ПРОЕКТ НА ТЕМУ: «АЛИКВОТНЫЕ ДРОБИ»
проект по алгебре (9 класс)

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

г. Астрахань «Средняя образовательная школа №40»

ПРОЕКТ НА ТЕМУ:

«АЛИКВОТНЫЕ ДРОБИ»

Работу выполнила:

Паршкова Ульяна

МБОУ г. Астрахань

«СОШ №40», 9«Г» класс

Руководитель : Чеботарева Н.А.

г. Астрахань

2022 г.

Оглавление

Введение        3

История возникновения аликвотных дробей        4

Исследования египетских дробей………………………………………………….

Задачи с использованием аликвотных дробей        8

Заключение        12

Литература        13

Введение

 «Несмотря на то что греки приписывали египтянам мудрость философов, ни один народ не испытывал такого отвращения к отвлеченным размышлениям и не был так чистосердечно предан материальным интересам, как египтяне».

Из всех наук это утверждение больше всего подходит к математике египтян.

Египтяне были самыми практичными из всех народов древности. Они даже не использовали абстрактных вычислений – всегда после числа в египетском папирусе шло наименование. Они не могли сказать – три плюс два будет пять. Они обязательно говорили – три верблюда плюс два верблюда будет пять верблюдов.

Многочисленные историко-математические исследования показывают, что дробные числа появились у разных народов в древние времена вскоре после натуральных чисел. Появление дробей связывается с практическими потребностями: задачи, где нужно производить деление на части, были очень распространены. Кроме того, в жизни человеку приходилось не только считать предметы, но и измерять величины.

Таким образом, во всех цивилизациях понятие дроби возникло из процесса дробления целого на равные части. Объектом нашего исследования служат египетские или как принято называть их в математике, аликвотные дроби.

Цель исследования:

Выяснить, какое значение имеют аликвотные дроби в нашей жизни и изучить практическую значимость применения египетских дробей в современной математике,

Задачи исследования:

узнать происхождение аликвотных дробей;

рассмотреть основные операции с аликвотными дробями;

решать задачи с помощью аликвотных дробей.

Инструменты исследования:

справочная литература;

ресурсы Интернет.

Гипотеза

Аликвотные дроби часто используются при решении задач и в окружающем нас мире.

История возникновения аликвотных дробей

Как известно, дроби появились еще в глубокой древности. Человек встретился с необходимостью ввести дроби при разделе добычи, измерении величин и нахождении их. Так, например, в Древнем Египте архитектура достигла высокого развития. Для того, чтобы строить грандиозные пирамиды и храмы, чтобы вычислять длины, площади и объемы фигур, необходимо было знать арифметику. Введение египтянами цифровых обозначений ознаменовало один из важных этапов в развитии систем счисления, так как дало возможность существенно сократить записи.

Первые дроби, с которыми нас познакомила история, так называемые единичные или аликвотные (отлат. aliquot –«несколько»). Аликвотные дроби встречаются в математических записях, написанных около 5000 лет тому назад, – древнеегипетских папирусах (Математический папирус Ринда считался одним из первых известных упоминаниях о египетских дробях) и клинописных вавилонских табличках.

Аликвотные дроби (известные также как египетские) - в математике сумма нескольких различных дробей вида 1/n. Также будет верно сказать, что в каждой такой дроби имеется числитель, который равен единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число. Примеры представляют собой последовательное выполнение математических операций с долями чисел. Например: 1/2 + 1/7 + 1/12 … 1/n.

Так как египетская дробь - это положительное рациональное число вида a/b, то она может быть записана в виде 43/48. Важно, что каждое положительное рациональное число может быть представлено в виде аликвотной дроби (бесконечным числом способов). Аликвотные дроби                (с числителем 1) долгое время были единственными дробями, с которыми как-то умел оперировать человек. С Древних времен эта тема считалась одной из самых сложных поэтому, когда человек попадал в трудное положение, говорили «Попал в дроби». Подробным изучением аликвотных дробей занялся Фибоначчи - первый крупный математик средневековой Европы в XIII веке. Он описал общий метод разложения произвольной дроби на египетские составляющие, используя сложную запись дробей, состоящую из чисел со смешанным основанием.

Интересно, что один из священных символов египтян – так называемое «око Хора» – также имеет математический смысл. Один из вариантов мифа о схватке между божеством ярости и разрушения Сетом и его племянником солнечным богом Хором гласит, что Сет выбил Хору левый глаз и разорвал или растоптал его. Боги восстановили глаз, но не полностью. Око Хора олицетворяло разные аспекты божественного порядка в мироустройстве, такие как идея плодородия или власть фараона. Изображение ока, почитавшегося как амулет, содержит элементы, обозначающие особый ряд чисел. Это дроби, каждая из которых вдвое меньше предыдущей: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 и 1/64. Символ божественного глаза, таким образом, представляет их сумму – 63/64. Некоторые историки-математики полагают, что в этом символе отражено понятие египтян о геометрической прогрессии. Составные части изображения ока Хора использовались в практических расчетах, например при измерении объема сыпучих веществ, таких как зерно.

Египетские дроби получили распространение и в других странах. О них упоминается в литературе Древней Греции. Решение с помощью аликвотных дробей нашло наибольшее применение в Индии. Сегодня известны рукописи, датированные примерно IV веком до нашей эры, в которых говорится не только о дробях с числителями равными единице, но с числителями с произвольными значениями. А впоследствии математиками всего мира, применяли в решении задач аликвотные дроби. Хотя к египетским дробям предъявляли ряд замечаний. К примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой исчисления.

Аликвотные величины в настоящее время используются не только в математике. В музыке есть понятие аликвотных струн. Аликвотные или резонансные струны – это дополнительные струны, не используемые непосредственно исполнителем, а самовозбуждающиеся от колебания игровых струн. Аликвотные струны служат для обогащения тембра и усиления звучания.

В физике, химии и фармацевтике используется понятие аликвотная доля или аликвота - это точно известная часть раствора.

Исследования египетских дробей

Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci».

Основная тема «Liber Abaci» - вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.

Алгоритм Фибоначчи

Первый дошедший до нас общий метод разложения произвольной дроби на египетские составляющие описал Фибоначчи в XIII веке. В современной записи его алгоритм можно изложить следующим образом.

1. Дробь разлагается на 2 слагаемых:

Здесь - частное от деления n на m, округлённое до целого в большую сторону, а - (положительный) остаток от деления -n на m.

2. Первое слагаемое в правой части уже имеет вид египетской дроби. Из формулы видно, что числитель второго слагаемого строго меньше, чем у исходной дроби. Аналогично, по той же формуле, разложим второе слагаемое и продолжим этот процесс, пока не получим слагаемое с числителем 1.

Метод Фибоначчи всегда сходится после конечного числа шагов и даёт искомое разложение.

Пример:

Однако полученное таким методом разложение может оказаться не самым коротким. Пример его неудачного применения:

в то время как более совершенные алгоритмы приводят к разложению:

Современная теория чисел

В современной математике вместо египетских дробей используются простые и десятичные дроби, однако современные математики продолжают исследовать ряд задач, связанных с египетскими дробями.

В конце прошлого века были даны оценки максимального знаменателя и длины разложения произвольной дроби в египетские.

Гипотеза Эрдёша"-Грэхема утверждает, что для всякой раскраски целых чисел больших 1 в r > 0 цветов существует конечное одноцветное подмножество S целых такое, что

Эта гипотеза доказана Эрнестом Крутом в 2003 году.

И по сей день Египетские дроби ставят ряд трудных нерешенных математических проблем.

Гипотеза Эрдёша-Страуса утверждает, что для всякого целого числа n ? 2, существуют положительные целые x, y и z такие, что

Компьютерные эксперименты показывают, что гипотеза верна для всех n ? 1014, но доказательство пока не найдено. Обобщение этой гипотезы утверждает, что для всякого положительного k существует N такое, что для всех n ? N существует разложение

Эта гипотеза принадлежит Анджею Шинцелю.

Задачи с использованием аликвотных дробей

В Египетских папирусах описаны арифметические действия с единичными дробями. Аликвотные дроби можно складывать, вычитать, умножать и делить.

Например: ,, , .

Рассмотрим древние и современные задачи, в решении которых используются аликвотные дроби.

Египетский жрец и писарь Ахмес считается первым математиком. Решим задачу Ахмеса: «Разделить 7 хлебов между 8 людьми».  

Решение: Если разрезать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов (7 хлебов по 7 надрезов в каждом хлебе). А по-египетски эта задача решалась так:  . Значит, каждому человеку нужно дать половину хлеба, четверть хлеба и восьмую часть хлеба. Придется сделать почти в три раза меньше разрезов.

Задача из сказки “1001ночь”:

В знаменитой книге «1001 ночь» мудрец задаёт юной деве следующую задачу:

Одна женщина отправилась в сад собирать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нужно было пройти через четыре двери, у каждой из которых стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину сорванных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину от того, сколько осталось. Так же она поступила и с третьим стражником, а когда она поделилась яблоками с четвёртым стражником, у неё осталось 10 яблок. Сколько яблок она собрала в саду?

Решение:

Х= Ѕ+1/4+1/8+1/16+1/16,

1/16= 10 яблокам,

тогда Х= 80+40+20+10+10= 160

Старинная персидская задача:

Персидский крестьянин завещал трем своим сыновьям 17 верблюдов, причем первый должен был получить 1/2 часть всех верблюдов, второй – 1/3 часть, а третий – 1/9. Братья думали долго, но разделить наследство по завещанию отца так и не смогли. Мимо на верблюде проезжал Ходжа Насреддин. Он предложил присоединить к верблюдам еще и своего, и решить, таким образом, возникшую проблему. И действительно, братья смогли разделить верблюдов так, как наказал отец, причем Ходжа Насреддин получил своего верблюда обратно. Сколько верблюдов досталось каждому сыну?

Решение:

1. 17 + 1 = 18 верблюдов всего;

2. 18 * 1/2 = 9 верблюдов получил первый сын;

3. 18 * 1/3 = 6 верблюдов получил второй сын;

4. 18 * 1/9 = 2 верблюдов получил третий сын;

5. 18 – (9 + 6 + 2) = 1 верблюда вернули Ходже Насреддину.

Ответ: 9, 6, 2 верблюда

Задача из учебника математики:

«Три друга купили 2 дыни. Как, не разрезая каждую дыню на 3 доли, мальчики разделят их поровну?»

Решение: По условию задачи две дыни нужно разделить на три равные части.

.

Каждый мальчик взял по половинке дыни, а когда оставшуюся половину дыни разделили на три равные части, то каждый мальчик получил еще по дыни.

Ответ: половинка дыни и дыни.

Подобных задач можно придумать очень много.

Простейшими задачами считаются задачи разложения дроби на сумму аликвотных дробей. Эти задачи можно разделить на две категории:

1. в знаменателе простое число;

2. в знаменателе составное число.

Рассмотрим решение задач первого типа:

Для того, чтобы выполнить это задание, нужно умножить числитель и знаменатель дроби на такое число, чтобы числитель получившейся дроби можно было разложить на слагаемые, каждый из которых будет делителем знаменателя (так как при сокращении в числители получится 1). После решения многих таких задач мы сделали вывод, что таким «удобным» числом является число 6.

Задачи второго типа также можно разделить на три вида:

1) числитель сразу можно представить в виде суммы делителей знаменателя;

2) в числителе число наименьшего делителя знаменателя;

3) числитель можно разложить на сумму чисел, среди которых есть как делители знаменателя, так и числа не являющиеся таковыми:

.

Для того чтобы разложить дробь на сумму аликвотных дробей, воспользуемся алгоритмом пункта 1.

Тогда конечный результат будет таким: .

В современном мире задачи с аликвотными дробями можно встретить и в различной дополнительной литературе по предмету, в олимпиадных заданиях.

Рассмотрим задачи  из журнала «Квант»:

Задача 1.Представить число 1 в виде сумм различных аликвотных дробей

А) в виде суммы трёх слагаемых:

Б) в виде суммы четырёх слагаемых:

В) в виде суммы пяти слагаемых:

Г) в виде суммы шести слагаемых:

) +

Задача 2: Представьте дробь  в виде аликвотных дробей.

Существует 2 способа представления дроби  в виде суммы и один - в виде разности аликвотных дробей.

Задача 3: Верно ли равенство?

?

Равенство верно.

Задача 4:Найдите сумму: .

Решение: Для решения воспользуемся уже известным нам способом

и т. д.

т. е. получим .

Задача 5: Найти сумму: 

Решение: Для решения воспользуемся решением предыдущей задачи.

, и т. д.

Рассуждая аналогично решению предыдущей задачи, получаем ответ 

Заключение

Таким образом, при исследовании данной темы, я пришла к выводу, что эта тема малоизвестна широкому кругу школьников.

Также выяснила, что первыми дробями были аликвотные дроби.

Узнала, что аликвотные дроби (с числителем 1) долгое время были единственными дробями. 

Научилась решать задачи с использованием аликвотных дробей.  

Решение этих задач занимательное и нестандартное, развивает мышление и логику. 

Выдвинутая гипотеза оказалась верна: Аликвотные дроби часто бывают более удобными при решении задач и применяются в окружающем нас мире в разных областях, а не только в математике.

Литература

• Депман И. Я. Мир чисел. М.: Детская литература,1982
• Кординский Б. А.,Ахадов Л. А.Удивительный мир чисел: книга для учащихся. М.Просвещение,1986
• Энциклопедический словарь юного математика для среднего и старшего школьного возраста. – М.: Педагогика,1989.
• Яновская, С. А. /К теории египетских дробей. Труды Института истории естествознания/ С. А. Яновская – М.,1947.

Интернет ресурсы:

• http://ru.wikipedia.org/wiki Симметрия - http://slovari.yandex.ru
• https://intolimp.org/publication/alikvotnyie-drobi.html
• https://www.metod-kopilka.ru/issledovatelskaya_rabota_na_temu_alikvotnye_drobiquot-50147.htm
• https://ru.wikipedia.org/wiki/Египетские_дроби