Урок-лекция в 9 классе по алгебре по теме "Последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии".
методическая разработка по алгебре (9 класс)

Урок – лекция по теме :

 « Последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Распределение часов по теме:

1. Урок – лекция -  2 часа
2. Отработка основных понятий и простейших задач – 1 час
3. Зачёт по теме – 1 час
4. Решение задач – 6 часов
5. Контрольная работа – 1 час

План лекции :

1. Числовая последовательность.
2. Арифметическая и геометрическая прогрессии.
3. Формула п-ого члена арифметической и геометрической прогрессий.
4. Характеристические свойства прогрессий.
5. Формула суммы п первых членов прогрессий.

1. Понятие числовой последовательности

В повседневной жизни – номера домов на улице, номера счетов в банке, номера читательских абонентов, - образуют числовые последовательности.

В математике изучают конечные и бесконечные числовые последовательности:

 а1;  а2  ; а 3 ;…;ап-1;  ап ; ап+1…

а1- первый член последовательности

а2 – второй член последовательности

а3 – третий член последовательности и т.д.

ап- п-ый член последовательности и т.д.

п – номер члена последовательности.

Например:

1)    1 , 2, 3, 4,…,п-1; п, п+1, п+2, …     - последовательность натуральных чисел

2)    1, 4, 9, 16, …, (п-1)2; п2; (п+1)2,…    - последовательность квадратов натуральных чисел

3)    2,4,6,8,…, 2п-2, 2п, 2п+2,…        - последовательность чётных чисел

4)

Способы задания последовательности.

а) формулой п-ого члена последовательности:

ап = 1/п             1, 1/2, 1/3,1/4, …, 1/п…

ап = п(п-2)         -1, 0, 3, 8, 15, … п(п-2)…

б) рекуррентный – формулой, позволяющей вычислить п+1 член последовательности через предыдущие п членов и дополнительно задаются один или несколько членов  последовательности.

а)  вп+1= вп + вп-1   и  в1 = 1  в2 = 3

в3 = в2+в1 = 3 + 1 = 4

в4 = в3+в2 =  4 + 3 = 7

в5 = в4+в3 = 7 + 4 = 11    и т.д.      получаем   1,3,4,7,11,…

б)  сп+1 = 3сп+ 1  и с1 = 2

с2 = 3*с1 + 1 = 3*2 +1 = 7

с3 = 3*с2 + 1 = 3*7 +1 = 22

с4 = 3*с3 + 1 = 3*22 +1 = 67   и т.д.   получаем:   2,7,22, 67, …

2. Арифметическая и геометрическая прогрессии.

Выделяют два вида последовательностей:

1 -         1,2,3,4,5, ….      2-1=1;     3-2=1;       4-3=1;       5-4=1     и т.д.

                                         а2-а1=1    а3-а2=1      а4-а3=1      а5-а4=1    и т.д.  значит

                                       а2= а1+1     а3=а2+1     а4=а3+1     а5=а4+1   и т.д.

Числовая последовательность  а1 а2 а3 а4 ….ап… называется арифметической прогрессией, если  для всех натуральных п выполняется равенство

ап+1 = ап + d , где d – некоторое число, постоянное для данной прогрессии.

Из определения следует, что   ап+1 – ап  = d    число  d называют разностью арифметической прогрессии.

 Например:   1)    -1,-2,-3, -4….. –п,….      а2-а1= а3-а2== а4-а3=…..= d  d =-1

2)   6,8, 10,12,….            d  = 8-6=2,    d =2

2  -    1,2,4,8,16,…       2:1=2     4:2=2         8:4=2       16:8=2      и т.д.

                                      В2:в1=2     в3:в2=2     в4:в3=2       в5:в4=2     и т.д.

                                     В2=в1*2     в3=в2*2      в4=в3*2     в5=в4*2     и  т.д.

Числовая последовательность  в1 в2ва3 в4 ….вп… называется геометрической прогрессией,  если  для всех натуральных п выполняется равенство

 вп+1 = вп * q, где  q – некоторое число, постоянное для данной прогрессии

Из определения следует, что   вп+1:  вп  =  q     число    q  называют знаменателем геометрической прогрессии.

Например: 1) 2,8,32,128, ….         В2:в1= в3:в2= в4:в3=….=  q   ,  q  = 4

2) 1,2/3,4/9,8/27,….                       q  = 2/3:1= 4/9:2/3= 2/3

3. Формула п - ого члена арифметической и геометрической прогрессий

Для вычисления любого члена последовательности удобно пользоваться формулой п –ого члена прогрессии.

А) По определению арифметической прогрессии:

а2 = а1 + d                          

а3 = а2 +  d = а1 + 2d            

а4 = а3 + 3 d  = а1 + 3d

и т.д.

ап = а1 + d( п – 1) – формула п-ого члена  арифметической прогрессии

Например:    а1 = 5, d = 3  а50 = ?

а50 = а1 + 3( 50 – 1)= 5 + 3*49 = 152

б) По определению геометрической прогрессии:

в2 = в1 * q

в3 = в2 * q = в1 * q2

в4 = в3 * q = в1 * q3

и т.д.

вп = в1 * qп-1     -  формула п-ого члена геометрической прогрессии.

Например:   в1 = 7, q = 1/3   в5 = ?

В5 = 7*(1/3)5-1 = 7*(1/3)4 = 7*1/81 = 7/81

4 Характеристическое свойство прогрессий

А) по определению арифметической прогрессии:

 ап+1 = ап + d   и     ап-1 = ап – d  , откуда получаем  ап+1 + ап-1 = 2ап  или

ап = ап+1 + ап-1 / 2, п > 1   т.е.

каждый член арифметической прогрессии , начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов( этим определяется название  «арифметическая» прогрессия)

б)   по определению  геометрической прогрессии:

вп+1 = вп * q   и  вп-1 = вп / q  ,перемножив последовательно эти равенства, получаем :    в2п = вп+1 * вп-1 ,   п > 1  т.е. если вп>0,

каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов( этим определяется название  «геометрическая» прогрессия).

Например : а) ап = 3 - 4п  -  доказать, что это арифметическая прогрессия

ап+1 = 3 – 4(п+1)= 3 – 4п -4 = -1 - 4п ,  ап-1 = 3 – 4(п-1)  = 3- 4п +4 = 7 – 4п  ,

 ап = 7+4п-1+4п/2 = 6+8п /2 =3-4п,   ап =3-4п  ч.т.д.

б) вп =3*2п  - доказать, что это геометрическая прогрессия

вп-1 = 3*2п-1    ,  вп+1 = 3*2п+1       

  вп2 = 3*2п-1 * 3*2п+1 = 9*2п-1+п+1 = 9*22п =( 3*2п)2,  вп = 3*2п  ч.т.д.

   5 Формула суммы п первых членов прогрессий

А) рассмотрим арифметическую прогрессию  а1а2а3а4…….ап..      и сумму

 Sп = а1+а2+а3+….+ап    ,      

       Sп= а1+а2+а3+….+ап    или поменяем местами     Sп  =  ап+ап-1+ап-2 +..+а2+а1 

Можно записать иначе:       Sп=а1+(а1+d)+( а1+2d)+( а1+3d)+…+(а1+(п-1) d)

Или                                          Sп=ап+(ап- d) +(ап-2 d)+ (ап- 3d)+…+ (ап- (п-1)d)

Сложим эти два равенства почленно, получим: 2Sп=(а1+ап) + (а1+ап)+…+ (а1+ап)  - п слагаемых равных (а1+ап).т.е.   2 Sп= (а1+ап)  * п   ,значит  

 Sп= (а1+ап)  * п  / 2

Если воспользоваться формулой п-ого члена , то формулу суммы можно записать иначе:      Sп=(2а1+(п-1) d)/ 2

Например :

1. а1 = 5,     ап = 20,   п = 10  Найти сумму первых 10 членов прогрессии.

   S10  = ( 5 + 20)  / 2 * 10 = 25/2 *10 = 125,          S10 = 125

2. 9,13,17….         П =11,        S11= ?

      S11=   ,   а= 9,  d = 13-9 = 4,п = 11

      S11 = *11 = *11 = *11 = 319,      S11 = 319,

В)Рассмотрим геометрическую прогрессию.

в1,в2,в3,…,вп,…       S п = в1+в1 q +в1 q 2+…+в1 q п-1    (1)  умножим обе части равенства (1) на q,

Получим:   q S п=в q +в1 q 2+в1 q 3+…+в1 q п       (2),

Преобразуем равенства (1) и(2),и вычтем из (1)-(2)

      S п = в1+в1 q +в1 q 2+…+в1 q п-1

-

q S п = в1 q +в1 q 2+в1 q 3+…+в1 q п      

S п -  q S п=  в1- в1 q п    отсюда следует  S п(1-q) = в1(1-qп),  тогда

S п = ,  q ≠ 1

Eсли раскрыть скобки и воспользоваться формулой п-го члена,то получим другую формулу;

       S п ==, q ≠ 1

Например:   1)   в1 = 6,   q = 2,   п = 10,    S 10 - ?

S10 === -6*(-1023) = 6138

              S10=6138,

2)5,10,20,….,      S 7 - ?

в1 = 5,    q = 10:5 = 2,    в7 = в1*q6 = 5*26 = 5*64

S7 == ==635,     S 7 = 635

 Задания к зачёту по теме «Прогрессии»

Вариант 1

1. Последовательность задана рекуррентной формулой ап+1=2ап, а1= 5. Найти а7. Какой способ задания последовательности ты ещё знаешь?
2. Дайте определение геометрической прогрессии. Приведите пример. Что называют знаменателем геометрической прогрессии?
3. Формула п-го члена геометрической прогрессии.
4. Характеристическое свойство геометрической прогрессии.
5. Какие ты знаешь формулы нахождения суммы п первых членов арифметической прогрессии?
6. Последовательность задана формулой вп = 2п2 + 3п. найти в5.
7. В арифметической прогрессии а1=10, d = 4. Найти а12.
8. Найти сумму 10 членов геометрической прогрессии:  2 , 4, 8…
9. Найти разность арифметической прогрессии : 12, 19, 26…

Вариант 2

1. Последовательность задана формулой п-го члена ап = п + (п +1).

Найти а7. Какой способ задания последовательности ещё ты знаешь?

2. Дать определение арифметической прогрессии. Привести пример. Что называется разностью арифметической прогрессии?
3. Формула п-го члена арифметической прогрессии.
4. Характеристическое свойство арифметической прогрессии.
5. Какие ты знаешь формулы суммы п первых членовгеометрической прогрессии?
6. Найти первые три члена последовательности: а1=1 ап+1 = ап +1.
7. Найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если в1=8, q = 1\2.
8. Доказать, что последовательность ап = 5п -1 является арифметической прогрессией.
9. Найти 23- ий член арифметической прогрессии: -8;  -6,5; …