Кутукова Л.Т. Тренировочные тесты. – Якутск: ЯГУ им. М.К. Аммосова, 2005.
15. Афанасьев А.Н., Малышев В.В., Савин А.С. Пособие для подготовки к ЕГЭ по математике. –Якутск: ЯГУ им. М.К. Аммосова, 2003.
16. Попов С.В. ЕГЭ по математике. Книга для учащихся ОУ. - Новосибирск: Издательский центр НГУ, 2001,2002,2003.
17.  Голиков А.И. Тесты по математике для подготовки к ЕГЭ. – Якутск: Центр тестирования ЯГУ, 2002.
18. Попов С.В. ЕГЭ по математике. – с. Чапаево Хангаласского улуса РС(Я): изд-во Ф-М Форума «Ленский Край», 2004.