Бесконечные периодические десятичные дроби
план-конспект урока по алгебре (6 класс)

Тема.  Бесконечные периодические десятичные дроби.

Цель.         Дать определение периодической десятичной дроби. Научиться представлять обыкновенную дробь в виде периодической дроби.

Ход урока.

1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания. (Собрать тетради)
3. Актуализация опорных знаний.

1. Сформулировать признак делимости на 2, 5, 3, 4, 9, 10, 25.

2. Конечную десятичную дробь записали в виде обыкновенной дроби. Может ли знаменатель этой дроби иметь простые делители, отличные от 2 и 5?

3. Какие делители должен иметь знаменатель обыкновенной несократимой дроби, чтобы она разлагалась в конечную десятичную дробь? Приведите примеры.

4. Какими способами можно разложить  обыкновенную дробь в десятичную? Приведите примеры.

4. Объяснение нового материала.

        Итак, мы знаем, что если знаменатель несократимой дроби  имеет простой делитель, отличный от 2 и 5, то эта дробь не разлагается в конечную десятичную дробь. Поэтому при делении числителя этой дроби на знаменатель уголком не может получится конечная десятичная дробь.

Определение. Бесконечные десятичные дроби, в которых одна или несколько цифр неизменно повторяются в одной и той же последовательности, называются периодическими десятичными дробями. Совокупность повторяющихся цифр называется периодом этой дроби.

Пример 1.

1) Разложите в десятичную дробь число: .

1. Сократима ли дробь?

2. Смотрим на знаменатель несократимой дроби, он имеет простой делитель 3, отличный от 2 и 5, то эта дробь заведомо не разлагается в конечную десятичную дробь.

3. Разделим числитель на знаменатель уголком.

4. На каждом этапе вычисления получается один и тот же остаток 2. Процесс этот бесконечен. Он приводит к выражению 0,666..., где точки означают, что цифра 6 повторяется бесконечно много раз.

.

Читают: «нуль целых и шесть в периоде». Цифру 6 называют периодом дроби .

Говорят, что число  представлено в виде периодической дроби .

2) Разложите в десятичную дробь число .

1. Сократима ли дробь?

2. Смотрим на знаменатель несократимой дроби, он имеет простой делитель 3 и 11, отличный от 2 и 5, то эта дробь заведомо не разлагается в конечную десятичную дробь.

3. Разделим числитель на знаменатель уголком.

4. На каждом этапе вычисления получается один и тот же остаток 20. Процесс этот бесконечен. Он приводит к выражению 0,0202..., где точки означают, что цифры 0 2 повторяются бесконечно много раз.

.

Читают: «нуль целых и нуль два в периоде». Цифры 0 2 называют периодом дроби .

Говорят, что число  представлено в виде периодической дроби .

3) Разложите в десятичную дробь число .

1. Сократима ли дробь?

2. Смотрим на знаменатель несократимой дроби, он имеет простой делитель 3, отличный от 2 и 5, то эта дробь заведомо не разлагается в конечную десятичную дробь.

3. Разделим числитель на знаменатель уголком.

4. На каждом этапе вычисления получается один и тот же остаток 35. Процесс этот бесконечен. Он приводит к выражению 3,177..., где точки означают, что цифра 7 повторяется бесконечно много раз.

.

Читают: «три целых, одна десятая, и семь в периоде». Цифра 7 называет периодом дроби .

Говорят, что число  представлено в виде периодической дроби .

        Вообще, если числитель положительной несократимой дроби разделить на её знаменатель уголком, то в частном получится, либо конечное, либо бесконечное периодическое её десятичное разложение.

        Поставим перед положительной дробью знак « – » , получим отрицательную периодическую дробь.

Пример 2. Разложите в десятичную дробь число:

1) ;

2) ;

3) .

Приписывая к целому числу (после запятой) или к конечной десятичной дроби бесконечно много нулей, мы превращаем её в равную ей бесконеч-ную периодическую десятичную дробь с периодом 0.

Пример 2. Разложите в десятичную дробь число:

1) ;

2) ;

3) .

Следовательно, любое целое число и любую конечную десятичную дробь можно считать периодической дробью с периодом 0.

Итак, любое рациональное число  разлагается в периодическую дробь.

5. Решение упражнений.

Уч.с.194 № 973(1ст.). Запишите число в виде периодической дроби, назовите ее период:

а) ;

е) ;

л) .

Уч.с.194 № 974(а). Разложите обыкновенную дробь в периодическую делением числителя на знаменатель уголком:

а) .

Уч.с.194 № 975(а). Разложите обыкновенную дробь в периодическую:

а) .

Уч.с.194 № 976(а). Разложите обыкновенную дробь в десятичную и назовите ее период:

а) .

Уч.с.194 № 977(а). Разложите обыкновенную дробь в периодическую:

а) .

6. Подведение итогов урока.
7. Домашнее задание. § 5.2 (выучить теорию). № 973(б)–977(б), 893(в).