Урок-лекция в 9 классе по алгебре по теме "Последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии".
методическая разработка по алгебре (9 класс)
Выбранная форма урока позволяет сократить время на изучение теоретического материала и увеличить число часов для практической работы. На урок отводится 2 часа.На следующем уроке проводится зачет.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 32.53 КБ |
Предварительный просмотр:
Урок – лекция по теме :
« Последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии»
Распределение часов по теме:
- Урок – лекция - 2 часа
- Отработка основных понятий и простейших задач – 1 час
- Зачёт по теме – 1 час
- Решение задач – 6 часов
- Контрольная работа – 1 час
План лекции :
- Числовая последовательность.
- Арифметическая и геометрическая прогрессии.
- Формула п-ого члена арифметической и геометрической прогрессий.
- Характеристические свойства прогрессий.
- Формула суммы п первых членов прогрессий.
- Понятие числовой последовательности
В повседневной жизни – номера домов на улице, номера счетов в банке, номера читательских абонентов, - образуют числовые последовательности.
В математике изучают конечные и бесконечные числовые последовательности:
а1; а2 ; а 3 ;…;ап-1; ап ; ап+1…
а1- первый член последовательности
а2 – второй член последовательности
а3 – третий член последовательности и т.д.
ап- п-ый член последовательности и т.д.
п – номер члена последовательности.
Например:
1) 1 , 2, 3, 4,…,п-1; п, п+1, п+2, … - последовательность натуральных чисел
2) 1, 4, 9, 16, …, (п-1)2; п2; (п+1)2,… - последовательность квадратов натуральных чисел
3) 2,4,6,8,…, 2п-2, 2п, 2п+2,… - последовательность чётных чисел
4)
Способы задания последовательности.
а) формулой п-ого члена последовательности:
ап = 1/п 1, 1/2, 1/3,1/4, …, 1/п…
ап = п(п-2) -1, 0, 3, 8, 15, … п(п-2)…
б) рекуррентный – формулой, позволяющей вычислить п+1 член последовательности через предыдущие п членов и дополнительно задаются один или несколько членов последовательности.
а) вп+1= вп + вп-1 и в1 = 1 в2 = 3
в3 = в2+в1 = 3 + 1 = 4
в4 = в3+в2 = 4 + 3 = 7
в5 = в4+в3 = 7 + 4 = 11 и т.д. получаем 1,3,4,7,11,…
б) сп+1 = 3сп+ 1 и с1 = 2
с2 = 3*с1 + 1 = 3*2 +1 = 7
с3 = 3*с2 + 1 = 3*7 +1 = 22
с4 = 3*с3 + 1 = 3*22 +1 = 67 и т.д. получаем: 2,7,22, 67, …
- Арифметическая и геометрическая прогрессии.
Выделяют два вида последовательностей:
1 - 1,2,3,4,5, …. 2-1=1; 3-2=1; 4-3=1; 5-4=1 и т.д.
а2-а1=1 а3-а2=1 а4-а3=1 а5-а4=1 и т.д. значит
а2= а1+1 а3=а2+1 а4=а3+1 а5=а4+1 и т.д.
Числовая последовательность а1 а2 а3 а4 ….ап… называется арифметической прогрессией, если для всех натуральных п выполняется равенство
ап+1 = ап + d , где d – некоторое число, постоянное для данной прогрессии.
Из определения следует, что ап+1 – ап = d число d называют разностью арифметической прогрессии.
Например: 1) -1,-2,-3, -4….. –п,…. а2-а1= а3-а2== а4-а3=…..= d d =-1
2) 6,8, 10,12,…. d = 8-6=2, d =2
2 - 1,2,4,8,16,… 2:1=2 4:2=2 8:4=2 16:8=2 и т.д.
В2:в1=2 в3:в2=2 в4:в3=2 в5:в4=2 и т.д.
В2=в1*2 в3=в2*2 в4=в3*2 в5=в4*2 и т.д.
Числовая последовательность в1 в2ва3 в4 ….вп… называется геометрической прогрессией, если для всех натуральных п выполняется равенство
вп+1 = вп * q, где q – некоторое число, постоянное для данной прогрессии
Из определения следует, что вп+1: вп = q число q называют знаменателем геометрической прогрессии.
Например: 1) 2,8,32,128, …. В2:в1= в3:в2= в4:в3=….= q , q = 4
2) 1,2/3,4/9,8/27,…. q = 2/3:1= 4/9:2/3= 2/3
- Формула п - ого члена арифметической и геометрической прогрессий
Для вычисления любого члена последовательности удобно пользоваться формулой п –ого члена прогрессии.
А) По определению арифметической прогрессии:
а2 = а1 + d
а3 = а2 + d = а1 + 2d
а4 = а3 + 3 d = а1 + 3d
и т.д.
ап = а1 + d( п – 1) – формула п-ого члена арифметической прогрессии
Например: а1 = 5, d = 3 а50 = ?
а50 = а1 + 3( 50 – 1)= 5 + 3*49 = 152
б) По определению геометрической прогрессии:
в2 = в1 * q
в3 = в2 * q = в1 * q2
в4 = в3 * q = в1 * q3
и т.д.
вп = в1 * qп-1 - формула п-ого члена геометрической прогрессии.
Например: в1 = 7, q = 1/3 в5 = ?
В5 = 7*(1/3)5-1 = 7*(1/3)4 = 7*1/81 = 7/81
4 Характеристическое свойство прогрессий
А) по определению арифметической прогрессии:
ап+1 = ап + d и ап-1 = ап – d , откуда получаем ап+1 + ап-1 = 2ап или
ап = ап+1 + ап-1 / 2, п > 1 т.е.
каждый член арифметической прогрессии , начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов( этим определяется название «арифметическая» прогрессия)
б) по определению геометрической прогрессии:
вп+1 = вп * q и вп-1 = вп / q ,перемножив последовательно эти равенства, получаем : в2п = вп+1 * вп-1 , п > 1 т.е. если вп>0,
каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов( этим определяется название «геометрическая» прогрессия).
Например : а) ап = 3 - 4п - доказать, что это арифметическая прогрессия
ап+1 = 3 – 4(п+1)= 3 – 4п -4 = -1 - 4п , ап-1 = 3 – 4(п-1) = 3- 4п +4 = 7 – 4п ,
ап = 7+4п-1+4п/2 = 6+8п /2 =3-4п, ап =3-4п ч.т.д.
б) вп =3*2п - доказать, что это геометрическая прогрессия
вп-1 = 3*2п-1 , вп+1 = 3*2п+1
вп2 = 3*2п-1 * 3*2п+1 = 9*2п-1+п+1 = 9*22п =( 3*2п)2, вп = 3*2п ч.т.д.
5 Формула суммы п первых членов прогрессий
А) рассмотрим арифметическую прогрессию а1а2а3а4…….ап.. и сумму
Sп = а1+а2+а3+….+ап ,
Sп= а1+а2+а3+….+ап или поменяем местами Sп = ап+ап-1+ап-2 +..+а2+а1
Можно записать иначе: Sп=а1+(а1+d)+( а1+2d)+( а1+3d)+…+(а1+(п-1) d)
Или Sп=ап+(ап- d) +(ап-2 d)+ (ап- 3d)+…+ (ап- (п-1)d)
Сложим эти два равенства почленно, получим: 2Sп=(а1+ап) + (а1+ап)+…+ (а1+ап) - п слагаемых равных (а1+ап).т.е. 2 Sп= (а1+ап) * п ,значит
Sп= (а1+ап) * п / 2
Если воспользоваться формулой п-ого члена , то формулу суммы можно записать иначе: Sп=(2а1+(п-1) d)/ 2
Например :
- а1 = 5, ап = 20, п = 10 Найти сумму первых 10 членов прогрессии.
S10 = ( 5 + 20) / 2 * 10 = 25/2 *10 = 125, S10 = 125
- 9,13,17…. П =11, S11= ?
S11= , а
= 9, d = 13-9 = 4,п = 11
S11 = *11 =
*11 =
*11 = 319, S11 = 319,
В)Рассмотрим геометрическую прогрессию.
в1,в2,в3,…,вп,… S п = в1+в1 q +в1 q 2+…+в1 q п-1 (1) умножим обе части равенства (1) на q,
Получим: q S п=в q +в1 q 2+в1 q 3+…+в1 q п (2),
Преобразуем равенства (1) и(2),и вычтем из (1)-(2)
S п = в1+в1 q +в1 q 2+…+в1 q п-1
-
q S п = в1 q +в1 q 2+в1 q 3+…+в1 q п
S п - q S п= в1- в1 q п отсюда следует S п(1-q) = в1(1-qп), тогда
S п = , q ≠ 1
Eсли раскрыть скобки и воспользоваться формулой п-го члена,то получим другую формулу;
S п ==
, q ≠ 1
Например: 1) в1 = 6, q = 2, п = 10, S 10 - ?
S10 ==
= -6*(-1023) = 6138
S10=6138,
2)5,10,20,…., S 7 - ?
в1 = 5, q = 10:5 = 2, в7 = в1*q6 = 5*26 = 5*64
S7 ==
=
=635, S 7 = 635
Задания к зачёту по теме «Прогрессии»
Вариант 1
- Последовательность задана рекуррентной формулой ап+1=2ап, а1= 5. Найти а7. Какой способ задания последовательности ты ещё знаешь?
- Дайте определение геометрической прогрессии. Приведите пример. Что называют знаменателем геометрической прогрессии?
- Формула п-го члена геометрической прогрессии.
- Характеристическое свойство геометрической прогрессии.
- Какие ты знаешь формулы нахождения суммы п первых членов арифметической прогрессии?
- Последовательность задана формулой вп = 2п2 + 3п. найти в5.
- В арифметической прогрессии а1=10, d = 4. Найти а12.
- Найти сумму 10 членов геометрической прогрессии: 2 , 4, 8…
- Найти разность арифметической прогрессии : 12, 19, 26…
Вариант 2
- Последовательность задана формулой п-го члена ап = п + (п +1).
Найти а7. Какой способ задания последовательности ещё ты знаешь?
- Дать определение арифметической прогрессии. Привести пример. Что называется разностью арифметической прогрессии?
- Формула п-го члена арифметической прогрессии.
- Характеристическое свойство арифметической прогрессии.
- Какие ты знаешь формулы суммы п первых членовгеометрической прогрессии?
- Найти первые три члена последовательности: а1=1 ап+1 = ап +1.
- Найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если в1=8, q = 1\2.
- Доказать, что последовательность ап = 5п -1 является арифметической прогрессией.
- Найти 23- ий член арифметической прогрессии: -8; -6,5; …
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2018/04/08/picture-34533-1523187406.jpg)
Презентация и конспект урока на тему" Определение арифметической и геометрической прогрессий. Формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессий"
В технологии УДЕ (укрупненная дидактическая единица) при обучении математике одним из основных элементов является совместное и одновременное изучение родственных разделов. Арифметическая и геометричес...
![](/sites/default/files/pictures/2013/04/05/picture-231915-1365171663.jpg)
Урок алгебры 9 класс "Арифметическая и геометрическая прогрессии"
1) Обобщение и систематизация теоретического материала по данной теме . 2) отработка умений и навыков применения формул п-го члена прогрессий, суммы п первых членов, свойств членов прогрессий. 3) разв...
![](/sites/default/files/pictures/2013/04/04/picture-236224-1365094528.jpg)
Технологическая карта урока алгебры 9 класс тема "Арифметическая и геометрическая прогрессии"
Урок алгебры в 9 классе разработан в соответствии с требованиями ФГОС. Технологическая карта урока содержит основные этапы урока обобщения, задания для фронтальной, индивидуальной и самостоятельной гр...
Определение арифметической и геометрической прогрессии. Формула n-ого члена арифметической и геометрической прогрессии. 9 класс.
Конспект урока алгебры в 9 классе.Изучения нового материала....
![](/sites/default/files/pictures/2015/09/23/picture-672662-1443011428.jpg)
Конспект урока: «Арифметическая и геометрическая прогрессии» (алгебра, 9 класс)
Обобщение и систематизация знаний по теме "Арифметическая и геометрическая прогрессия", развитие математического мышления учащихся и вычислительных навыков, воспитание интереса к математике...
![](/sites/default/files/pictures/2013/04/15/picture-220529-1366001089.jpg)
Интегрированный урок в 9 классе по математике и физике "Арифметическая и геометрическая прогрессия в окружающем нас мире"
Данный урок проводится после окончания темы «Прогрессии» в качестве повторения пройденного материала, но на более высоком уровне для описания физических, биологических и других научн...
![](/sites/default/files/pictures/2017/11/14/picture-973723-1510677523.jpg)
Конспект урока по алгебре в 9-м классе на тему: «Арифметическая и геометрическая прогрессии»
Урок обобщения исистематизации знаний по теме "Арифметическая и геометрическая прогрессия"...