Конспекты по теме "Решение тригонометрических уравнений" к учебнику 10 класса, автор Колягин
учебно-методический материал по алгебре (10, 11 класс)

Тригонометрические уравнения (глава 9, § 1-§3)

Уравнения вида y = sin x, y = cos x, y = tg x называются тригонометрическими уравнениями.

Уравнения вида sin x = 0, sin x = 1, sin x = -1, cos x = 0, cos x = 1, cos x = - 1 называются простейшими тригонометрическим уравнениями.

Решение уравнений вида cos x = a, sin x = a, tg x = a

Примеры задач

Конспект «Тригонометрические формулы»

Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в один радиан.

Формула перехода от радианной меры к градусной:

рад 

Формула перехода от градусной меры к радианной

рад.

Единичная окружность - окружность радиуса, равного 1 с центром в начале координат.

Введём понятие поворота точки единичной окружности вокруг начала координат на угол  рад, где  – это любое действительное число. Отметим точку . Эта точка расположена на окружности.

Пусть . Представим, что точка, двигаясь по единичной окружности от точки  против часовой стрелки, прошла путь длиной . Конечную точку пути обозначим .

В таком случае будем говорить, что точка  получена из точки  путём поворота на угол  рад вокруг начала координат.

Теперь пусть . В этом случае поворот на угол  рад будем совершать по часовой стрелке. Точка пройдёт путь длиной модуль . Конечную точку пути обозначим .

Если же , то точка остаётся на месте.

Угол поворота можно задавать и в градусах, и в радианах. Так, например, поворот точки  на угол  означает то же, что и поворот на . А поворот на  – это поворот на .

Таблица поворотов на наиболее часто встречающиеся углы, выраженные в радианной и градусной мере:

При повороте на , то есть на , точка возвращается в своё первоначальное положение.

При повороте на , то есть на , точка также вернётся в своё первоначальное положение.

Давайте рассмотрим пример поворота на угол, который больше . Например, на угол . Представим . Получается, что при повороте на этот угол точка  совершает три полных оборота против часовой стрелки и ещё проходит путь .

Теперь рассмотрим пример поворота на угол , то есть на угол меньший . Представим . В этом случае точка совершает три полных оборота по часовой стрелке и ещё проходит путь  в этом же направлении.

Получается, что при повороте точки  на угол  получаем ту же точку, что и при повороте на угол , а при повороте точки  на угол  получаем ту же точку, что и при повороте на угол .

Вообще, если угол  можно представить как , где  – целое число, то при повороте на угол  получаем ту же самую точку, что и при повороте на угол .

Таким образом, можем сделать вывод, что каждому действительному числу  соответствует единственная точка единичной окружности, получаемая поворотом точки  на угол  рад.

Однако одной и той же точке  единичной окружности соответствует бесконечное множество действительных чисел , где  – целое число, задающих поворот точки  в точку .

Запомните! Синусом угла  называется ордината точки , полученной поворотом точки  вокруг начала координат на угол . Обозначают: .

Косинусом угла  называется абсцисса точки , полученной поворотом точки  вокруг начала координат на угол . Обозначают: .

Причём угол  может выражаться и в градусах, и в радианах.

Запомните! Тангенсом угла  называется отношение синуса угла  к его косинусу. Обозначают: .

Таким образом, можем записать, что .

Иногда используют котангенс угла , который равен отношению косинуса угла  к синусу угла : . При этом .

Таблица значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса, с которыми вы будете встречаться чаще всего:

Найдём значение выражения .

Воспользуемся только что приведённой таблицей. Подставим значения в наше выражения: . Теперь выполним вычисления и в результате получим .

Отметим, что значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов, которых нет в этой таблице, можно найти с помощью инженерного микрокалькулятора или по четырёхзначным математическим таблицам Брадиса.

Оси координат делят плоскость на четыре четверти.

Основное тригонометрическое тождество   .

Давайте из этого тождества выразим .

Перенесём  в правую часть равенства: .

Извлекаем квадратный корень из обеих частей равенства: , , если  – угол I или II четверти. И , если  – угол III или IV четверти.

В общем, можем записать так: 

.

Теперь выразим .

Перенесём  в правую часть равенства: .

Извлекаем квадратный корень из обеих частей равенства: , . , если  – угол I или IV четверти. , если  – угол II или III четверти.

В общем, можем записать так:    .

Вот таким образом мы получили равенства, которые связывают значения синуса и косинуса одного и того же угла.

Давайте вычислим , если  и . Воспользуемся формулой . Так как а, то есть угол альфа – это угол III четверти, то . Поэтому в формуле перед корнем нужно поставить знак «»: . Тогда подставим значение  в формулу: . Выполним вычисления: .

Теперь давайте вычислим , если  и . Воспользуемся формулой . Так как , то есть угол альфа – это угол IV четверти, то .

Поэтому в формуле перед корнем нужно поставить знак «»? Верно. Запишем формулу: . Подставим значение  в формулу: . Выполним вычисления: .

Зависимость между тангенсом и котангенсом.

По определению , а .

Перемножим почленно эти равенства: .

И получим:  

Выразим из этого равенства  и получим, что .

И выразим  и получим, что .

Важно отметить, что так как на нуль делить нельзя, то  и , то есть , .

Вычислим , если . Подставляем в формулу  значение котангенса: . Вычисляем и получаем .

Вычислим , если  и . По формуле  найдём . Так как , то есть угол  – это угол II четверти, то . Поэтому в формуле перед корнем нужно поставить знак «»: . Подставим значение . Выполним вычисления: .

Теперь найдём значение . Подставим значения  и . Выполним вычисления: .

Зависимость между тангенсом и косинусом.

Для этого мы с вами разделим обе части основного тригонометрического тождества  на : .

При этом  не должен равняться нулю, то есть , .

Преобразуем левую часть равенства: .

Первое слагаемое в левой части можем записать как , второе – как : .

Из этой формулы мы можем выразить тангенс через косинус и косинус через тангенс.

Давайте вычислим , если  и . Выразим  из формулы : . Подставим значение : . Выполним вычисления:  . , то есть это угол II четверти. Тангенс во второй четверти принимает отрицательные значения. Поэтому .

И вычислим , если  и . Из формулы  выразим : . Подставим значение : . Выполним вычисления: . У нас . Косинус в III четверти принимает отрицательные значения. Поэтому .

А сейчас выполним несколько заданий.

Задание первое. Найдите ,  и , если  и .

Решение.

Задание второе. Найдите ,  и , если  и .

Решение.

Конспект (§7,8,9,11,12)

Синус, косинус, тангенс углов α и -α

 , а .

.  .

Эти формулы позволяют перейти от вычисления синуса, косинуса, тангенса и котангенса отрицательных углов к вычислению их значений для положительных углов.

Давайте найдём , , , .

Итак, вычислим . Воспользуемся формулой  и запишем .

По формуле : .

По формуле : .

И вычислим . Воспользуемся формулой   и запишем .

Формулы сложения

 .      .

.   . 

Давайте вычислим , .

 [применим формулу ]  [подставим значения синусов и косинусов] .

 [применим формулу ]  [теперь подставим значения синуса и косинуса] .

 .

Давайте вычислим: .  [применим формулу ] .

Подставим значения  и :

.

Синус, косинус, тангенс двойного угла

Задание первое. Вычислите: а) ; б) ; в) .

Решение.

Второе задание. Найдите значение выражений: а) ; б) .

Решение.

И ещё одно задание. Упростите выражения: а) ; б) ; в) .

Решение.

Формулы приведения

 ,                        , ,            ,                    , ,        .        , ,            ,         , ,          .                                                   

Чтобы записать любую из формул, можно применять следующие правила:

1) в правой части формулы ставится тот знак, который имеет левая часть при условии, что .

2) Если в левой части угол равен   или , то синус заменяется на косинус, косинус – на синус, тангенс – на котангенс, котангенс – на тангенс. Если угол равен , то замены не происходит.

Эти правила облегчают запоминание формул, поэтому их называют мнемоническими правилами.

А сейчас давайте выполним задание. Вычислите: а) ; б) ; в) ; г) .

Решение.

Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов

. .

. .

Задание первое. Представьте в виде произведения следующие выражения: а) ; б) ; в) ; г) .

Решение.

 Второе задание. Представьте в виде суммы или разности выражения: а) ; б) ; в) .

Решение.

И выполним ещё одно задание, в котором надо найти значения следующих выражений: а) ; б) .

Решение.