Решение тригонометрических уравнений.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (10, 11 класс)
Задание 13 профильного уровня ЕГЭ. Рассмотрены основные методы решения тригонометрических уравнений и показаны различные способы отбора корней.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 reshenie_trigonometricheskih_uravneniy.pptx | 1.62 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
I. Простейшие тригонометрические уравнения- это уравнения вида: Каждое из таких уравнений решается по формулам: , c
II. Основные методы решения уравнений 1. Замена переменной и сведение к квадратному уравнению Пример №1 . 1 a ) Решите уравнение:
, Решение:
Проведём отбор корней различными способами . 1.Арифметический способ: перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней.
2.Алгебраический способ: решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней. ,
3.Геометрический способ: изображение корней на единичной окружности с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений.
4.Функционально-графический способ При решении тригонометрических уравнений иногда используются графики тригонометрических функций. Схематично изобразим графики функций y= cos х ,y=0,5, y =1 . И найдем абсциссы точек пересечения на заданном отрезке . х У=1 У=0,5 у
Пример № 1.2 а) Решите уравнение : . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение: . . . .
Проведем отбор корней одним из способов. Алгебраический способ: решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней. Ответ:
Пример №1.3 а) Решите уравнение Решение: a cosx + b sinx = C sin(x+ ), где Метод вспомогательного аргумента. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Проведем отбор корней одним из способов . Арифметический способ: перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней. Ответ:
2. Разложение на множители Пример №2 . 1 а) Решите уравнение б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение: или или
б) Проведем отбор корней различными способами . 1.Арифметический способ: перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней. .
2.Алгебраический способ: решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней.
3.Геометрический способ: изображение корней на единичной окружности с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений . 0 . у х В указанном отрезке содержаться три корня уравнения
4.Функционально-графический способ Х у .
Пример № 2.2 а) Решите уравнение : б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие интервалу . Решение: или
б ) Проведем отбор одним из способов 1.Арифметический способ: перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней. , ,
, Ответ: , ,
3. Приведение к однородному уравнению 3. 1.Однородное линейное тригонометрическое уравнение. Пример № 3 . а)Решите уравнение : б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение: . Если cos2x=0 , то и sin2x=0 , что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Поэтому cos2x отличен от нуля и на него можно разделить обе части уравнения. , , .
б) Проведем отбор одним из способов Алгебраический способ: решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней.
3.2. Однородное квадратное тригонометрическое уравнение Пример № 4. а)Решите уравнение : б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение: Если cos 2 x =0 то из уравнения следует, что sin 2 x =0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Поэтому cos 2 x =0 отличен от 0, на него можно поделить обе части уравнения:
б) Проведем отбор одним из способов При отборе корней в данном уравнении удобно использовать тригонометрическую окружность, так как одна из серий решения содержит значения обратных тригонометрических функций, которые не являются табличными. ,
4.Метод вспомогательного аргумента. a cosx + b sinx = C sin(x+ ), где ᵩ - вспомогательный аргумент , или Пример №5 . а) Решите уравнение: б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение:
б) Проведем отбор одним из способов Геометрический способ: изображение корней на числовой прямой с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений. 0 x .
5. Универсальная тригонометрическая подстановка . Уравнения вида F( sinx , cosx , tgx ) = 0 сводятся к алгебраическому при помощи универсальной тригонометрической подстановки , выразив синус, косинус и тангенс через тангенс половинного угла по формулам Но при данной замене может быть потеря корней Поэтому если применение универсальной подстановки приводит к сужению ОДЗ, то данную серию нужно проверить отдельно. Пример №6 . а)Решите уравнение : 2+sin2x=3tgx. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение: Заменим sin 2 x через tgx . Данная замена не сужает ОДЗ, поэтому не приведет к потере корней. Так как сумма коэффициентов равна 0, то t =1-корень уравнения. Получим ( t -1)(3 t 2 + t +2)=0 Второй множитель корней не имеет, так как дискриминант отрицателен. Тогда получим
б) Проведем отбор одним из способов Алгебраический способ: решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней.
III . Тригонометрические уравнения, содержащие ОДЗ Пример №7.1. а) Решите уравнение : б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение: Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, то
б) Проведем отбор одним из способов Функционально-графический способ
Решение:
б ) Проведем отбор корней одним из способов 3.Геометрический способ: изображение корней на единичной окружности с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений. 0
IV. Функционально-графический способ . Пример №8 . а)Решите уравнение : sinx+sin9x=2 Б) Найдите корни, принадлежащие отрезку [-2π 0;] Решение: Так как -1≤ sint ≤1, то данное равенство возможно только при условии, что каждое из слагаемых будет равно 1. Найдем такие целые значения n и m , при которых решения в полученных сериях совпадают, т.е. Подставляя во второе уравнение найденное значение для k получим
б) Проведем отбор корней одним из способов 1.Арифметический способ: перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней. Ответ : а)
V . Комбинированные уравнения. Пример № 9 . б ) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение:
б) Проведем отбор одним из способов Геометрический способ: изображение корней на единичной окружности с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений. Заданному промежутку принадлежит одна точка ,
Пример №10 . а)Решите уравнение: б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение:
б) Проведем отбор одним из способов Заданному промежутку принадлежат 3 точки. Геометрический способ: изображение корней на единичной окружности с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений.
Задачи для самостоятельного решения. II 1.а) Решите уравнение . б) Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку 2. а) Решите уравнение . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 3.а) Решите уравнение . б) Укажите корни этого уравнения на интервале 4.а) Решите уравнение . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 5. а) Решите уравнение б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 6. б)Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
III . 7. a) Решите уравнение б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 8.а) Решите уравнение б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 9. б)Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
IV . 11. а) Решите уравнение б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 12. а) Решите уравнение б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку 1 3 . Решите уравнение 1 4 . Решите уравнение
V . 15. а) Решите уравнение б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 16.а) Решите уравнение: б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку . 18.а) Решите уравнение б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 1 9. а) Решите уравнение б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 20.а) Решите уравнение б)Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Литература Корянов А. Г., Прокофьев А. А. – Тригонометрические уравнения: методы решения и отбор корней. – Математика ЕГЭ 2012. Образовательный портал для подготовки к экзаменам «Решу ЕГЭ » https://ege.sdamgia.ru/ . Образовательный портал «Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по математике» https://math100.ru/ . Математический портал https://www.mathm.ru/
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Решение тригонометрических уравнений и систем уравнений
видеоурок интегрированного урока по математике и информатике...
урок по теме "Примеры решения тригонометрических уравнений и систем уравнений"
Класс 10Урок закрепления....
решение тригонометрических уравнений с применением тригонометрических формул
конспект урока в 10 классе и презентация к нему по теме "решение тригонометрических уравнений с помощью тригонометрических формул". Цели урока: знакомство обучающихся со способами решения тригонометри...
урок в 10 классе «Отбор корней при решении тригонометрических уравнений, используя свойство периодичности тригонометрических функций»
Тема урока «Отбор корней при решении тригонометрических уравнений,...
Обратные тригонометрические функции. Решение тригонометрических уравнений.
Вопросы, включенные в программу курса недостаточно изложены в школьных учебниках, поэтому необходимо расширить количество часов, отводимых на их изучение и круг задач, связанных как ...
План урока по теме "Решение тригонометрических уравнений, неравенств, систем уравнений".
Подбор разноуровневых тематических заданий для организации самостоятельной работы учащихся 10 классов....
Конспект урока «Решения тригонометрических уравнений с помощью тригонометрического круга»
Конспект урока в 10 классе по теме «Решения тригонометрических уравнений с помощью тригонометрического круга» с использованием интерактивных презентаций по объяснению и тренажеры по проверке усв...