Определение коэффициентов аппроксимирующей функции методом наименьших квадратов без вычисления частных производных.

Автор: Власов Андрей Алексеевич, учитель математики, ГБОУ СОШ №258 с углубленный изучением физики и химии Колпинского района Санкт-Петербурга

Аннотация. В данной статье методом наименьших квадратов определяются коэффициенты аппроксимирующей функции, имеющей два коэффициента. Предлагается способ, не требующий вычисления частных производных, то есть способ, который может применяться школьниками. В качестве формирования функциональной грамотности учащихся на примере  решения задачи высшей школы, показана возможность применения знаний  школьного курса математики.

Ключевые слова: математика; средняя школа; функциональная грамотность; функция двух переменных; метод наименьших квадратов

In this paper, the coefficients of an approximating function with two coefficients are determined by the least squares method. We propose a method that does not require the calculation of partial derivatives, that is, a method that can be used by schoolchildren. As the formation of functional literacy of students on the example of solving the problem of higher school, the possibility of applying the knowledge of the school course of mathematics is shown..

Keywords: mathematics; secondary school; functional literacy; function of two variables; least squares method.

Код УДК: 372.851

Введение.

В статье «Метод наименьших квадратов как пример исследования квадратичной функции в свете формирования функциональной грамотности учащихся» был приведен пример нахождения единственного коэффициента аппроксимирующей функции. Такой функцией является, например, прямая пропорциональность, зависимость от квадратного корня. Развивая данную тему, найдем коэффициенты  функции, зависящей от двух коэффициентов.

Актуальность статьи заключается в новом решении  известной задачи с помощью ограниченных ресурсов.

Цель работы: создать дополнительную мотивацию к изучению математики учащимися на примере решения задачи высшей школы.

Задачи: найти коэффициенты аппроксимирующей функции методами, использующими темы школьного курса математики, сравнить полученный результат с типовым решением, подготовить материал для проектно-исследовательской деятельности учащихся, привести  пример для развития функциональной грамотности учащихся.

Научная новизна работы заключается в предоставлении школьникам математического инструмента обработки экспериментальных данных на профессиональном уровне. Работ с похожей тематикой не было найдено.

Применение метода наименьших квадратов для нахождения коэффициентов линейной функции.

В случае, если зависимость физических параметров описывается  линейной функцией, необходимо найти два коэффициента, то есть сумма разности квадратов зависит от двух переменных.  

Пусть в результате эксперимента получены пары значений x1 и y1,   x2 и y2,…, xn и yn. Предположим, что y зависит от x , и зависимость  описывается функцией y=f(x), имеющей коэффициенты k и b. Для упрощения примем y=kx+b, что не влияет на дальнейший результат.  

z==

=(y1- kx1- b)2+(y2- kx2- b)2+(y3- kx3- b)2+…+(yn - kxn - b)2=

=y12+ k2∙x12+ b2- 2∙ y1∙ k∙x1- 2∙ y1∙ b+2∙ k∙x1∙ b+

+ y22+ k2∙ x22+ b2- 2∙ y2∙ k∙x2- 2∙ y2∙ b+2∙ k∙x2∙ b+…=

= k2∙(x12+ x22+ …+ xn2)+k∙(-2∙ y1∙ x1-2∙ y2∙ x2-…-2∙ yn∙ xn)+

+k ∙ b∙(2∙ x1+2∙x2+…+2∙xn)+ b (- 2∙ y1- 2∙ y2- …- 2∙ yn)+

+n∙ b2 +( y12+ y22+…+ yn2)

Обозначим

x12+ x22+ …+ xn2=A

n=B

-2∙ y1∙ x1-2∙ y2∙ x2-…-2∙ yn∙ xn =C

- 2∙ y1- 2∙ y2- …+2∙xn =D

2∙ x1+2∙x2+…+2∙xn =E

k = x

b= y, тогда формула примет вид

z=A∙x2+B∙y2+C∙x+D∙y+E∙xy                                (1)

В данной формуле x и y  - искомые коэффициенты, а  A, B, C, D, E - некоторые числовые значения, полученные в результате арифметических преобразований экспериментальных данных.

График такой функции будет представлять собой эллиптический параболоид – неограниченную поверхность в трехмерном пространстве, образуемою движением параболы, вершина которой скользит по другой неподвижной параболе, причем оси обеих парабол остаются взаимно перпендикулярными   (Рис.1). Примерами параболоида являются, например,  поверхность отражателя прожектора, поверхность жидкости при вращении сосуда. Наименьшее значение такой функции будет в вершине параболоида. То есть, задача сводится к нахождению ее абсциссы и ординаты.

Для этого проведем через параболоид плоскость, параллельную плоскости XOY. (Рис. 1) Аппликату выберем с учетом упрощения дальнейших вычислений, например z=1. Получим сечение в виде эллипса, повернутого относительно оси OX на некоторый угол (Рис. 2).

Координаты его центра будут искомыми величинами. Каноническое уравнение эллипса

 +  = 1

описывает кривую, большая ось которой совпадает с осью абсцисс, а центр – с началом координат. Если выделить полные квадраты переменных x и y

 +  = 1 ,

то получим уравнение эллипса со смещенным центром, где (x0; y0) - центр, но  в нашем случае слагаемое E∙xy не позволяет выделить полные квадраты, так как эллипс получен не смещением, а поворотом на угол.

Будем называть родительским эллипс, из которого получен исследуемый нами, и систему координат, в которой он находится родительской, исследуемый эллипс и соответствующую систему координат – дочерней. Найдем формулу родительского эллипса в соответствующей системе координат. Для этого рассмотрим не поворот эллипса, а поворот системы координат. Пусть точка с координатами (x;y) в дочерней системе координат (черная на рисунке) имеет в родительской системе (синяя) координаты (x’;y’), и дочерняя система получена из родительской путем поворота на угол  α. (Рис. 3)

Заменим в формуле (1 ) x на x’ и y на y’. Получим уравнение дочернего эллипса в родительской системе координат:

A(y’∙ + x’∙)2+B(y’∙ – x’∙)2+

C(y’∙ + x’∙)+D(y’∙ – x’∙) +

E(y’∙ + x’∙)( y’∙ – x’∙) = 1

После раскрытия скобок и приведения подобных получаем:

x’2(Acos2α + Bsin2 - E∙sinα∙cosα) +

 y’2(Asin2α + Bcos2α + E∙sinα∙cosα)+

x’(C∙cosα - D∙sinα) + y’(C∙sinα + D∙cosα) +

 x’∙y’∙(A∙2∙sinα∙cosα - B∙2∙sinα∙cosα+E∙cos2α - E∙sin2α) = 1

Формулу можно привести к каноническому виду эллипса, если коэффициент при x’∙y’ равен нулю, то есть:

A∙2∙sinα∙cosα - B∙2∙sinα∙cosα +E∙cos2α - E∙sin2α = 0

E∙cos2α -sin2α∙(B-A)=0

откуда

tg2α=

Дальнейшее решение в общем виде ввиду громоздкости представляется нецелесообразным. Определив численными методами величину α, следует вычислить коэффициенты при x’2 , y’2 , x’ и  y’ , далее выделить полный квадрат вида

 +  = 1 ,

Таким образом, в родительской системе координат центр эллипса имеет координаты (x’0;y’0). При повороте этой точки на угол α будет получена точка, имеющая в дочерней системе координат координаты (y’0∙ + x’0∙; y’0∙ – x’0∙),

что является решением поставленной задачи.

Для примера возьмем уравнение из рисунка 2: x2+y2+x+y+xy = 1.

tg2α=∞

2 α=90º

α=45º

Acos2α + Bsin2 - E∙sinα∙cosα=1∙()2+1∙(∙-1∙∙ =

Asin2α + Bcos2α + E∙sinα∙cosα =

C∙cosα - D∙sinα = 0

C∙sinα + D∙cosα =

x’2+ y’2+ y’ = 1

+(y’2+2∙ y’+) -  = 1

 +  =

Центр полученного эллипса в родительской системе координат (0; - ), в дочерней системе (- ∙ + 0∙ ; - ∙ – 0∙ ) или (- ∙ ; - )

На рисунке 5 изображены оба эллипса, графически определенный центр совпадает с расчетным значением.

Решение задачи через частные производные.

Проверим полученный ответ через вычисление частных производных.

z=x2+y2+x+y+xy

=2x+y+1

=2y+x+1

Выводы.

В проведенной работе предложен способ, позволяющий определить два коэффициента функции аппроксимации, не прибегая к вычислению частных производных. Использование функции двух переменных и ее графика, формулы эллипса и преобразования графика типа «поворот» служат примером применения школьных знаний математики для решения задач высшей школы, являются дополнительной мотивацией изучения предмета и формируют функциональную грамотность учащихся. Решение задачи через частные производные должно заинтересовать учащихся в дальнейшем изучении математики.

Список использованной литературы.