Применение производной при решении задач с практическим содержанием, 11 класс
план-конспект урока по алгебре (11 класс)

Производная в биологии

Задача № 1 

В питательную среду вносят популяцию из 1000 бактерий. Численность популяции возрастает по закону P(t)=1000 + , где t – время в часах. Найдите максимальный размер этой популяции.

Решение.

D(P)=R

P’(t)== =

P’(t)=0

100-t2=0

t=

P(10)=1000+=1005

Ответ: через 10 часов популяция достигнет максимального размера 1005 бактерий.

Производная в физике

Задача № 2

Известно, что тело массой m = 5кг движется прямолинейно по закону

 . Найдите кинетическую энергию тела через 2с после начала движения.

Решение: E(t)=  , ,      

    Если    то Е(2)                                                                                                                                                                                      Ответ: 40 Дж

Производная в медицине

Задача № 3

Реакция организма на введенное лекарство может выражаться в повышении кровяного давления, уменьшения температуры тела, изменении пульса или других физиологических показателей. степень реакции зависит от назначенного лекарства, его дозы. Предположим, что Х обозначает дозу назначенного лекарства, У - функция степени реакции описывается функцией  у=R(x)=x2(a-x), где а - некоторая положительная постоянная. При каком значении Х реакция максимальна?                                                                                       

Решение: 0R(x)=x2(a-x)=ax2 –x3

D(x)=R

R’(x)=2ax-3x2

2ax-3x2=0; x=0; x=.

Точки перегиба важны в биохимии, так как они определяют условия, при которых некоторая величина, например скорость процесса, наиболее ( или наименее) чувствительна к каким-либо  воздействиям.

Ответ: при х= максимальную реакция организма на введенное лекарство максимальна.

Производная в экономике

Задача № 4

Цементный завод производит х т цемента в день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т цемента. Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может превышать 90 т в день. Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид:  К=-х3+98х2+200х.

Решение:

Удельные затраты составят К/х=-х2+98х+200.

Наша задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции Y= -х2+98х+200.

Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки максимальны, это экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день минимально, следовательно, можно посоветовать работать заводу на предельной мощности и находить возможности усовершенствовать технологию, так как дальше будет действовать закон убывающей доходности. И без реконструкции нельзя будет увеличить выпуск продукции.