Конспект урока "Решение квадратных уравнений"
план-конспект урока по алгебре (8 класс)

Этап урока

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Формируемые УУД

Орг.этап (1-2 мин.)

Приветствие учеников, проверка готовности к уроку.

Приветствие учителя, организация своего рабочего места.

…

Решение задач (75 мин.)

Учитель проводит устную фронтальную работу. Задает вопросы:

1. Какие уравнения называют квадратными?
2. Что произойдет, если первый коэффициент обнулится, то есть, а станет равным нулю?
3. Что произойдет, если обнулятся другие коэффициенты  
4. Как называется уравнение вида  в котором ?
5. А во всех остальных случаях, когда
6. Какие уравнения называют биквадратными и что значит понятие «биквадратное уравнение»?

Проводя устную фронтальную работу, учитель на 1,2,3 вопрос спрашивает учеников с низким уровнем знания математики, ответы на последние вопросы можно спросить у «сильных» учеников.

Далее, учитель раздает карточки на стол ученикам. Задания под звездочкой учащиеся выполняют по желанию на дополнительную оценку. (См. Приложение 1)

После повторения, учитель предлагает приступить к решению уравнений. Параллельно несколько учеников выходят к доске и решают. Остальные –  в тетради. Проверка осуществляется сверкой по доске. Учитель координирует действия учеников возле доски, помогает, задает наводящие вопросы. Главная цель учителя состоит в том, чтобы учащийся назвал вид уравнения и как более рационально его можно решить. Если вариантов решения несколько, ученик их называет и выбирает один из методов для решения.

6. *
8. *
9. *
10.  
11. При каких значениях параметра р уравнение

имеет один корень?

12. * Доказать, что при любом значении р уравнение имеет два корня.
13. *При каких значениях параметра р уравнение

  будет являться приведенным квадратным уравнением?

14.  Найти произведение корней уравнения

8. Учитель обращает внимание на то, что в таком уравнении дискриминант будет равен нулю. Предлагает ученикам самостоятельно убедиться в этом, решив уравнение через дискриминант.

14. Здесь учитель должен обратить внимание на то, что не обязательно находить корни. Достаточно лишь воспользоваться т.Виета. Но перед этим проверить, существуют ли вообще корни.

Вызывая учеников к доске, учитель учитывает сложность уравнения. На задания без звездочки можно вызвать «слабых» учеников, на задания повышенной трудности следует вызывать детей, у которых нет больших проблем с математикой.

Далее, учитель дает самостоятельную работу. В которой также есть деление на уровни сложности. «Сильные» ученики должны сделать задания повышенной сложности. Все уравнения стараться делать рациональным способом.

Пример самостоятельной работы:

9. Найти сумму корней уравнения
10. *
11. * При каких значениях параметра р уравнение

 будет являться неполным неприведенным квадратным уравнением?

12.  * Найдите натуральное число, квадрат которого на 56 больше самого числа.

15. * При каких значениях параметра р уравнение

имеет один корень?

Возможные ответы учеников:

1. Квадратными называют уравнения вида где  – любые действительные числа, причем
2. Если  то уравнение перестанет быть квадратным и станет линейным.
3. Если  станут равными нулю, то полное квадратное уравнение станет неполным.
4. Такое уравнение называют приведенным.
5. В таких случаях уравнение будет полным неприведенным.
6. Уравнение вида  где  – любые действительные числа, причем  Это как бы дважды квадратное уравнение.

Ответы на карточку (см. Приложение 1)

После выполнения ученики сдают карточки учителю для проверки.

1. Это неполное приведенное квадратное уравнение. Решается вынесением за скобки общего множителя.
2. Это неполное приведенное квадратное уравнение. Есть два пути решения. Первый – перенос свободного члена за знак равенства и последующее извлечение корня из х. Второй –  раскрыть. Т.к. это разность квадратов, можно расписать на произведение сопряженных скобок, после чего каждую приравнять к нулю.
3. Это неполное неприведенное квадратное уравнение. Решается переносом свободного члена за знак равенства и извлечением корня из х.
4. Это неполное неприведенное квадратное уравнение. Но оно не имеет решений, т.к. квадрат числа не может быть отрицательным.
5. Если раскроем скобки, то это будет приведенное полное квадратное уравнение. Но раскрывать скобки не будем. Здесь рациональнее будет приравнять каждый множитель к нулю.
6. Если раскрыть скобки, это будет уравнение четвертой степени, сгруппировать которое для решения будет достаточно сложно. Рациональнее здесь будет приравнять каждый множитель к нулю. Последнее неполное квадратное уравнение не будет иметь корней, т.к. квадрат числа не может быть отрицательным. Корни 1/3 и 1/5.
7. Приведенное полное квадратное уравнение. Решается через нахождение дискриминант или по теореме Виета.
8. Полное приведенное квадратное уравнение. Это полный квадрат, поэтому рациональнее свернуть в квадрат суммы.
9. Полное приведенное квадратное уравнение. Теоремой Виета воспользоваться сложно, поэтому решаем через дискриминант.
10. Полное неприведенное квадратное уравнение. Это не полный квадрат, решить через т.Виета нельзя. Значит, делаем через дискриминант. Корни будут иррациональными.
11. Чтобы данное уравнение имело один корень нам нужно, чтобы дискриминант был равен нулю. Т.е. Следовательно, при если параметр р будет равень 6 или -6, то данное уравнение будет иметь один корень. При необходимости можно сделать проверку и увидеть это.
12.  Чтобы данное уравнение имело два корня, нужно чтобы дискриминант был больше нуля. Следовательно, нужно составить неравенство.

 Данное неравенство всегда будет выполняться, т.к. здесь представлена сумма квадрата и положительного числа. Т.е. при любом значении параметра квадратное уравнение будет иметь два корня.

13.  Чтобы уравнение было приведенным, нужно чтобы коэффициент при старшей степени равнялся 1. Т.е.

 2р-3=0. Р=1,5. Т.е. если значение параметра равно 1,5, то уравнение будет считаться приведенным квадратным.

14. Это уравнение будет иметь корни, т.к. дискриминант – положительное число. Т.к. нам достаточно здесь воспользоваться т.Виета, то произведение корней будет равно 36.

…

Рефлексия (1-2 мин.)

По окончанию урока, учитель задает вопросы ученикам:

• Чем мы сегодня занимались?
• Какие виды квадратных уравнений мы сегодня решали?
• Если дискриминант в уравнении равен нулю, каким способом легче решить данное квадратное уравнение?
• *Как параметр может влиять на квадратное уравнение?
• *А может уравнение не иметь корней при определенном значении параметра?

Домашнее задание:

4. Найти сумму и произведение корней уравнения
6. При каких значениях параметра р уравнение

имеет один корень?

7. *Доказать, что при любом значении р уравнение имеет два корня.
8. * При каких значениях параметра р уравнение

 будет являться линейным уравнением? Неполным приведенным?

9. * Произведение двух последовательных натуральных чисел в 1,5 раза больше квадрата меньшего из них. Найти эти числа.

• Решали разные виды квадратных уравнений
• Полные/неполные, приведенные / неприведенные, уравнения с параметром

• Свернуть его по формуле квадрат суммы/разности и приравнять скобку к нулю.

• В зависимости от значения параметра квадратное уравнение может быть полным/ неполным, иметь один, два корня.
• Да, может не иметь корней.

…

Уравнение

Полное

Неполное

Приведенное

Неприведенное

Биквадратное

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

*

+

+

*

+

+

*

+

+

*

+

*

+

+

+