Алгебра 8 класс
презентация к уроку по алгебре (8 класс)

Слайд 2

Повторить основное свойство дроби и рассмотреть это свойство для алгебраических дробей; Научиться сокращать и приводить дроби к наименьшему общему знаменателю.

Слайд 3

Значение обыкновенной дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель одновременно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число. Пример 1: (числитель и знаменатель мы одновременно умножили на одно и то же число 4, значение дроби не изменилось); Пример 2: (числитель и знаменатель мы одновременно разделили на одно и то же число 11, значение дроби не изменилось).

Слайд 4

Над алгебраическими дробями можно осуществлять преобразования аналогичные тем, которые указали для обыкновенной дроби. 1 . И числитель и знаменатель алгебраической дроби можно умножить на один и тот же многочлен , на одно и тоже, отличное от нуля число (тождественное преобразование алгебраической дроби). 2. И числитель и знаменатель алгебраической дроби можно разделить на один и тот же многочлен , на одно и тоже, отличное от нуля число ( тождественное преобразование алгебраической дроби – сокращение алгебраической дроби). Основное свойство алгебраической дроби:

Слайд 6

1) Сократить дроби: 2)Перевести дроби из обыкновенных в десятичные: УСТНО: 3) Перевести дроби из десятичных в обыкновенные: 0,2; 0,25; 0,6; 1,25; 0,75; 2,5; 3; 4,2.

Слайд 7

Математика всегда была неотъемлемой и существенной частью человеческой культуры, она является ключом к познанию окружающего мира, базой научно-технического прогресса и развития личности. Сегодня можно с уверенностью сказать, что дроби – неотъемлемая часть нашей жизни.

Слайд 8

«Человек подобен дроби, числитель есть то, что он есть, а знаменатель – то, что он о себе думает. Чем больше знаменатель, тем меньше дробь.» Лев Николаевич Толстой. «Без знаний дробей никто не может признаваться знающим арифметику». Марк Тулий Цицерон

Слайд 9

Пример 1: Преобразовать данные дроби так, чтобы получились дроби с одинаковыми знаменателями. Решение: Для этого найдем дополнительные множители для каждой дроби. Это числа 5 и 3 . 5 – дополнительный множитель 3 – дополнительный множитель Как используют основное свойство алгебраической дроби?

Слайд 10

Пример 2: Преобразовать данные дроби так, чтобы получились дроби с одинаковыми знаменателями. Решение: Для этого найдем дополнительные множители для каждой дроби. Это числа 3 b и 2. 3b – дополнительный множитель 2 – дополнительный множитель

Слайд 11

Пример 3 : Преобразовать данные дроби так, чтобы получились дроби с одинаковыми знаменателями. Решение: Для этого найдем дополнительные множители для каждой дроби. Это многочлены - (x - y) и (x + y). (x - y) – дополнительный множитель (x + y) – дополнительный множитель

Слайд 12

Пример 4: Преобразуйте заданные тройки алгебраических выражений так, чтобы получились дроби с одинаковыми знаменателями:

Слайд 13

Пример 5: Преобразуйте заданные тройки алгебраических выражений так, чтобы получились дроби с одинаковыми знаменателями:

Слайд 14

Сократите данные дроби: 1 1 1 1 1 1 1 1

Слайд 15

Сократите дробь: 1 1 1 1 1 1

Слайд 16

Назовите основное свойство алгебраической дроби; Как изменяются знаки у числителя и знаменателя алгебраической дроби (следствие из основного свойства дроби)?

Слайд 17

1 вариант 2 вариант Самостоятельная работа

Слайд 18

Домашнее задание: Работа с задачником: с. 19, 24. Решить в тетради: № 2.3, 2.36

Слайд 1

Слайд 2

1. Повторение 1. Какие из представленных ниже уравнений дробные рациональные? Вопрос: 1) - = 2,5 = 0,5х (х-21) 3) = 4) - = 7х+3 Ответ : 1, 3

Слайд 3

2. Какое уравнение называется дробным рациональным? Вопрос: Левая или правая части уравнения являются рациональными дробными выражениями. 1. Повторение

Слайд 4

= Ответ : Решите уравнение? (работа в парах по вариантам) = Вариант I Вариант I I Ответ : Задание № 1: 1. Повторение

Слайд 5

Из пунк­тов А и В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 27 км, вышли од­но­вре­мен­но нав­стре­чу друг другу два танка и встре­ти­лись в 15 км от А. Най­ди­те ско­рость танка, шед­ше­го из А, если из­вест­но, что он шёл со ско­ро­стью, на 2 км/ч боль­шей, чем вто­рой танк, и сде­лал в пути по­лу­ча­со­вую оста­нов­ку . 2. Задачи на движение Задача № 1

Слайд 6

2. Задачи на движение Задача № 1 А В 27 км 15км

Слайд 7

V t S танк из А танк из Б Пусть скорость танка, выехавшего из А равна х км/ч , тогда скорость танка выехшаво из В равна (х-2) км/ч. Пешеход из А прошел 15 км , а расстояние между пунктами 27 км , следовательно пешеход их В прошел 12 км . 27-15=12. 2. Задача на движение Решение задачи № 1 По условию пешеход из А сде­лал в пути по­лу­ча­со­вую оста­нов­ку, значит он шел меньше времени на 0,5 ч . Это условие можно записать так t 1 < t 2 на 0,5 ч. или t 2 - t 1 = 0,5. - = 0,5 Получаем уравнение: 15 12 х х-2 t 1 t 2

Слайд 8

Корень х = -10 не удовлетворяет условию задачи. Получаем, что скорость танка из А равна 6 км/ч. - = 0,5, Ответ : скорость танка из А равна 6 км/ч. 2. Задача на движение Решение задачи № 1 - = 0,5,

Слайд 9

3. Задачи на движение по воде В задачах при движении по воде используются четыре вида скорости. Какие? Вопрос:

Слайд 10

V лодки = V по озеру Собственная скорость (лодки, катера, подлодки…). Скорость течения реки. Скорость по течению реки. Скорость против течения реки. 3. Задачи на движение по воде В задачах при движении по воде используются четыре вида скорости. Какие ? Вопрос: V плота = V течения реки

Слайд 11

V лодки = х (ед. из) V течения = у (ед. из ) V t S По течению реки х+ у t 1 S 1 Против течения реки х - у t 2 S 2 По озеру х t 3 S 3 Стоянка - t 4 - 3. Задачи на движение по воде За неизвестную переменную принимают скорость течения реки или скорость лодки , обычно то , что нужно найти в задаче. Количество строк зависит от условия конкретной задачи.

Слайд 12

Моторная лодка прошла 14 км против течения реки, а затем прошла еще 17 км по течению реки, затратив на это один час. Найдите скорость моторной лодки в стоячей воде, если скорость течения реки 3 км/ч. 14 км 1 7 км 4. Решите задачу Задача № 2

Слайд 13

14 км 1 7 км Задача № 2 Найдите скорость моторной лодки. Скорость течения реки 3 км/ч. 4. Решите задачу

Слайд 14

Пусть скорость моторной лодки х км/ч. V t S По течению реки Х + 3 1 час 17 Против течения реки Х - 3 14 17/(х+3 ) + 14/(х-3)= 1, Решение задачи № 2 t 1 + t 2 = 1 Ответ : скорость лодки 31 км/ч. 4. Решите задачу

Слайд 15

5. Подводим итоги урока Ответь : Какие виды задач мы с вами разобрали на уроке? Повторите алгоритм решения задач. Какие особенности ( или закономерности) встретились нам при решении задач?

Слайд 16

6. Домашняя работа Вариант II Вариант I 1) № 619 1) № 618 2) № 629 3)№636, 637 (а) 2) № 628 3) №636, 637 (б)

Слайд 17

Рефлексия На уроке было комфортно и все понятно. На уроке немного затруднялся, не все понятно. На уроке было трудно, ничего не понял.

Слайд 18

Спасибо за внимание

Слайд 1

Слайд 2

Повторение – мать учения. а. при положительном а; б . при отрицательном а; в . при неотрицательном а. 2. Что называется арифметическим квадратным корнем из числа а. число, квадрат которого равен а ; б . положительное число, квадрат которого равен а; в . неотрицательное число, квадрат которого равен а. 3. При каком значении выражение имеет смысл? Как называется выражение а. Квадратным корнем ; б .арифметическим квадратным корнем из числа а ; в . корнем из числа а.

Слайд 3

4. Чему равно значение выражения а. Х; б. –Х; в. 5. Если , то а . б . в . 6. Из указанных чисел назовите иррациональные: -2; 0; 1,5; ; ; 37; ; -2,(2); 181.

Слайд 4

Если то Запоминаем и используем

Слайд 5

2. Найдите значение выражения:

Слайд 6

Упростите выражение:

Слайд 7

Упростите выражение:

Слайд 8

Определите неизвестный множитель.

Слайд 9

Тест Открыть сайт «Решу ОГЭ» Войти под своим именем Выполнить указанный вариант № …. Время работы 10 минут

Слайд 10

Как вы продолжите фразу? Сегодня на уроке я научился… Я могу объяснить другим Мне нужна помощь в вопросе Что, по вашему мнению, привело к успеху? До свидания ! Спасибо за урок.

Слайд 1

Слайд 2

Домашнее задание. п.17, № 393, 394(аб), 395, 401(1 строка), 403

Слайд 3

Самостоятельная работа. 1 вар. 2 вар.

Слайд 4

Взаимопроверка 1 вар. 2 вар. 100; 5/3 120; 7/4 8; 10 9; 1/10 2,8 3 1/4 2 «5»-6б «4»- 5б «3»- 4б

Слайд 5

Квадратный корень из степени

Слайд 13

Решить № 396(2столб), 402(2 строка)

Слайд 1

Слайд 2

Определения Уравнение – это равенство, содержащее переменную (букву), значение которой надо найти . Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение вместо переменной (буквы) получаем верное числовое равенство. Решить уравнение – значит найти все его корни или установить, что их нет.

Слайд 3

Примеры. Не являются равносильными Являются равносильными Корней нет, т.к. -9 <0 Корней нет, т.к. получили неверное числовое равенство Являются равносильными

Слайд 4

Равносильные преобразования:

Слайд 5

5 ОДЗ : x – 3 ≠ 0 x ≠ 3 ОДЗ: m + 4 ≠ 0 m ≠ - 4 ОДЗ: x ² - 49 ≠ 0 x ≠ ±7 ОДЗ: a – 5 ≠ 0 и a ≠ 0 a ≠ 5 и a ≠ 0 ОДЗ: x – любое число Найдите допустимые значения переменных.

Слайд 6

Найдите решение системы:

Слайд 7

Рациональные уравнения. A - многочлен B - многочлен (1) (2) Ответ:

Слайд 8

(1) (2) Ответ:

Слайд 9

(1) (2) Ответ:

Слайд 10

(1) (2) Ответ:

Слайд 11

(2) Ответ: Логический способ. Аналитический способ (по алгоритму). Ответ:

Слайд 12

Ответ:

Слайд 13

ЗАПОМНИ!

Слайд 1

Слайд 2

Дети Окружность Логика Считаю устно Числа Многоугольники Теоремы Закономерности Бизнес Головоломка Шифровки Уравнения Музыка Темы игры

Слайд 3

1 тур Темы Стоимость вопроса Дети 100 200 300 400 500 Окружность 100 200 300 400 500 Считаю устно 100 200 300 400 500 Логика 100 200 300 400 500

Слайд 4

Дети - 100 В доме 12 чашек и 9 блюдечек. Дети разбили половину чашек и 7 блюдечек. Сколько чашек осталось без блюдечек?

Слайд 5

Дети - 200 У старшего брата две конфеты, а у младшего 12 конфет. Сколько конфет должен отнять старший у младшего, чтобы справедливость восторжествовала, и между братьями наступило равенство?

Слайд 6

Дети - 300 Когда младенца Кузю поцарапала кошка, он орал 5 минут, когда его укусила оса, он орал на 3 минуты больше, но когда собственная мать набросилась на него и начала мыть с мылом, Кузя орал в два раза дольше, чем после укуса осы. Мама мыла Кузю 11 минут. Сколько орал уже вымытый Кузя?

Слайд 7

Дети - 400 Один мальчик охотился в кухне на тараканов и убил пятерых, а ранил в три раза больше. Трех тараканов мальчик ранил смертельно и они погибли от ран, а остальные тараканы выздоровели, но обиделись на мальчика навсегда и ушли к соседям. Сколько тараканов ушло к соседям навсегда?

Слайд 8

Дети – 500. Аукцион Коле и Толе купили по 5 пирожных. Коля съел свои за 6 минут и стал сходить с ума от зависти глядя, как Толя ест каждое пирожное по 4 минуты. Долго ли будет сходить с ума от зависти Коля?

Слайд 9

Окружность - 100 В древности такого термина не было. Его ввел в 17 веке французский математик Франсуа Виет, в переводе с латинского он означает «спица колеса». Что это?

Слайд 10

Окружность - 200 Отрезок, соединяющий две точки окружности

Слайд 11

Окружность - 300 Чтоб окружность верно счесть Надо только постараться И запомнить все как есть: Три – четырнадцать – пятнадцать – Девяносто два и шесть. О чем речь?

Слайд 12

Окружность - 400 Часть плоскости, ограниченная окружностью.

Слайд 13

Окружность – 500. Кот в мешке Это слово в переводе с греческого означает «измерение треугольников»

Слайд 14

Считаю устно - 100

Слайд 15

Считаю устно - 200

Слайд 16

Считаю устно - 300

Слайд 17

Считаю устно - 400

Слайд 18

Считаю устно - 500 Аукцион 8·125·52

Слайд 19

Логика - 100 Груша тяжелее чем яблоко, а яблоко тяжелее персика. Что тяжелее груша или персик?

Слайд 20

Логика - 200 Если бы завтрашний день был вчерашним, то до воскресенья осталось бы столько дней, сколько прошло от воскресенья до вчерашнего дня. Какой же сегодня день?

Слайд 21

Логика - 300 Найдите лишнюю фигуру: 1 2 3 4 5

Слайд 22

Логика - 400 Два мальчика играли на гитарах, а один на балалайке. На чем играл Юра, если Миша с Петей и Петя с Юрой играли на разных инструментах.

Слайд 23

Логика - 500 Кот в мешке Слово, которым обозначается это геометрическое понятие, в переводе с греческого означает «натянутая тетива»

Слайд 24

2 тур Темы Стоимость вопроса Музыка 100 200 300 400 500 Числа 100 200 300 400 500 Многоугольники 100 200 300 400 500 Уравнения 100 200 300 400 500

Слайд 25

Музыка - 100 Песня про страшное скопление водяных паров в атмосфере.

Слайд 26

Музыка - 200 Песня о двух агрегатных состояниях воды, одно из которых привело к гибели Титаника.

Слайд 27

Музыка – 300 Аукцион Песня о вращении геометрического тела правильной формы, падение которого привело бы к краже.

Слайд 28

Музыка - 400 Песня о естественном спутнике Земли голубого цвета.

Слайд 29

Музыка - 500 Песня, в которой многократно повторяется числительное, соответствующее греческой приставке МЕГА.

Слайд 30

Числа - 100 Эти числа появились в связи с необходимостью подсчета предметов.

Слайд 31

Числа - 200 Что можно сказать о числах, которые оканчиваются нулем или цифрой, делящейся на 2 ?

Слайд 32

Числа - 300 «Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир» Кто автор этих строк?

Слайд 33

Числа - 400 Мы в отличии от египтян и римлян пользуемся позиционной системой счисления, в которой всего 10 цифр – «ступеньки». Что это за «ступеньки», перечислите их?

Слайд 34

Числа - 500 В вавилонских табличках это число изображалось в виде сдвоенного угла Индийцы называли его словом «сунья» (пустое), арабы перевели его соответствующим словом «ас-сыфр».

Слайд 35

Многоугольники - 100 Многоугольник, имеющий вид спичечного коробка

Слайд 36

Многоугольники – 200 Вопрос – аукцион Квадрат и ромб имеют одинаковые стороны. Площадь какой фигуры больше?

Слайд 37

Многоугольники - 300 Название этого четырехугольника происходит от греческого слова, в переводе на русский означающее «столик», от него так же произошло слово – «трапеза».

Слайд 38

Многоугольники - 400 Термин греческого происхождения, означавший в древности вращающееся тело – веретено, юлу. О какой фигуре идет речь?

Слайд 39

Многоугольники - 500 Найдите сумму всех углов в выпуклом семиугольнике.

Слайд 40

Уравнения - 100 Так называют квадратное уравнение, если в нем коэффициенты b и (или) c равны нулю.

Слайд 41

Уравнения - 200 Бутылка с пробкой стоит 11 рублей. Бутылка на 10 рублей дороже пробки. Сколько стоит пробка?

Слайд 42

Уравнения – 300 Кот в мешке Это название происходит от двух латинских слов «дважды» и «секу», буквально «рассекающиеся на две части». О чем идет речь?

Слайд 43

Уравнения - 400 Этот способ решения уравнения не всегда дает точные значения корней и требует чертежных навыков от решающего.

Слайд 44

Уравнения - 500 Найдите корни уравнения :

Слайд 45

Финальный тур Шифровки Теоремы Головоломка Закономерность Бизнес

Слайд 46

Шифровки Расшифруйте слова и назовите лишнее: бку лопсотькс атчок ямаяпр

Слайд 47

Теоремы Прокл в своем комментарии к «Началам» Евклида пишет относительно одной теоремы следующее: «Если слушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к Пифагору. Рассказывают, что в честь этого открытия он принес в жертву быка». Сформулируйте теорему, о которой идет речь.

Слайд 48

Головоломка Утопить или повесить? Некто совершил преступление, караемое смертной казнью. На суде ему предоставляется последнее слово. Он должен произнести одно утверждение. Если оно окажется истинным – преступника утопят, если же окажется ложным, то преступника повесят. Какое утверждение он должен высказать, чтобы привести палачей в полное замешательство?

Слайд 49

Закономерность Найдите закономерность и закончите числовой ряд: 0, 3, 8, 15, ?

Слайд 50

Бизнес Вася печет пирожки и продает их на рынке. В первый день он продал 100 пирожков по цене 1 рубль за один пирожок. На следующий день он снизил цену на 10  и продал 110 пирожков. В какой день он заработал больше и на сколько?

Слайд 51

Спасибо всем!

Слайд 1

Слайд 3

«Уравнение представляет собой наиболее серьезную и важную вещь в математике». Пифагор «Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические замки». Диофант

Слайд 4

1. Выучить определение квадратного уравнения. 2. Научиться определять по виду уравнения является ли оно квадратным или нет. 3. Научиться определять вид квадратного уравнения - полное оно или неполное. 4. Научиться выбирать нужный алгоритм решения неполного квадратного уравнения. Ц е л и у р о к а :

Слайд 5

1. Есть x 2 . 2. Есть х . 3. Есть свободный член . 4. Есть ноль в правой части. 2 x 2 + 3 х - 9 = 0 , 5 х 2 - 6 х + 1 = 0 2 x 2 + 3 х - 9 = 0 , 5 х 2 - 6 х + 1 = 0 2 x 2 + 3 х - 9 = 0 , 5 х 2 - 6 х + 1 = 0 2 x 2 + 3 х - 9 = 0 , 5 х 2 - 6 х + 1 = 0 2 x 2 + 3 х - 9 = 0 , 5 х 2 - 6 х + 1 = 0 x 2 + х + = 0 , х 2 + х + = 0 a a c c b b

Слайд 6

Найди квадратные уравнения и напиши его коэффициенты Х 2 - 4х + 5 = 0 Х 2 + 4 = х 3 Х 2 = 0 Х 2 – 4 = 0 5х = х 2 +9 Х 2 = 7х Х 2 = х 2 +х 9х = х 2

Слайд 7

Проверь ! Х 2 - 4х + 5 = 0 а = 1; в = - 4; с = 5 Х 2 = 0 а = 1; в = 0; с = 0 Х 2 – 4 = 0 а = 1; в = 0; с = - 4 5х = х 2 +9 а = 1; в = - 5; с =9 Х 2 = 7х а = 1; в = -7; с = 0 9х = х 2 а = 1; в = - 9; с = 0

Слайд 8

Квадратные уравнения Полные Неполные Если все коэффициенты не равны нулю Если хотя бы один из коэффициентов в или с равен нулю

Слайд 9

Неполные квадратные уравнения в = 0 и с = 0 в = 0 с = 0

Слайд 10

Уравнение вида: ах 2 = 0 5х 2 = 0, х 2 = 0, х = 0 Ответ: 0.

Слайд 11

Уравнение вида: ах 2 + с = 0 2х 2 – 8 = 0, 2х 2 = 8 / 2, Х 2 = 4, Х 1 = 2, Х 2 = - 2. Ответ:- 2; 2.

Слайд 12

Уравнения вида: ах 2 + вх = 0 х 2 + 2х = 0, х(х + 2) = 0, х = 0 или х + 2 = 0 х 1 = 0 х 2 = - 2 Ответ: - 2, 0.

Слайд 13

Выбери способ решения 7х 2 -13=0, 7k-14k 2 =0, 12 g 2 =0, 5 y 2 -4y=0, 2h+h 2 =0, 35-х 2 =0.

Слайд 14

Домашнее задание Легче № 513, 519, 517 . Сложнее 513, 520, 521(а, б).

Слайд 15

СПАСИБО

Слайд 1

Слайд 2

Что такое функция? Функция это зависимость одной переменной от другой. Например: Путь пройденный автомобилем с постоянной скоростью зависит от времени движения; Стоимость проезда в пригородной электрички зависит от номера зоны; Площадь квадрата зависит от длины его стороны. Итак, Независимая переменная = аргументу (х) Зависимая переменная = функции (у)

Слайд 3

Как задается функция? аналитически (например, через задачу, т.е. условие = формулы) графически с помощью таблицы n 1 2 3 4 5 m 10 15 18 21 35

Слайд 4

Какие из функций являются линейной ;

Слайд 5

Где графики функции? № № № №

Слайд 6

Найти значение функции / найти значение аргумента Найти значение функции , если значение аргумента равно - 2 : Найти значение аргумента при котором значение функции равно 1 : 4 = 8x x =

Слайд 7

Построить график функции x 0 2 y 3 2 0 3 2

Слайд 8

Найти область определения функции и множество ее значений Ответ: x – любое число (т.е. мы можем подставить любое число в функцию ) y – любое число (т.е. с любым значением x , функция будет существовать)

Слайд 9

Найти нули функции И так, чтобы найти нули функции нам нужно найти такой x , что обращает функцию в 0, т.е. подставляем 0 вместо y

Слайд 10

Принадлежит ли точка М (-1;5), графику функции Подставить значение М в функцию Разберемся где x , где y Приведем уравнение к ответу, сделаем вывод это x это y 5 = 2 · (-1)-3 5 ≠ - 5 ⟹ точка не принадлежит

Слайд 1

Слайд 2

Цель моего выступления: Показать « Различные способы решения квадратных уравнений» : 1 . У стное решение некоторых квадратных уравнений. 2 .Д ополнительные способы решения . Я буду очень рад, если м оя исследовательская работа вам поможет в вашей работе.

Слайд 3

История возникновения квадратных уравнений . . Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 г. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи . Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду + вх+с =0 , было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. Штифелем . Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Лишь в 17 в. благодаря трудам Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Слайд 4

Методы решения квадратных уравнений 1 . Традиционные способы по формуле 2. По формуле четным коэффициентом в 3. Г р а ф и ч е с к о е р е ш е н и е 4. С помощью теоремы Виета. 5 . “ Свойство коэффи ц иентов квадратного уравнения .” ( 6 способов) 6. С пособом «переброски» старшего коэффициента свободному члену 7. С помощью номограммы

Слайд 5

Традиционные способы : 1. Решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0; по формуле: D = b 2 – 4 ac . 1.Если D < 0, то уравнение не имеет корней. 2 . Если D = 0, то x = 3.Если D > 0, то x =

Слайд 6

2 . Решение квадратных уравнений с четным коэффициентом a 2 + 2 kx + c = 0, a ≠ 0; D 1 = k 2 – ac . 1 . Если D 1 < 0, то уравнение не имеет корней. 2. Если D 1 = 0, то x = 3. Если D 1 > 0 , то x =

Слайд 7

3. Г р а ф и ч е с к о е р е ш е н и е уравнения х 2 - 0,5 х – 3=0 Построим графики функций: у = х 2 и у = 0,5 х + 3 . Графиком функции у = 0,5 х + 3 является прямая, проходящая через точки: Абсциссы точек пересечения графиков будут являться решением данного уравнения. х –2 –1 0 1 2 у 4 1 0 1 4 Графиком функции у = х 2 является парабола, вершина которой находится в начале координат, ветви направлены вверх. Контрольные точки: Х 0 –2 У 3 2

Слайд 8

4. Решение уравнений с помощью теоремы Виета На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: Если приведенное квадратное уравнение x 2 +px+q=0 имеет действительные корни, то их сумма равна -p, а произведение равно q, то есть x 1 + x 2 = -p , x 1 x 2 = q (сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).

Слайд 9

Решим уравнение: Х 2 + 3Х – 4 = 0 . Тогда, Х 1 ·Х 2 = – 4 , значит корни имеют разные знаки , Х 1 + Х 2 = – 3, значит больший по модулю корень - отрицательный. Подбором находим корни: Х 1 = – 4 , Х 2 = 1 Это уравнение можно решать и другим методом. А это как будет ?

Слайд 10

Узнаем , исследуя, решения некоторых квадратных уравнений рациональные способы.

Слайд 11

5 . Свойства коэффициентов ax 2 + bx + c =0 . 1) 2 х² - 7х + 5 = 0 2) - х² +7 х - 6 = 0 По формуле нашли корни. Ответы : 1) 1 и 2,5 2 ) 1 и 6 Какая закономерность между коэффициентами ?

Слайд 12

Вывод : Если в квадратном уравнении сумма коэффициентов а+в+с=0 , то один из корней всегда равен 1 , а второй корень . Этот метод называется “ Свойство коэффи ц иентов квадратного уравнения.”

Слайд 13

Итак. Вернемся к нашему 1-ому уравнению Х 2 + 3Х – 4 = 0, сумма коэффициентов а+в+с = 0; 1+3-4=0, значит Х 1 = 1, то Х 2 = = = -4 Корни уравнения 4 х² + 1996 х – 2000 = 0 : Х 1 = 1 и Х 2 = - 500

Слайд 14

Как быстро можно решать уравнение? 2004х² + 3х – 2001 = 0. Сначала решаем уравнения: 2 х² - 3 х - 5 = 0 и - х² +5 х + 6 = 0 используя традиционный метод ,находим D ( дискриминад ) и корни уравнения и делаем вывод . Какая закономерность между коэффициентами ? Ответы : 1) -1 и 2,5 2) -1 и 6

Слайд 15

Вывод.: Если в квадратном уравнении сумма коэффициентов а+с=в ,то один из корней всегда -1 , а другой корень - Этот метод называется Свойства коэффициентов квадратного уравнения. Например: 137х 2 - 20х – 157 = 0. a = 137, b = - 20, c = -157. в= a + c = 137 – 157 = - 20. то x 1 = - 1 , = =

Слайд 16

Свойства закономерности коэффициентов квадратного уравнения . а) Сначала решаем уравнение 2 х² + 5 х + 2 = 0 , используя D . Решение квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0; по известной формуле. D = b 2 – 4 ac . Если D < 0, то уравнение не имеет корней. Если D = 0, то x = , Если D > 0, то x = . Решение квадратного уравнения : 2 х² + 5 х + 2 = 0 D = 5 2 – 4 *2*2=9 . D > 0, значит уравнение имеет два корня. x = = = . Ответ: - 0,5 и -2

Слайд 17

Вывод. Если в уравнений а х² + b х + с = 0 , коэффициент в = ( а ²+1), коэффициент с равен численно коэффициенту а , то его корни равны Х 1 = – a , Х 2 = - 2 х² + 5 х + 2 = 0 ; а=2, с=2, в= 5 а ²+1 =2 ²+1 =5,значит Х 1 = – 2 , Х 2 = -

Слайд 18

б) Рассмотрим другое уравнение : 17 х² +288х -17 = 0 , а=17, в=288. с=-17. Это уравнение тоже можно очень легко решать . Сначала рассмотрим более простой пример: 2 х² + 3 х - 2 = 0 , решаем используя D . D = 3 2 – 4 *2*(-2)=25. D > 0, значит, уравнение имеет два корня. . Ответ: -2 и

Слайд 19

Вывод: Если в уравнении а х² + b х + с = 0 , коэффициент в = ( а ²-1), коэффициент с равен численно коэффициенту - а , то его корни равны Х 1 = – a , Х 2 =

Слайд 20

в) Рассмотрим другое уравнение 4 х² -17х +4 = 0 , а=4, в=-17. с=4 Это уравнение тоже можно очень легко решать. Решаем, используя D . D = 17 2 – 4 *4*4=225. D > 0, значит, уравнение имеет два корня. Ответ: 4 и

Слайд 21

Вывод Если в уравнении а х² + b х + с = 0 , коэффициент - в = ( а ²+1), коэффициент с равен численно коэффициенту а , то его корни равны . Х 1 = a , Х 2 = . В нашем случае в= 17= +1=

Слайд 22

г) Рассмотрим другое уравнение 2 х² -3х -2 = 0 , а=2, в=-3. с=-2 Это уравнение тоже можно очень легко решать. Решаем, используя D . D = (-3) 2 – 4 *2*(-2)=25. D > 0, значит, уравнение имеет два корня . Х 1 = и Х 2 = Ответ : 2 и -

Слайд 23

Вывод: Если в уравнении а х² + b х + с = 0 , коэффициент - в = ( а ²-1), коэффициент с равен численно коэффициенту - а , то его корни равны . 2 х² -3х -2 = 0 . 3= -1 Х 1 = a , Х 2 = -

Слайд 24

6 . Решение уравнений способом «переброски» старшего коэффициента свободному члену ax 2 + bx + c =0 и у 2 + b у+ а c = 0 связаны соотношениями Х 1 = и Х 2 = Решим уравнение: 2х 2 - 11х +15 = 0.(1) Перебросим старший коэффициент 2 к свободному члену, получим у 2 - 11у +30= 0.(2) D>0, по теореме, обратной теореме Виета, (2) уравнение имеет корни: 5;6. Далее возвращаемся к корням исходного уравнения (1) , тогда корни: 2,5 ; 3. Ответ: 2,5; 3 .

Слайд 25

Это интересно! С помощью номограммы можно получать решения уравнений , для которых номограмма построена.

Слайд 26

Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, о котором рассказывается в Таблице ( нам очень знакомый) Четырехзначных математических таблиц, автор Брадис . Номограмма для решения уравнения z2 + рz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Слайд 27

7. (План решения с помощью номограмм может быть таким: 1. Отметить числа, соответствующие коэффициентам квадратного уравнения z2 + рz + q = 0 на вертикальных осях 2. Соединить их отрезком 3. На шкале определить числа, соответствующие точкам пересечения отрезка и осей 4. Если оба корня положительные, то получаем ответ

Слайд 28

Для уравнения – 9 z + 8 = 0, корни: 8 и 1.

Слайд 29

Для решения уравнения – 2z – 8 = 0 номограмма дает положительный корень z = 4 , отрицательный корень равен z= – р – z= 2–4 = – 2

Слайд 30

Спасибо за внимания!!!