Задания по теме "Геометрическая прогрессия"
методическая разработка по алгебре (9 класс)

ОГЭ математика    Задание №14

Геометрическая прогрессия

1. Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?

Решение. Поскольку каждый год прибыль увеличивалась на 300%, она увеличивалась в 4 раза по сравнению с предыдущим годом. Ищем четвертый член геометрической прогрессии: за 2003 год Бубликов заработал  руб.

Ответ: 320 000.

Примечание.

Прибыли можно было найти последовательно: за 2001 год — 20 тыс. руб., за 2002 год — 80 тыс. руб., за 2003 год — 320 тыс. руб.

Примечание.

В задаче речь идет о прибыли, то есть о сумме, заработанной за год, а не о капитале на конец года. Поэтому не следует отнимать о суммы, заработанной в текущем году, сумму, заработанную в предыдущем году.

2. Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10 000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Решение. Каждый год прибыль компании «Альфа» составляла 200% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 300% от капитала предыдущего года. В конце 2006 года на счёте компании «Альфа» была сумма

 долларов.

Каждый год прибыль компании «Бета» составила 400% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 500% от капитала предыдущего года. В конце 2006 года на счёте компании «Бета» была сумма

Таким образом, капитал компании «Бета» был на 35 000 долларов больше.

Ответ: 35 000.

3. Клиент взял в банке кредит в размере 50 000 р. на 5 лет под 20% годовых. Какую сумму он должен вернуть в банк в конце срока, если проценты начисляются ежегодно на текущую сумму долга и весь кредит с процентами возвращается в банк после срока?

Решение. Пусть S0 = 50 000 руб., r = 0,2. Тогда сумма S (в рублях), которую необходимо вернуть, составляет

 рублей.

Ответ: 124 416.

4. Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две бактерии, каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т. д. Сколько бактерий окажется в организме через 4 часа, если по истечении четвертого часа в организм из окружающей среды попала еще одна бактерия?

Решение. В четырех часах двенадцать 20-минутных интервалов, следовательно, произойдет 12 циклов деления бактерий. Количество бактерий составляет геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем 2, поэтому через 12 циклов деления количество бактерий составит

После того, как в организм попадет еще одна бактерия, их количество составит 4096 + 1 = 4097.

Ответ: 4097 бактерий.

5. Однажды богач заключил выгодную, как ему казалось, сделку с человеком, который в течение 15 дней ежедневно должен был приносить по 1000 р., а взамен в первый день богач должен был отдать 10 р., во второй — 20 р., в третий — 40 р., в четвертый — 80 р. и т. д. в течение 15 дней. Сколько денег получил богач и сколько он отдал? Кто выиграл от этой сделки? В ответ запишите, сколько рублей потерял богач за 15 дней.

Решение. Суммы денег, отдаваемых богачом каждый день, составляют геометрическую прогрессию, где b1 = 10, q = 2. Тогда богач отдал  р.

В то же время, богач получил 1000 · 15 = 15 000 р. Получим, что богач потерял 327 670 − 15 000 = 312 670 р.

Ответ: 312 670 р.

6. На биржевых торгах в понедельник вечером цена акции банка «Городской» повысилась на некоторое количество процентов, а во вторник произошло снижение стоимости акции на то же число процентов. В результате во вторник вечером цена акции составила 99% от ее первоначальной цены в понедельник утром. На сколько процентов менялась котировка акции в понедельник и во вторник?

Решение. Обозначим за q процент изменения цены. Повышение цены акции в понедельник составит b2 = b1(1 + q). Понижение цены акции во вторник составит b3 = b2(1 − q), кроме того из условия известно, что после понижения цены стоимость акции составила b3 = 0,99 · b1. Составим уравнение и найдем процент котировки цены.

Таким образом, котировка изменилась на 10%.

Ответ: 10%.

7. Алик, Миша и Вася покупали блокноты и трехкопеечные карандаши. Алик купил 2 блокнота и 4 карандаша, Миша — блокнот и 6 карандашей, Вася — блокнот и 3 карандаша. Оказалось, что суммы, которые уплатили Алик, Миша и Вася, образуют геометрическую прогрессию. Сколько стоит блокнот?

Решение. Обозначим цену блокнота за x. Алик заплатил 2x + 12, Миша — x + 18, Вася — x + 9. Тогда:

Ответ: 18 копеек.

Приведем замечание Веры Адаменко.

Рассмотренный в решении случай справедлив при x > 6, тогда x + 9 является первым членом прогрессии, x + 18 — вторым и 2x + 12 — третьим. Если же x < 6, то x + 9 является первым членом прогрессии, 2x + 12 — вторым и x + 18 — третьим. В этом случае уравнение

не имеет целых корней.

8. Три конькобежца, скорости которых в некотором порядке образуют геометрическую прогрессию, одновременно стартуют (из одного места) по кругу. Через некоторое время второй конькобежец обгоняет первого, пробежав на 400 метров больше его. Третий конькобежец пробегает то расстояние, который пробежал первый к моменту обгона его вторым, за время на  мин больше, чем первый. Найдите скорость первого конькобежца в м/мин.

Решение. Из условия видно, что скорость 2-го конькобежца наибольшая, а 3-го — наименьшая. Обозначим за b скорость третьего конькобежца.

Где q > 1, b > 0, t — время, за которое второй обгоняет первого.

Составим систему уравнений:

Разделим (1) на (2):  м/мин — скорость первого конькобежца.

Ответ: 600 м/мин.

9. Ваня, Миша, Алик и Вадим ловили рыбу. Оказалось, что количества рыб, пойманных каждым из них, образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Если бы Алик поймал столько же рыб, сколько Вадим, а Вадим поймал бы на 12 рыб больше, то количества рыб, пойманных юношами, образовали бы в том же порядке геометрическую прогрессию. Сколько рыб поймал Миша?

Решение. Пусть Ваня поймал b1 рыб.

Арифметическая прогрессия: b1, b1 + q, b1 + 2q, b1 + 3q.

Геометрическая прогрессия: b1, b1 + q, b1 + 3q, b1 + 3q + 12.

1. 

2. 

Тогда Миша поймал 3 + 3 = 6 рыб.

Ответ: 6 рыб.

10. Каждый день больной заражает четырёх человек, каждый из которых, начиная со следующего дня, каждый день также заражает новых четырех и так далее. Болезнь длится 14 дней. В первый день месяца в город N приехал заболевший гражданин К, и в это же день он заразил четырех человек. В какой день станет 3125 заболевших? (В ответе укажите только число.)

Решение. В первый день больной заразил четырех человек, значит, заболевших стало 5. Во второй день каждый из них заразит еще четырех человек, значит, заболевших станет 5 + 20 = 25, в третий — 125 и так далее. Общее количество заболевших является членом геометрической прогрессии b1 с первым членом 5 и знаменателем 5. Из формулы n-ого члена геометрической прогрессии  получаем:

Поскольку за 5 дней еще никто из заболевших не успеет выздороветь, количество заболевших не уменьшится.

Ответ: 5.

11. В полночь в организме начало накапливаться ядовитое вещество, причем каждые три часа количество попадающего в организм вещества увеличивается вдвое. Сколько граммов вещества накопится в организме за сутки (начиная с нуля часов), если в период с 6 до 9 часов утра в организм попало 0,0008 г вещества?

Решение. Третий член геометрической прогрессии равен 0,0008, знаменатель равен 2. Поэтому первый член прогрессии равен 0,0002, а сумма первых 8 членов равна

Ответ: 0,051

12. Служившему воину дано вознаграждение: за первую рану 1 копейка, за другую — 2 копейки, за третью — 4 копейки и т. д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 руб. 35 коп. Спрашивается число его ран.

Решение. Количество ран составляет геометрическую прогрессию с первым членом  вторым членом  а значит, знаменатель геометрической прогрессии  Найдем сумму членов геометрической прогрессии:

По условию, эта сумма равна 65 535. Чтобы узнать количество ран, необходимо найти количество членов прогрессии n:

Ответ: 16.

Примечание.

Это задание взято из учебника математики 1795 года «Полный курс чистой математики, сочиненный Артиллерии Штык-Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу и употребление юношества и упражняющихся в Математике» (цит. по Я. И. Перельман «Занимательная алгебра»).

13. Давление воздуха под колоколом равно 625 мм ртутного столба. Каждую минуту насос откачивает из-под колокола 20% находящегося там воздуха. Определите давление (в мм рт. ст.) через 5 минут после начала работы насоса.

Решение. Через минуту давление воздуха (в мм рт. ст.) под колоколом станет  через две минуты —  ..., через 5 минут давление станет  или

 мм рт. ст.

Ответ: 204,8.

14. Мощности пяти различных электромоторов составляют возрастающую геометрическую прогрессию. Мощность самого слабого электромотора — 5 кВт, а третьего по мощности — 20 кВт. Найдите мощность самого мощного электромотора, ответ дайте в кВт.

Решение. Исходя из условия задачи, первый член геометрической прогрессии , третий член . Выразим его через b1 и q (q > 0):

Самая большая мощность у пятого электромотора, найдем её по формуле для пятого члена геометрической прогрессии:

 кВт.

Ответ: 80.

15. Два приятеля положили в банк по 10000 рублей каждый, причем первый положил деньги на вклад с ежеквартальным начислением 10%, а второй — с ежегодным начислением 45%. Через год приятели получили деньги вместе с причитающимися им процентами. Кто получил большую прибыль? В ответе напишите «первый» или «второй».

Решение. Обозначим сумму, которую вложил каждый из приятелей за S0. Через год у первого на счету будет S0 · 1,14 рублей или S0 · 1,4641 рублей, а у второго — S0 · 1,45 рублей. Таким образом, получаем, что большую прибыль получит первый приятель.

Ответ: первый.

16. В первый день больной заражает четырёх человек, каждый из которых на следующий день заражает новых четырех и так далее. На второй день больной изолируется и больше уже никого не заражает. Болезнь длится 14 дней. В первый день месяца в город N приехал заболевший гражданин К, и в этот же день он заразил четырех человек. В какой день станет 1365 заболевших? (В ответе укажите только число.)

Решение. Исходно был один больной. В первый день он заразил четырех человек, значит, заболевших стало 1 + 4 = 5, из них 4 человека вновь заразившихся. Во второй день каждый из вновь заразившихся заразит еще четырех человек, значит, заболевших станет 5 + 4 · 4 = 21, из них 16 человек вновь заразившихся, в третий — 21 + 16 · 4 = 85 и так далее. Общее количество заболевших является суммой n первых членов геометрической прогрессии с первым членом b1 = 1 и знаменателем q = 4. Из формулы суммы  получаем:

Поскольку за это время еще никто из заболевших не успеет выздороветь, количество заболевших не уменьшится.

При этом количество заболевших, равное 1, соответствует «нулевому» дню (в первый день заболевших будет уже 5), следовательно, из полученного результата надо вычесть единицу.

Ответ: 5.

А – 9    Тест по теме «Геометрическая прогрессия»

Автор _______________________________________

Вариант 1

А – 9    Тест по теме «Геометрическая прогрессия»

Автор _______________________________________

Вариант 2