Урок в 10 классе: Решение тригонометрических уравнений
план-конспект урока по алгебре (10 класс)

                           Решение тригонометрических уравнений.

Цель: отработать навыки решения простейших тригонометрических уравнений; выработать  у учащихся навыки решения более сложных тригонометрических  уравнений, выделив общую идею  решения: приведение уравнений к виду,   содержащему  лишь одну тригонометрическую функцию одного аргумента с последующей заменой переменной,  или разложения на множители.

Ход урока.

1. Организационный  момент.
2. Повторение. Актуализация опорных знаний.

  Повторить общие формулы решения  простейших тригонометрических уравнений :  tg х = а, где а – действительное число.

  Вспомнить условие, при котором  уравнения  не имеют  решения.

 Повторить формулы для частных случаев , когда а = 1, -1, 0.

     Повторить формулы для решения квадратного уравнения.

3. Устный счёт (слайд № 3, 4)

       Вычислить.

tg х =    tg х =  tg х = 5

sin x = 1   sin x = -1 sin x = 0

cos x = 1  cos x = -1 cos x = 0

tg x = 1     tg x = -1  tg x = 0

4. Изучение нового материала.

Учитель: Если в уравнение входят разные тригонометрические функции, то их, если возможно, надо выразить через одну. При этом нужно выбрать эту функцию так, чтобы получилось квадратное уравнение относительно её. Введя новую переменную и решив квадратное уравнение, перейти к решению одного из простейших тригонометрических уравнений.

А) (слайд №  5)

Уравнения, приводимые к квадратным: 2

Это квадратное уравнение относительно . Введем переменную у=. Тогда уравнение примет вид:

2 Здесь: , .

1. , х=+, nZ.

                        Ответ: х=+, nZ.

Б) (слайд №  6)

Уравнения, приводимые к квадратным: 6

Заменяя , получим:

6

6+5.

Пусть у=, тогда 6, , .

1. ,
2. =-, корней нет, т.к.

                        Ответ: х

В) (слайд №  7)

Уравнения, приводимые к квадратным: tgx+3ctgx = 4

Заменяя ctgx=, получим tgx+

, ОДЗ: x.

Квадратное уравнение относительно  tgx, пусть tgx=у, тогда , ,

1. tgx=3,
2. tgx=1,

Г) (слайд №  8)

Вынесение общего множителя:  -

Заменяя sin2x=2sinxcosx, получим - 2sinxcosx=0. Разложим левую часть на множители: sinx(sinx- 2cosx)=0.

1. sinx=0, x=
2. sinx - 2cosx = 0 – однородное уравнение 1 степени. Делим обе части на cosx0 (иначе и sinx =0, что невозможно, т. к. ),получим tgx=2,x=arctg2+

        Ответ: x=; x=arctg2+

Д) (слайд №  9)

Однородные уравнения II степени: 22

Представим 7=71=7(, получим однородное квадратное уравнение II степени. Разделим обе части на ,  (иначе и , что невозможно, т.к. (=1), получим  7tgx- 15=0. Пусть tgx=у , 7,

Е) (слайд №  10-11)

Однородные уравнения II степени: -5+6(=0

В них каждое слагаемое II степени. Решаются делением обеих частей на  (или ).

Разделим обе части на (, (иначе , что невозможно, т.к. ), получим ,

tgx = y,

1. tgx=2, x=arctg2+
2. tgx=3, x=arctg3+

Ответ: x=arctg2+; x=arctg3+.

5. Работа с учебником  (слайд №  12)   № № 18.6 – 18.12 (а)

6. Домашнее задание по вариантам. (Слайд №13)
7. Итог урока

1. С какими типами уравнений мы сегодня познакомились?
2. Какими известными вам способами их можно решить?