Проспект урока «Логарифмы. Свойства логарифмов»
план-конспект урока по алгебре (10, 11 класс)

Проспект урока  «Логарифмы. Свойства логарифмов»

Форма проведения: Урок «открытия» нового знания

Цель: формирование способности обучающихся к новому способу действия, расширение понятийной базы за счет введения понятия логарифма

Образовательные: Изучить понятие логарифма, его обозначение, учиться применять логарифмы к решению показательных уравнений. Учиться вычислять логарифмы с помощью изученного понятия.  Вывести простейшие свойства логарифма и закрепить их при вычислении логарифмов.  Познакомиться с историей появления термина «десятичный логарифм», «логарифмическая линейка» и ролью логарифма в жизни общества. Закрепить первичные навыки вычисления логарифмов.

Развивающие: Развивать логическое мышление, навыки аналитико-синтетической деятельности,  внимание и умение делать выводы на основе известных фактов, умения использовать полученные знания в новых ситуациях

Воспитательные: воспитание интереса к предмету, аккуратности, культуру учебного труда

Формируемые УУД: личностные – независимость и критичность мышления, воля и настойчивость в достижении цели.

Регулятивные – совокупность умений самостоятельно обнаруживать и формулировать учебную проблему, определять цель учебной деятельности;

Познавательные – совокупность умений по использованию понятия логарифма для решения математических задач и оценки полученных результатов;

Коммуникативные – совокупность умений самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в коллективе

Тема предыдущего урока – решение показательных уравнений и неравенств.

Тема последующего урока – логарифмическая функция.

Домашнее задание к уроку: вспомнить, в чем заключается графический способ решения уравнений, теорему о корне

Структура урока

1. Актуализация знаний

1. Мобилизующее начало урока
2. Фронтальный опрос с целью повторения теоретического материала
3. Коллективное решение уравнений  с целью мотивации
4. Постановка проблемной задачи, постановка темы урока.

2. Формирование новых знаний и способ действий.

1. Подготовка к введению определения (эвристическая беседа с целью выделения существенных свойств для конструирования определения)
2. Введение определения (запись в тетрадь и на доске)
3. Решение задач  с целью введения свойств логарифма

3. Формирования умений и навыков

1. Устное решение задач
2. Коллективное, письменное решение задач (доказательство логарифмического тождества)
3. Историческая справка (сообщение учащихся о логарифмической линейке и десятичном логарифме)
4. Подведение итогов урока. Постановка домашнего задания.

Мотивация

Рассмотрим простейшие показательные  уравнения: 2х=4, 2х=8, 2х=6 данные  уравнение мы можем решить алгебраически (кроме последнего), представив правую часть в виде степени числа 2, а чтобы убедиться, что корни действительно есть и решим их графически для этого в системе координат построим график функции у=2х и прямые  у=4, 8, 6

Что мы можем сказать о корне уравнения 2х=6 (он единственный, иррациональный и заключен в промежутке  (2; 3).

Постановка проблемы и ее разрешение

В чем заключается проблема? (знаем, что корень есть, но не знаем, как этот корень представить)

 Вспомните, сталкивались ли мы где-то с похожей ситуацией?(8 кл при решении простейшего квадратного уравнения, когда для записи его корней возникла необходимость появления нового знака)

Аналогично, обдумывая ситуацию с рассмотрением решения уравнении,  математики ввели в рассмотрение новый символ log с помощью которого записывают корень уравнения

Подготовка к введению определения и введение определения

Всегда ли уравнение aх=b имеет корни? В каких случаях уравнение не имеет корней? Какие ограничения следует наложить на a и b? (Обговорить существенные свойства aх=b, a>0(a не=1), b>0 (т.к. корни есть только при положительных значениях b) Сколько корней в общем случае имеет данное уравнение? Как этот корень можно записать? Единственный корень записывают log числа b по основанию а ( как можно по до- другому назвать логарифм -  показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b)

Запись определения: x=logab (логарифм числа b по основанию a)

Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию а  называют показатель степени, в которую нужно возвести число а , чтобы получить число b.

Подведение под определение и получение свойств

Прочитать и вычислить устно:

Задачник 14.1,14.2, 14.5,  + задания типа (имеет ли смысл выражение (под знаком логарифма поставить отрицательное число или 0, в основании 1 или отрицательное число)

Задач. 14.2(а,в)(св-во1),14.6(а)(св-во 2), свойство 3 (самостоятельно)

Посмотрите на выражения  последние 3 выражения, как их можно охарактеризовать с помощью свойств в символьной форме (записать св-ва в тетрадь): logaa=1; loga1=0; logaac=c

Основное логарифмическое тождество (доказательство от противного) По теореме о корне это уравнение также имеет единственное решение. Однако, в отличие от предыдущего уравнения, это уравнение является иррациональным числом(корень).

(доказательство «от противного»)Докажем, что корень данного уравнения является числом рациональным, т.е. Тогда выполняется равенство  или  Но  в любой натуральной степени будет числом четным, а  в любой натуральной степени – число нечетное. Получаем противоречие, которое и доказывает, что корень уравнения – число иррациональное. Обдумывая, ситуацию с показательным уравнением  математики ввели в рассмотрение новый символ – логарифм. С помощью этого символа корень уравнения  записали так: - иррациональное число. Мы дали определение логарифма на обычном языке, а теперь приведем то же определение на языке символов. Alogab=b. Какое число находится в показатели степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b? Ответ следует из данного выше определения: этим показателем является logab.

Десятичный логарифм

Сообщение ученика о десятичном логарифме

В математике для упрощения вычислений много лет используют различные вычислительные приборы. Я вам предлагаю рассмотреть интересное приспособление и ответить на некоторые вопросы (показываю логарифмическую линейку, вывожу на экран картинку с линейкой)

Беседа: знаете ли вы что это такое? Где вы ее видели? Как вы думаете, как называется эта линейка? Для чего она предназначена?

Сообщение ученика о логарифмической линейке