Алгебра 11_ Уравнения высших степеней
план-конспект урока по алгебре
Обобщающий урок в 11 классе по темам многочлены и уравнения высших степеней, подготовка к конторольной работе.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 a11_reshenie_uravneniy_vysshih_stepeney.docx | 30.88 КБ |
 a11_reshenie_uravneniy_vysshih_stepeney.pptx | 484.05 КБ |
Предварительный просмотр:
Предмет: Алгебра и начала анализа (профильный уровень)
Авторы учебника: А.Г. Мордкович и др. «Алгебра и начала анализа», 11 класс, (профильный уровень), М. «Мнемозина», 2019г
Клаcc: 11
Учитель: Фокина Н.Н.
Тема урока "Решение уравнений высших степеней"
Цели: Обобщить и систематизировать теорию о многочленах от одной переменной, многочленах от нескольких переменных, приемы решения целых алгебраических уравнений в стандартных и нестандартных ситуациях.
Задачи:
Образовательные:
- повторить деление многочлена на многочлен с остатком, теорему Безу и следствие, теорему о целом корне многочлена, схему Горнера;
- сформировать у учащихся умения и закрепить навыки решения алгебраических уравнений;
- научить применять ключевые задачи не только в знакомой, но в модифицированной и незнакомой ситуациях.
Развивающие
- развить умения самостоятельного решения уравнений и задач, связанных с преобразованием многочленов;
- содействовать развитию устойчивого интереса к математике с помощью математической строгости умозаключения;
- ознакомить с логическими приемами мышления.
Воспитательные:
- воспитать чувство ответственности, формировать навыки самооценки;
- содействовать желанию расширить и углубить знания, полученные на уроке,
- воздействовать на мотивацию к учению с помощью историко-математического материала;
- содействовать повышению грамотности устной и письменной речи учащихся.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний
Оборудование: плакат с заданиями “Устно”, “Разложить на множители”, “Решить уравнения”.
Форма организации учебной деятельности: Индивидуальная, фронтальная, групповая, самопроверка.
План урока:
1. Организационный момент: вступительное слово учителя, в котором он подчеркивает значение материала изученной темы, сообщает цель и план урока (1 мин.)
2. Актуализация опорных знаний (8 мин.):
- повторение теории о многочленах: многочлены от одной переменной;
- многочлены от нескольких переменных (демонстрация слайдов);
3. Фронтальная работа “Устно” (3 мин.)
4. Решение задач (25 мин.):
I этап: алгебраические уравнения от одной переменной;
II этап: алгебраические уравнения от нескольких переменных;
а) работа в группах;
б) работа у доски;
в) работа с помощью интерактивной доски;
5. Самостоятельная работа учащихся (5 мин.)
6. Подведение итогов урока. Рефлексия (2 мин.)
7.Задание на дом, инструкция о его выполнении (1 мин.)
Ход урока:
1.Организационный момент – ставятся цели и задачи урока.
Ребята! Вам предстоит итоговая аттестация по математике в форме ЕГЭ. Чтобы успешно сдать ЕГЭ, вы должны знать математику не только на минимальном уровне, но и применить ваши знания в нестандартных ситуациях. В частях В и С ЕГЭ часто встречаются уравнения высших степеней. Наша задача: систематизация и обобщение, расширение и углубление знаний по решению целых уравнений с одной переменной выше второй степени; подготовка к применению знаний в нестандартной ситуации, к ЕГЭ. (цели урока, слайд 1,2).Девиз нашего урока: чем больше я знаю, тем больше умею. (слайд 3)
Уравнение-это самая простая и распространенная математическая задача. Вы накопили некоторый опыт решения разнообразных уравнений и нам нужно привести свои знания в порядок, разобраться в приемах решения нестандартных уравнений.
Уравнения сами по себе представляют интерес для изучения. Самые ранние рукописи свидетельствуют о том, что в Древнем Вавилоне и Древнем Египте были известны приемы решения линейных уравнений. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет назад до н.э. вавилоняне.
Стандартные приемы и методы решения элементарных алгебраических уравнений являются составной частью решения всех типов уравнений..
В простейших случаях решение уравнения с одним неизвестным распадается на два шага: преобразование уравнения к стандартному и решение стандартного уравнения. Полностью алгоритмизировать процесс решения уравнений нельзя, однако полезно запомнить наиболее употребительные приемы, общие для всех типов уравнений. Многие уравнения при применении нестандартных приемов решаются гораздо короче и проще.
Ход урока
1. Вступительное слово учителя
(На доске тема, цели и задачи урока.)
умение делить “углом” многочлен на многочлен, теорема Безу, следствие теоремы Безу, использование схемы Горнера при решении уравнений высших степеней позволит вам справиться с наиболее сложными заданиями ЕГЭ за курс средней школы. Тему “Многочлены” (многочлены от одной переменной, многочлены от нескольких переменных) ученик формулируют сами.
Не надо боятся ошибиться, совет учиться на ошибках другого бесполезен, научиться чему-либо можно только на собственных ошибках. Как говорил Анатоль Франс (1844–1924) “Учиться можно только весело…. Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом”. Будьте активны, внимательны. Сегодня каждый из вас оценит свои знания сам. Получите оценочные листы.
2. Актуализация опорных знаний самими учащимися.
– Внимание на экран (слайд 1, слайд 2. См. Приложение 1)
“Основные приемы решения уравнений”
“Основные определения и понятия курса “Многочлены”
Понятие многочлена от одной переменной возникло в связи с задачей решения алгебраических уравнений от одной переменной, которой занимались уже в глубокой древности.
Современная математика изучает и использует в общем случае многочлены от одной переменной, у которых коэффициенты а0, ,а1,…,аn являются объектами произвольной природы, а не только числами.
На доске (лицевая и обратная сторона) заранее заготовлены задания:
а) разделить “углом” многочлен (х3 – 2х2 + 3х -5) на многочлен (х2 -3х – 1);
б) разделить “углом” многочлен (х3 – 3х2 + 5х - 15) на многочлен (х2 +5) и два ученика, не видя друг друга, представляют свой вариант решения с последующим комментарием решения.
Учащеся знакомят с биографией Этьена Безу и Уильяма Джорджа Горнера (слайд 8, 9) (одним из интереснейших фактов жизни Этьена Безу является то, что ему удалось расшифровать тайную переписку испанского короля, тем самым помочь французскому королю выиграть войну с Испанией). У экрана следующий ученик доказывает теорему Безу, приводит пример на применение теоремы Безу
3. Подготовка к работе в «лаборатории» (Устно)
3.1. Найдите степень суммы многочленов: х3 + 3х2 + 1 и х5 + х4 + 6х2 - 1.
3.2. Найдите степень произведения многочленов: (х2 - 1)(х3 + 1)(х + 1) и (х - 1)3(х + 1)2
3.3. Найдите остаток от деления многочлена f(x) = х5 - 4х4 + 5х3 - 2х2 + 7х - 1 на (х – 1)
3.4. Является ли число 2 корнем многочлена f (x) = х4 - 2х3 + 8 х2 - х - 1?
3.5. Делится ли многочлен f (x) = х5 - 7х3 + х2 + 13х + 6 на (х + 1) нацело?
Слайды 12, 13 “Схема Горнера”, комментирует ученик:
У доски учащийся демонстрирует применение схемы Горнера:
разделить (х7-2х4 +27х+3) на (х+2), используя схему Горнера
| 1 | 0 | 0 | -2 | 0 | 0 | 27 | 3 |
-2 | 1 | -2 | 4 | -10 | 20 | -40 | 107 | -211 |
х7 -2х4 +27х+3 = (х+2) (х6 + 2х5 + 4х4 - 10х3 + 20 х2 – 40х +107) – 211
4. Лаборатория.
Учитель акцентирует внимание учащихся на задание.
I этап
Многочлены от одной переменной.
Учитель: Класс делится на две группы, начинается соревнование “Решай, ищи, твори и мысли”, в два этапа, с учетом времени.
1. Разложить на множители:
х3 - 3х2 + 3х – 9
3х3 – х2 + 27х – 9
2. Решить уравнение: (работают у доски два ученика с разных групп)
1. х3 - 7 х + 6 = 0 (ответ: х = 1, х = -3, х = 2)
2. х3 - 19 х - 30 = 0
Решение: х = - 2 – корень уравнения х3 - 19 х – 30 среди делителей 30
х3 - 19 х – 30 = (х + 2)(х2 – 2х -15) | (х + 2)(х2 – 2х -15)=0 |
Ответ: х = -2; х= -3; х = 5
3. 6 х3 + 11х2 -3 х – 2 = 0
Решение:
6 х3 + 11х2 -3 х – 2 = (х+2)(6 х2 –х – 1) =0,
(х+2) (2х-1) (3х+1)= 0
Ответ: : х = - 2, х=1/2, х = - 1/3
(Последнее уравнение решают все, оставаясь на своих местах.)
Учитель: обратите внимание, корень х= -1/3 – свободный член приведенного многочлена 6 х3 + 11х2 -3 х – 2
3. Учащиеся, справившиеся с заданием, засекая время, решают дальше
Разложить на множители:
х5 – х4 – 5 х3 + х2 + 8х + 4;
ответ: (х + 1) (х +1) (х +1) (х - 2) (х - 2))
Решение проверяют по слайдам 15-17 (слайды содержат анимацию):
Решить уравнение: (решают у доски учащиеся с разных групп)
у3 – 2 у2 - 3у + 10 = 0
Решение: Целочисленный корень уравнения у = - 2 среди делителей 10:
(±1, ±2, ±5, ±10). Разделив на (у + 2) получим квадратный трехчлен у2 – 4у + 5, не имеющий действительных корней
у3 – 2 у2 - 3у + 10 = (у+2)(у2 - 4у + 5)
(у+2)(у2 - 4у + 5) = 0
Ответ: у = - 2
у3 + 4 у2 + 6 у + 4 = 0
Решение: у = - 2 делители 4: (±1, ±2, ±4 )
у3 + 4 у2 + 6 у + 4 = (у+2)(у2 + 2у + 2)
(у+2) (у2 + 2у + 2) = 0 Ответ: у = - 2
2 х3 – х2 + 5 х + 3 = 0
Решение: Умножим обе части уравнения на 4: 8 х3 – 4 х2 + 20 х + 12 = 0
(2х)3 - (2х)2 + 10(2х) + 12 = 0. Введем у = 2х, получим у3 – у2 + 10 у + 12 = 0.
Целочисленный корень у = - 1 находим среди делителей 12 (теорема 4)
Разделив на (у + 1) получим квадратный трехчлен у2 – 2у + 12, не имеющий действительных корней, Так как х = у/2, х1 = -1/2 единственный корень. Ответ: х1 = -1/2
Решить уравнения: а) 3 х3 + 2 х2 + 5 х - 2 = 0; b)4 х3 - 10 х2 + 14 х - 5 = 0
Решение: b) Умножим обе части уравнения на 2: 8х3 - 20 х2 + 28 х - 10 = 0
(2х)3 - 5 (2х)2 + 14(2х) – 10 = 0. Введем новую переменную у = 2х, получим
у3 – 5 у2 + 14 у – 10 = 0. Целочисленный корень уравнения очевиден:
у =1 среди делителей свободного члена 10: (±1, ±2, ±5, ±10). Разделив многочлен у3 – 5 у2 + 14 у – 10 на (у -1), получим у2 – 4у + 10, не имеющий действительных корней. Так как х = у/2, х1 =1/2 единственный корень. Ответ: х = 0,5
х (х-1) (х – 2) (х -3) = 24
Решение уравнения х (х-1) (х – 2) (х -3) = 24 записывает ученик, используя интерактивную доску.
Решение: Заметим, что х (х-1) = х2 - 3х, (х-1) (х – 2) = х2- 3х
Перепишем уравнение в виде (х2- 3х)( х2- 3х + 2) = 24. Введем у = х2 - 3х
Получим у2 + 2 у – 24 = 0; у1= 4 и у2= - 6; Возвращаемся к переменной х, решаем два уравнения х2- 3х = 4; х2 - 3х = - 6. Из первого находим х = 4, х= -1, второе уравнение не имеет действительных корней. Ответ: 4; -1
II этап
Многочлены от нескольких переменных.
1. У доски ученик демонстрирует разложение на множители многочлена от двух переменных двумя способами
а) 6 m2 -13 mn – 5n2 (решает ученик с первой группы)
Решение: Разложим на линейные множители квадратный трехчлен
6 m2 -13 m n – 5n2 от переменной m с коэффициентами 6; - 13 n; -5 n2 ;
m1 = 5/2 n, m2 = – 1/3 n
6 m2 – 13 mn – 5n2 = 6(m – 5/2 n)( m + 1/3 n)= (2m – 5 n) (3 m + n)
Ответ: 6 m2 – 13 mn – 5n2 = (2m – 5 n) (3 m + n)
б) 6a2 – 5 a b – 6 b2 (решает ученик со второй группы)
Решение: Рассмотрим 6a2 –5ab – 6b2 как квадратный, относительно а с коэффициентами 6; -5 b; – 6 b2 , найдем корни a1 = -2/3 b или a2= 3/2 b, получим
6a2 – 5ab – 6b2 = 6(a +2/3 b)( a - 3/2 b)= (3a +2 b)( 2a - 3 b)
в) 5х2 + 27 ху +10 у (решают все с последующей самопроверкой)
Решение:
5х2 + 27 ху +10 у = 5 (х + 2у/5) (х+5у)
Д = 729 у2 – 200у2 = 529 у2
х1= - 2у/5,
х2= - 5у
3. Учащийся: Многочлен р (х;у) называют симметрическим, если он сохраняет свой вид при одновременной замене х на у и у на х
Сиcтему двух уравнений с двумя переменными называют симметрической системой, если оба ее уравнения – симметрические. Решим симметрическую систему: (работает учащаяся на интерактивной доске)
х3 + х3 у3 + у3 = 17. х + х у + у = 5. |
Решение: Введем две новые переменные х + у = u х у = v,
Воспользуемся выражением
х3 + у3 = (х + у)3 – 3х у (х + у), тогда система примет вид:
u3 – 3uv + v3 = 17 u + v = 5 |
u3 – 3u (5 – u) + (5 – u) 3 = 17;
u3 – 15u + 3u2 + 125 – 75 u + 15u2 - u3 = 17:
18u2 - 90u + 108 = 0;
u2 - 5 u + 6 = 0: u1 = 2, u2 = 3, соответственно находим v1= 3, v2= 2.
х + у = 2, х у = 3; | х + у = 3, х у = 2; итак, получим (1; 2); (2; 1), |
Ответ: (1; 2); (2; 1).
5. Самостоятельная работа (5 мин.)
Решить уравнение:
1. х4 + 3х3 - 13х2 – 9х + 30=0
Учащиеся проверяют свое решение
2.Разложить на множители:
8а3 + 36а2 в + 54ав2 + 27в3
Решение: 8а3 + 36а2 в + 54ав2 + 27в3 = 8а3 + 27в3 + 36а2 в + 54ав2 = 8а3 + 27в3 + 18ав (2а +3в) = (2а)3 + (3в)3 + 18ав (2а +3в) = (2а +3в) (4а2 -6ав + 9в2)
+ 18ав (2а +3в) = (2а +3в) (4а2 - 6ав + 9в2 + 18 ав) =(2а +3в) (4а2 +9ав + 9в2) = (2а +3в)3
Ответ: (2а +3в)3
6. Подведение итогов урока. Рефлексия
Учитель: Какие затруднения испытывали при решении уравнений высших степеней?
Учитель комментирует ответы учащихся, выставляя отметки в журнал.
7. Задание на дом, инструкция о его выполнении
Решите систему уравнений
х + у = 1, х4+ у4 = 17 |
При каких значениях параметра а многочлен
(х2 +(2а +1) х + 2а)( х2 - (а +2) х + 2а)(х-1) имеет кратные корни? Найдите эти корни
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Девиз урока: чем больше я знаю, тем больше умею. Кто ничего не замечает, Тот ничего не изучает. Кто ничего не изучает, Тот вечно хнычет и скучает. (поэт Р.Сеф ).
1) х 2 - 6│х│+8 = 0 2) х 5 +2х+1 = 0 3) х 5 +х 3 +2х – 4 = 0 4) №105. (х+1)(х+2)(х+4)(х+5) = 40 5) №108. 2х 4 +х 3 -6х 2 +х+2=0 6) ЕГЭ. (х+2)(х+3)(х+8)(х+12) = 4х 2
Многочлены от одной переменной р (x) = a n x n + a n-1 x n-1 +…+ a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a o - стандартный вид многочлена р ( х ) a n x n – старший член многочлена р ( х ) a n – коэффициент при старшем члене Если a n = 1 , то многочлен р ( х ) называется приведенным Если a n ≠ 1 , то многочлен р ( х ) называется неприведенным a о – свободный член многочлена р ( х ) n – степень многочлена
Деление многочленов р (x) = s(x) q(x) Говорят, что многочлен р ( х ) делится на многочлен s(x) , если существует такой многочлен q(x) , что выполняется тождество p(x) – делимое (или кратное) s(x) – делитель q(x) – частное
Деление многочленов с остатком р (x) = s(x) q(x) + r ( х ) Для любых двух многочленов ненулевой степени р ( х ) и s(x) существует пара многочленов q(x) и r(x) такая, что степень многочлена r(x) меньше степени многочлена s(x) и выполняется тождество p(x) – делимое (или кратное) s(x) – делитель q(x) – неполное частное r(x) – остаток
Теорема Безу р (x) = (x − а ) q(x) + r Остаток от деления многочлена р ( х ) ненулевой степени на двучлен x − а равен р ( а ) (т.е. значению многочлена р (x) при х = а ) p(x) – делимое (или кратное) q(x) – частное r – остаток (число) x − а – делитель
Следствие теоремы Безу Если число а является корнем многочлена р ( х ) , то р ( х ) делится на двучлен x − а . Если при х = а многочлен р( х ) обращается в нуль, т.е. выполняется равенство р ( а ) = 0 , то число а называют корнем многочлена . Следствие Определение
Схема Горнера Пусть р (x) = bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + f . Разделим р ( х ) на x − а получим р (x) = ( х − а ) q(x) + r , где q(x) некоторый многочлен третьей степени q(x) = kx 3 + mx 2 + nx + s , коэффициенты которого вычисляются с помощью схемы Горнера : b c d e f a k = b m = ka + c n = ma + d s = na + e r = sa + f k = b m = ka + c n = ma + d s = na + e r = sa + f
Коэффициенты частного: 2 , − 3 , 3 , − 4 , 8 , а остаток r = − 11 . Значит, 2x 5 + x 4 − 3x 3 + 2x 2 + 5 = = ( х + 2)( 2x 4 − 3 x 3 + 3x 2 − 4 x + 8) − 11 Разделим р (x) = 2x 5 + x 4 − 3x 3 + 2x 2 + 5 на x + 2 . Здесь a = − 2 ; Коэффициенты равны соответственно 2 , 1 , −3 , 2 , 0 , 5 . Строим таблицу для применения схемы Горнера: остаток Пример 1 2 1 − 3 2 0 5 − 2 2 2 2 ( − 2)+1 − 3 − 3 ( − 2)+( − 3) 3 3 ( − 2)+2 − 4 − 4 ( − 2)+0 8 8 ( − 2)+5 − 11
Разложение квадратного трехчлена на множители 4 Вынесение общего множителя за скобки 1 Способ группировки 2 Использование формул сокращенного умножения 3 Разложение многочлена на множители
Вынесение общего множителя за скобки Применяя распределительный закон умножения относительно сложения: ( a + b)c = ac + bc В обратном порядке: ac + bc = c ( a + b) Пример 2 8х 4 + 6х 3 − 4х 2 + 2х = 2х (4х 3 + 3х 2 − 2х + 1 ) 3х 3 + 6х 6 − 27х 4 = 3 x 3 ( 1 + 2х 3 − 9 x)
Способ группировки Применяя переместительный или сочетательный законы сложения, можно группировать члены многочлена любым способом: a + b = b + a ( a + b ) + c = a + ( b + c ) = а + b + c Пример 3 3х 3 + 6х 2 − 27х − 54 = 3(х 3 + 2х 2 − 9х − 18 ) = = 3(х 2 ( х + 2) − 9( х + 2 ) ) = 3( х + 2)(х 2 − 9) = = 3( х + 2)( х − 3)( х + 3)
Использование формул сокращенного умножения ( a + b )(а − b ) = a 2 − b 2 – разность квадратов ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 – квадрат суммы ( a − b ) 2 = a 2 − 2ab + b 2 – квадрат разности (a + b ) (a 2 − ab + b 2 ) = а 3 + b 3 – сумма кубов (a − b ) (a 2 + ab + b 2 ) = а 3 − b 3 – разность кубов (a − b) 3 = a 3 − 3ab 2 + 3a 2 b − b 3 – куб разности (a + b) 3 = a 3 + 3ab 2 + 3a 2 b + b 3 – куб суммы Пример 4 х 6 − 1 = = ( х + 1)(х 2 − х + 1 ) ( х − 1)(х 2 + х + 1 ) (х 3 ) 2 − 1 2 = (х 3 + 1)(х 3 − 1) =
Разложение квадратного трехчлена на линейные множители Если х 1 и х 2 – корни квадратного трехчлена a х 2 + b х + с , то a х 2 + b х + с = а ( х − х 1 )( х − х 2 ) Пример 5 2х 2 − 3х − 5 = 2 ( х + 1)( х − 2,5) = ( х + 1)(2х − 5)
Теорема Пусть все коэффициенты многочлена р ( х ) – целые числа. Если целое число а является корнем многочлена р ( х ) , то а – делитель свободного члена многочлена р ( х ) .
Пример 6 х 3 − 3х 2 − 10х + 24 = ( х – 2)(х 2 − х − 12) = = ( х – 2)( х − 4)( х + 3) Разложить многочлен: х 3 − 3х 2 − 10х + 24 Будем искать корни среди делителей свободного коэффициента 24 : ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12; ± 24 . р (1) = 12 ≠ 0 , р (−1) = 30 ≠ 0 , р (2) = 0 . Значит х = 2 – корень многочлена р ( х ) . С помощью схемы Горнера найдем частное q(x) : 1 − 3 −10 24 2 1 1 2 1+( − 3) −1 2 ( − 1) −10 − 12 2 ( −1 2)+24 0
х 2 – у 2 = ( х – у)( х + у ) х 3 – у 3 = ( х – у)(х 2 + ху + у 2 ) x 4 – у 4 = (x – y)(x 3 + x 2 у + xy 2 + у З ) x 5 – у 5 = (x – y)(х 4 + х з y + х 2 y 2 + хy 3 + y 4 ) … x n – у n = (x – y)( х n−1 + х n−2 y + х n−3 y 2 + … + + х 2 y n− 3 + x y n−2 + y n−1 ) Многочлены от нескольких переменных
Многочлены от нескольких переменных х 3 + у 3 = ( х + у)(х 2 – ху + у 2 ) x 5 + у 5 = (x + y)(х 4 – х 3 y + х 2 y 2 – хy 3 + y 4 ) … x 2n+1 + у 2n+1 = (x + y)( х 2n – х 2n−1 y + х 2n−2 y 2 – – х 2n−3 y 3 + … + x 2 y 2n−2 – xy 2n−1 + y 2n ) Многочлен Р( х ; у) называют однородным многочленом п -ой степени, если сумма показателей степеней переменных в каждом члене многочлена равна п . Если Р( х ; у) однородный многочлен, то уравнение Р( х ; у) = 0 называют однородным уравнением.
Уравнения высших степеней х 3 + 2х 2 – 7х – 12 = 0 Делители числа 12 : ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12 . Пусть Р( х ) = х 3 + 2х 2 – 7х – 12 , тогда Р(1) = −16 , Р(−1) = −4 , Р(2) = −10 , Р(−2) = 2 , Р(3) = 12 , Р(−3) = 0 . Значит х 1 = −3 – корень многочлена Р(х) , и соответственно, данного уравнения. Найдем другие корни этого уравнения (если они есть). Теорема. Если приведенное уравнение с целыми коэффициентами имеет рациональный корень, то этот корень обязательно является целым числом. Пример 7
Уравнения высших степеней х 3 + 2х 2 – 7х – 12 = 0 Т.к. х 1 = −3 – корень многочлена Р(х) , то с помощью схемы Горнера найдем частное от деления Р(х) на х + 3: Пример 7 х 3 + 2х 2 – 7х – 12 = (х + 3)(х 2 − х − 4) 1 2 −7 -12 -3 1 1 − 3 1+2 −1 − 3 ( − 1) −7 − 4 −3 ( −4 )+( −12 ) 0
Уравнения высших степеней х 3 + 2х 2 – 7х – 12 = 0 Пример 7 х 3 + 2х 2 – 7х – 12 = (х + 3)(х 2 − х − 4) Уравнение х 2 − х − 4 = 0 имеет еще два корня: Ответ: − 3;
ЗАДАЧА № 1 Выполнить деление многочлена А на В, если а) А = 3 х 4 – 2 х 3 + 6 х 2 + 16, В = х 2 – 2 х + 3 (уголком); б) А = 6 х 3 + х 2 – х – 3, В = х – 2 (по схеме Горнера); в) А = 5 х 4 + 2 х 3 + 3 х 2 – 6, В = х + 1 (по схеме Горнера).
ЗАДАЧА № 2 1) Выполнить деление уголком многочлена а) 5 х 4 – 13 х 3 – 4 х 2 + 7 х + 3 на х 2 – 3 х + 1; 2) Найти многочлен А по схеме Горнера: б) 3 х 3 – 2 х 2 – 4 х + 1 = ( х +1) ·А; в) х 5 – 32 = ( х – 2) ·А.
ЗАДАЧА № 3 Найти корни многочлена: 2 х 4 + 17 х 3 – 17 х 2 – 8 х + 6.
ЗАДАЧА № 4 В- I . Решить неравенство: 2 х 4 – 9 х 3 – х 2 + 18 х + 8 0 x – 3 В- II . Р ешить неравенство: 2 х 4 + 11 х 3 – 23 х + 10 0 x + 4
ЗАДАЧА № 5 Решить уравнение: 6 х + 11 х = 2 х 2 + 2 х + 3 х 2 + 7 х + 3
Домашнее задание х 8 – 17х 4 +16=0 2) (х+1)(х+3)(х+5))х+7) -15=0 3) (х+4)(х-2)(х+5)(х-10)+54х 2 =0 4) х 4 +2х 3 – 6х 2 +2х+1=0.
Оценка работы отдельных учащихся на уроке. Рефлексия: – Какой метод для вас оказался самым легким? – Какой метод для вас оказался самым трудным? – Какие приемы помогают вам в решении уравнений высших степеней? – Как вы оцениваете работу класса? Как вы оцениваете собственную работу?
Использованы ресурсы Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – 2-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2019.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Открытый урок по алгебре "Уравнения высших степеней"
урок по алгебре "Уравнения высших степеней"...
Конспект урока по алгебре и началам анализа по теме "Решение уравнений высших степеней"
В разработке представлен конспект урока по алгебре и началом анализа по теме "Решение уравнений высших степей".Урок -изучение нового материала...
Урок алгебры в 9 классе "Решение уравнений высших степеней"
Урок разработан по учебнику Алгебра 9 класс А.Г. Мордкович профильный уровень. для классов с углубленным изучением математики...
Программа элективного курса по алгебре для учащихся 11 классов. " Методы решения уравнений высших степеней"
Учащиеся средней школы умеют решать по формулам квадратные уравнения, умеют применять теорему Виетта для приведенных квадратных уравнений ; решают биквадратные уравнения, но уравнения высших степеней ...
Самостоятельная работа по алгебре "Решение уравнений высших степеней"
Самостоятельная работа по алгебре "Решение уравнений высших степеней" для 8 класса...
Контрольная работа по алгебре по теме: "Многочлены. Уравнения и системы уравнений высших степеней. Теорема Безу. Повторение". 9 класс ( углубленный уровень).
В контрольной работе содержится подборка заданий углубленного уровня по теме "Многочлены. Теорема Безу. Деление с остатком. Повторение". Для сильных ребят в этой теме необходимо рассмотреть ...