Методическая разработка к урокам по теме "Четность и периодичность тригонометрических функций"
методическая разработка по алгебре (11 класс)

Слайд 1

ЧЕТНОСТЬ, НЕЧЕТНОСТЬ, ПЕРИОДИЧНОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ КУЗЬМИНА НАДЕЖДА АЛЕКСАНДРОВНА ГБОУ ЛИЦЕЙ №387 ИМЕНИ Н.В. БЕЛОУСОВА КИРОВСКОГО РАЙОНА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА

Слайд 2

ПРОВЕРЬ СЕБЯ Функция Область определения D(y) Множество значений E(y) y=sin x y=cos x y=tg x y=ctg x R R R R

Слайд 3

ЧЕТНОСТЬ, НЕЧЕТНОСТЬ, ПЕРИОДИЧНОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Слайд 4

ЗАДАНИЕ НА УРОКИ 17.09.2021 Изучить §2 и презентацию, оформить конспект, разобрать с записью в тетрадь решение задач из текста параграфа №1, 2, 3, 4, 5 – обязательно, №7, 8, 9 – по желанию. Уметь решать задачи типа №12-16. Решить самостоятельную работу. Посмотреть видеоурок по ссылке: https://www.youtube.com/watch?v=CCCFA4FtRxA по желанию.

Слайд 5

ЧЕТНОСТЬ И НЕЧЕТНОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Слайд 6

ЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ Функция y = f(x) называется четной, если для любого х из области определения функции - x тоже принадлежит области определения данной функции и верно равенство f(-x) = f(x). Чтобы узнать является ли функция четной нужно 1. найти D(y) и убедиться, что она симметрична относительно начала координат 2. в функцию f(x) вместо переменной х поставить переменную( –x ) и получить первоначальную функцию .

Слайд 7

ЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ Задача 1. Является ли четной функция f(x) = 3x 2 + 2 Решение: D(Y)=R – симметрична относительно (0;0) f (-x) = 3(-x) 2 + 2 = 3x 2 + 2 = f(x) – функция четная

Слайд 8

ЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ А) f(x) = 2x 4 - 3x 2 Б) f (x) = x 3 - 2x 2 Решение: А) D(y) : R f( - x) = 2(-x) 4 – 3(-x) 2 = 2x4 - 3x2 = f(x) – четная Б) D(y) : R f ( - x) = (- x ) 3 – 2 (- x ) 2 = – x3 – 2x2 не является ни четной, ни нечетной Являются ли данные функции четными

Слайд 9

ГРАФИК ЧЕТНОЙ ФУНКЦИИ График четной функции симметричен относительно оси ординат (ось ОУ).

Слайд 10

НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого х из - x тоже принадлежит области определения данной функции и области определения функции верно равенство f(-x) = - f(x). Чтобы узнать является ли функция нечетной нужно 1. найти D(y) и убедиться, что она симметрична относительно начала координат 2. в функцию f(x) вместо переменной х поставить переменную ( – x ) и получить первоначальную функцию с противоположными знаками .

Слайд 11

НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ Задача 2. Является ли нечетной функция f(x) = 3x 3 + х Решение: D(y) : R f (-x) = 3(-x) 3 + (-х) = - 3x 3 - х = -( 3x 3 + х)= = - f(x) – функция нечетная

Слайд 12

НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ Решение: А) D(y) : R f ( - x) = 2(-x) 4 + 3(-x) = = 2x 4 - 3x - не является ни четной, ни нечетной Б) D(y) : R f ( - x) = (- x ) 3 – 2 (- x ) = – x 3 + 2x нечетная Являются ли данные функции нечетными

Слайд 13

ГРАФИК НЕЧЕТНОЙ ФУНКЦИИ График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Слайд 14

ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ Функции могут быть как четными, нечетными , так и ни четными, ни нечетными.

Слайд 15

ЧЕТНОСТЬ И НЕЧЕТНОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Для любого значения x верны равенства : sin(-x) = -sin x cos(-x) = cos x tg(-x) = -tg x ctg(-x) = -ctg x Следовательно : y = sin x , у = tg x , у = ctg x – нечетные функции y= cos x – четная функция

Слайд 16

ЧЕТНОСТЬ И НЕЧЕТНОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Задача 4. Выяснить, является ли функция y = 2 + Sin2 x четной или нечетной. Решение : ООФ: R y(-x) = 2 + sin 2 (-x) = 2 + (-sin x) 2 = =2 + sin 2 x = y(x)   y = 2 + sin 2 x – четная функция .

Слайд 17

Четность и нечетность тригонометрических функций

Слайд 18

Разбейте функции на три группы: четные, нечетные, не являются ни четными, ни нечетными

Слайд 19

Ответы: четные нечетные ни чет., ни нечет. 1 2 5 4 3 7 9 6 15 10 8 11 14 12 13

Слайд 20

ПЕРИОДИЧНОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Слайд 21

ПЕРИОДИЧНОСТЬ Для любого значения x верны равенства : sin (x + 2 π ) = sin x cos (x + 2 π ) = cos х Следовательно, значения синуса и косинуса периодически повторяются при изменении аргумента на 2 π . Такие функции называются периодическими с периодом 2 π .

Слайд 22

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция f(x) называется периодической , если существует такое число T ≠ 0 , что для любого х из области определения этой функции х+Т и х-Т тоже принадлежат области определения этой функции и выполняется равенство f(x – T) = f(x) = f(x + T). Число T называется периодом функции f(x).

Слайд 23

ПОКАЖЕМ, ЧТО ЧИСЛО 2 Π ЯВЛЯЕТСЯ НАИМЕНЬШИМ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ ПЕРИОДОМ ФУНКЦИИ Y = COS X. Пусть Т › 0 – период косинуса, т.е. для любого x выполняется равенство Cos (x + T) = Cos x. Положив x = 0 , получим Cos T = 1. Отсюда T = 2 π k, k є Ζ . Так как Т › 0, то Т может принимать значения 2 π , 4 π , 6 π , …, и поэтому период не может быть меньше 2 π . АНАЛОГИЧНО МОЖНО ДОКАЗАТЬ, ЧТО НАИМЕНЬШИЙ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ ПЕРИОД ФУНКЦИИ Y = SIN X ТАКЖЕ РАВЕН 2 Π

Слайд 24

ПЕРИОДИЧНОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Задача 6 . Доказать, что f(x) = Sin 3x – периодическая функция с периодом ( 2 π ) /3. Доказательство : Данная функция определена для всех x є R , поэтому достаточно показать, что для любого x верно равенство f(x + T) = f(x) . f(x + (2 π )/3) = Sin 3(x + (2 π )/3) = = Sin (3x + 2 π ) = Sin 3x = f(x)

Слайд 25

ПОКАЖЕМ, ЧТО ФУНКЦИЯ Y= TG X ЯВЛЯЕТСЯ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ С ПЕРИОДОМ Π . Если x принадлежит области определения этой функции, т.е. x ≠ - π /2 + π n, n є Ζ , то по формулам приведения получаем tg(x – π ) = -tg( π – x) = -(-tg x) = tg x tg(x + π ) = tg x Таким обтазом, tg(x – π ) = tg x = tg(x + π ). Следовательно, π – период функции у = tg x.

Слайд 26

ПОКАЖЕМ, ЧТО Π – НАИМЕНЬШИЙ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ ПЕРИОД ФУНКЦИИ Y = TG X. Пусть Т – период тангенса, тогда tg(x + T) = tg x, откуда при x = 0 получаем tg T = 0, T = k π , k є Ζ . Так как наименьшее целое положительное k равно 1, то π – наименьший положительный период функции y = tg x.

Слайд 27

ПЕРИОДИЧНОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Слайд 28

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА