«Последние цифры n-значного числа, которое при возведении в произвольную натуральную степень будет оканчиваться на тот же набор из n цифр, что и исходное число, притом в том же порядке»
творческая работа учащихся по алгебре (9 класс)

Научно-исследовательская работа

по теории чисел

по теме

«Последние цифры

произвольных степеней

одного и того же натурального числа»

(«Последние цифры n-значного числа, которое

при возведении в произвольную натуральную степень

будет оканчиваться

на тот же набор из n цифр, что и исходное число,

притом в том же порядке»)

Выполнила: ученица 9А класса Пивоварова Елизавета

Руководитель: учитель математики Юнева Лариса Сергеевна

город Москва

Тема: «Последние цифры произвольных степеней одного и того же натурального числа»

или: «Последние цифры n-значного числа, которое при возведении

в произвольную натуральную степень будет оканчиваться

на тот же набор из n цифр, что и исходное число,

притом в том же порядке»

Содержание:

Цели и параметры работы .…………………………………………….….…2                

Введение ……………………………………………………….……………...3

Описание исследования. Промежуточные выводы .………………………..4

Заключение. Итоги  ……………………………………………………...…..12

Литература ……………………………………………………………………13

Тема  работы: последние цифры n-значного числа, которое при возведении в произвольную натуральную степень будет оканчиваться на тот же набор из n цифр, что и исходное число, притом в том же порядке.

Актуальность темы исследования. Расширение материала раздела теории чисел о последних цифрах степеней числа. Изучив возможную и доступную литературу по теме, не удалось встретить похожую информацию.

Объект исследования: число am с натуральным основанием а и натуральным показателем m.

Предмет исследования: последние цифры чисел вида am, в которых при возведении в произвольную натуральную степень m натурального основания а число будет оканчиваться на тот же набор цифр, что и исходное число, притом в том же порядке.

Гипотеза исследования: Если число должно оканчиваться на цифры, которые образуют исходное число, то повторение должно наступать сразу при возведении сначала во вторую, потом в третью степень. Изучить поведение квадратов и кубов чисел и выдвинуть последующую гипотезу на числа с большим количеством цифр в разрядах. Исследование в тексте работы.

Методы исследования: анализ, синтез, выявление закономерностей, аналогия, формализация.

Цель исследования: установить, существуют ли такие натуральные числа, которые при возведении в произвольную натуральную степень будут оканчиваться на те же цифры, что и исходное число, притом в том же порядке.

Практическая значимость работы. Расширение материала раздела теории чисел о последних цифрах степеней числа.

Новизна: в ходе исследования было установлено существование натуральных n-значных чисел, которые при возведении в произвольную натуральную степень оканчиваются на те же n цифр, что и само исходное число, притом в том же порядке. Названы такие числа до тринадцатизначных включительно. В ходе данного исследования прослеживается ряд закономерностей, которые можно использовать для других исследований.

Введение

Теория чисел представляет интересный раздел математики. Исторически она возникла как непосредственное развитие арифметики. Достаточно базовых знаний о натуральных числах и основных действиях над ними, чтобы приступить к её изучению. Элементы теории чисел и определённые задачи просты и легки для понимания уже для младших школьников. Однако существуют задачи с понятным условием, но требующие немало усилий для их решения. Это вызывает любопытство и интерес, желание разобраться, понять, научиться.

При рассмотрении натуральных чисел обнаруживается, что среди них встречаются числа с очень разнообразными свойствами. В частности, в доступной для школьников задачной базе содержится большой объём задач на тему нахождения только последней цифры (или двух) для степеней чисел, записанных  в самых различных интересных видах. Для решения таких задач определяются закономерности повторяемости последней цифры и применяются при решении. Такие задачи действительно интересны, например:

• Найти последнюю цифру чисел: ;;.
• Найдите две последние цифры чисел: 3999;; 81989; 81989 – 28;

.  

• Какой цифрой оканчивается число ?
• Доказать, что число   – целое.

Однако тема исследования нахождения только последней цифры (одной или двух) в записи степени натурального числа достаточно хорошо проработана. Отсюда возникает интерес к задачам чуть иного содержания, для решения которых также требуется проведение исследования. С некоторыми из таких задач когда-то встречались во время занятий (на уроках или дополнительных занятиях), они и привели к представленному здесь исследованию. Вот, например, такие задачи:

1) Найдите все трехзначные числа, каждая натуральная степень которых оканчивается на три цифры, составляющие первоначальное число.

2) Существует ли такое пятизначное число, которое при возведении в произвольную натуральную степень будет оканчиваться на те же пять цифр, что и исходное число, притом в том же порядке?

Описание исследования.

1. Однозначные двузначные числа.

Теме исследования удовлетворяют однозначные числа 1, 5, 6. Это легко заметить простым перебором степеней этих чисел.

1n = 1 при любом n; 5n и 6n оканчиваются на 5 и 6 соответственно при любом n.

2. Рассмотрим квадраты натуральных двузначных чисел. Из двузначных чисел надо рассматривать только те, которые оканчиваются на 1, 5, 6.

Результаты запишем в виде таблицы 1.

        Таблица 1

Из таблицы видим, что таких чисел всего два: 25 и 76.

Итак, 252 = 625 и 762 = 5776.

Проверим их на произвольную степень m.

Результат запишем в таблице 2.

        Таблица 2

Можно предположить, что утверждение будет верно для любых степеней. Проверим его.

Возводить напрямую в более высокие степени уже становится трудоёмко, а для очень высоких – совсем невозможно. Но нужно проверить, не окажется ли, что найдётся такое очень большое число, для которого утверждение не будет справедливым.

Для проверки представим числа, для которых уже степени вычислены, в виде  .

Для числа, оканчивающегося на 25, пусть оно имеет вид . Все цифры, стоящие до 25, можно принять за одно число, например, А: .

Разложим его по разрядным слагаемым:  = 100А + 20 + 5 = 100А +25. Тогда, чтобы получить следующую за ним степень, умножим его на 25.

(100А +25) ∙ 25 = 100А ∙ 25+ 252                                                           (*)

Первое слагаемое оканчивается на два нуля, а второе – на 25, следовательно, сумма оканчивается на 25. Если число в шестой степени оканчивается на 25, то и число в седьмой степени оканчивается на 25. Если число в седьмой степени оканчивается на 25, то и число в восьмой степени оканчивается на 25. И так для любой последующей степени.

Аналогично для чисел, оканчивающихся на 76.

 ∙ 76 = 100В ∙ 76 + 762. Все рассуждения и вывод аналогичны

Итак, первый промежуточный вывод. Для двузначных чисел 25 и 76 их любая произвольная степень оканчивается на 25 и 76 соответственно.

Второй промежуточный вывод. Если вторая степень некоторого числа оканчивается на те же цифры, что и само число, то и любая последующая степень оканчивается на эти же цифры.

3. Трёхзначными числами, возведёнными в квадрат и могущими дать в конце цифры этого же числа, надо искать среди чисел, оканчивающихся на 25 и 76.

Составим таблицу 3:

              Таблица 3

В таблице находятся числа 625 и 376, в степенях которых три последние цифры совпадают с самими числами. Исследуем числа 625 и 376, каков будет состав их степени выше второй.

Проведём работу, аналогичную предыдущему пункту.

Во-первых, 6252 = 390625 – вторая степень числа 625 оканчивается на те же цифры, что и само число. Третья степень аналогично: 6253 = 244140625. Во-вторых, проверим, что второй промежуточный вывод здесь работает.

6252 = 390625 =  = 1000С + 625.

Тогда 6253 =6252∙ 625 =  ∙ 625 = (1000С + 625) ∙ 625 = 1000С ∙ 625+ 6252. Это число оканчивается на 625, следовательно, и все последующие степени оканчиваются на 625.

Для числа 376 аналогично.

3762 = 141376 =  = 1000D + 376.

Тогда 3763 =3762∙ 376 =  ∙ 376 = (1000D + 376) ∙ 376 = 1000D ∙ 376 + 3762. Это число оканчивается на 376, следовательно, и все последующие степени оканчиваются на 376.

Действительно, второй промежуточный вывод здесь справедлив. Тогда он будет выполняться и для всех последующих аналогичных случаев.

Итак, третий промежуточный вывод. Для трёхзначных чисел 625 и 376 их любая произвольная степень оканчивается на 625 и 376 соответственно.

В этом пункте получен ответ для задачи №1 из части введения.

4. Для четырёхзначных чисел.

Четырёхзначное число для повторения надо искать в записи значений степеней числа 625 или 376.

В первом случае, так как 6252 = 390625, то это число 0625, что не может служить четырёхзначным числом как имеющее 0 в первом разряде.

Во втором случае, так как 3762 = 141376, то это число 1376.

Составляем таблицу 4 для числа 1376.

        Таблица 4

Здесь уже для второй степени не соблюдается требование о повторяемости последних четырёх цифр числа.

Итак, четвёртый промежуточный вывод. Среди четырёхзначных чисел нет таких, которые, будучи возведёнными  в произвольную натуральную степень, оканчивались бы на тот же набор из четырёх цифр, что и исходное число, притом в том же порядке.

5. Для пятизначных чисел.

Пятизначное число возможно среди последних пяти цифр степеней числа 625.

       Таблица 5

Таким образом, это либо 90625, либо 40625.

Сначала проверяем вторую степень этих чисел.

906252 = 8212890625 – есть повторение.

406252 = 1650390625 – нет повторения.

Согласно второму промежуточному выводу, число 90625 удовлетворяет требованию исследования.

Вот таблица нескольких степеней числа 90625:

    Таблица 6

Итак, пятый промежуточный вывод. Пятизначное число, которое при возведении в произвольную натуральную степень оканчивается на те же пять цифр, что и исходное число, притом в том же порядке, существует. Это 90625.

В этом пункте получен ответ для задачи №2 из части введения.

6.  Существует ли такое шестизначное, семизначное, восьмизначное (…) число?

Если такие числа существуют, то они среди цифр чисел таблицы 6. Рассмотрим их. Составим обобщённую таблицу 7.

         Таблица 7

Примечание. Десятизначное число, которое можно взять из таблицы 6, имеет два варианта: в десятом разряде либо 3, либо 8. Цифра 8 в десятом разряде удовлетворяет требованию исследования, а цифра 3 – нет.

Итак, шестой промежуточный вывод. Существуют шести-, семи-, восьми-, девяти- и десятизначные числа, которые при возведении в произвольную натуральную степень оканчиваются на тот же набор цифр, что и исходное число, притом в том же порядке. Это соответственно 890 625,      2 890 625, 12 890 625, 212 890 625, 8 212 890 625.

7. Рассмотрим последующие числа: одиннадцатизначное, двенадцатизначное, тринадцатизначное (таблицы 8, 9, 10).

В таблице 8: перебираем последовательно все одиннадцатизначные числа, имеющие в искомом разряде цифры от 1 до 9, а остальная часть этих чисел – это полученное десятизначное число  8 212 890 625

        Таблица 8

Таким образом, искомым одиннадцатизначным числом является                  18 212 890 625.

Получив это одиннадцатизначное число, будем также последовательно перебирать в высшем разряде цифры от 1 до 9, остальная часть чисел останется неизменной.

         Таблица 9

Таким образом, искомым двенадцатизначным числом является         918 212 890 625.

Наконец, найдя двенадцатизначное число, повторяем аналогично свои вычисления.

       Таблица 10

Таким образом, искомым тринадцатизначным числом является                 9 918 212 890 625.

Заключение

Процесс исследования можно было бы продолжать и дальше. Существуют ли числа больших разрядов, удовлетворяющих предмету исследования? Современные вычислительные средства позволяют находить большие числа. Путь исследования понятен. Его направление содержится во втором промежуточном выводе: если вторая степень некоторого числа оканчивается на те же цифры, что и само число, то и любая последующая степень оканчивается на эти же цифры.

Задача оказалась интересной и полезной, так как в процессе исследования открывались для себя незнакомые ранее факты или свойства из теории чисел.

                Подведём итог о существовании чисел.

                Числами разряда n, которые, будучи возведёнными  в произвольную натуральную степень m, оканчивались бы на тот же набор из n цифр, что и исходное число, притом в том же порядке, являются:

           Таблица 11

Примечание. В процессе исследования для вычислений использовались электронные таблицы Excel, вычисления производились по формулам в ячейках таблиц.

В ниже перечисленной литературе содержатся примеры, записанные в разделе «Введение» (см. стр. 4).

Литература

1. Бабинская И. Л. Задачи математических олимпиад. М.: Наука, 1975 –  112 с., ил.
2. Березин В.Н. и др. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике: Кн. Для учителя / В. Н. Березин, Л. Ю. Березина, И.Л. Никольская. – М.: Просвещение, 1985. – 175 с., ил.
3. С.А.Генкин, И.В.Итенберг, Д.В.Фомин. Ленинградские математические кружки. –  Киров. 1994.
4. Трошин В. В. Магия чисел и фигур. Занимательные материалы по математике. Глобус, 2008. – 382 с., ил.
5. Что изучает теория чисел? http://www.chislopi.ru/page/chto-izuchaet-teorija-chisel