Решение тригонометрических неравенств методом интервалов с помощью единичной окружности.
учебно-методический материал по алгебре (10, 11 класс)

Решение тригонометрических неравенств методом интервалов с помощью единичной окружности.

Калимбетова Т.И.

БОУ г. Омска «Лицей № 166»

Одной из наиболее трудных задач тригонометрии является решение неравенств. Для того, что бы развить интерес школьников пытаюсь познакомить их с новыми способами решения. На занятиях спецкурса в старших классах предлагаю особый методический подход к заключительному этапу решения тригонометрического неравенства – это видоизмененный, хорошо известный методов интервалов.

Особенностью применения этого метода для тригонометрических неравенств является замена числовой прямой на числовую окружность. Решить тригонометрическое неравенство это значит найти множество значений неизвестных, входящих в неравенство, при которых неравенство выполняется. Мы знаем, что тригонометрические функции sinx и cosx имеют наименьший положительный период 2π, а tgx  и ctgx имеют наименьший положительный период π. При решении неравенств следует использовать периодичность этих функций, их монотонность на соответствующих промежутках.

Решение тригонометрического неравенства удобно разъяснять учащимся с помощью специального алгоритма:

1. Привести неравенство к виду, чтобы в его правой части стоял нуль.
2. Определить нули и точки разрыва функции стоящей в левой части неравенства.
3. Расставить на единичной окружности точки, являющиеся представителями всех найденных чисел.
4. Выбрать производное число ϕ (значение аргумента функции, стоящей в левой части неравенства), не совпадающее ни с одним из ранее полученных чисел.
5. Провести луч ОХ’ под углом ϕ к координатному лучу Ох.
6. На луче ОХ’ получить контрольную точку Хк. Для этого подставить число ϕ в левую часть неравенства и определить знак получившегося выражения.

Если выражение больше нуля, то Хк – это произвольная точка луча ОХ’, лежащая вне единичной окружности.

Если выражение меньше нуля, то Хк – это произвольная точка луча ОХ’ внутри единичной окружности.  

7. Начиная с точки Хк провести плавную линию так, чтобы та пересекала единичную окружность во всех отмеченных точках последовательно в порядке обхода единичной окружности против часовой стрелки. Пройдя все точки, линия должна вернуться в точку Хк.
8. Выбрать нужные участки конфигурации, которую образовала проведенная линия. Для этого:

Если выражение, стоящее в левой части неравенства (см. п.1) больше нуля, то выбрать участки фигуры, лежащие вне единичной окружности.

В противном случае – выбрать те участки фигуры, которые  расположены внутри единичной окружности.

9. Отметить стрелками в положительном направлении те дуги единичной окружности, которые принадлежат выбранным участкам.

Эти дуги соответствуют множеству решений неравенства.

Пример 1. Решить неравенство: 5sinx > 20sin3x

Решение:

1) Приведем первую часть неравенства к виду:

-20sin3x + 5sinx > 0

2) Рассмотрим уравнение:

-20sin3x + 5sinx = 0

-5 sinx(4sin2x-1)=0

sinx (2sinx - 1)(2sinx + 1) = 0

3) Заполним единичную окружность соответствующими точками

Х = πk

При k = 0, х = 0

При k = 1, х = π

Х = (-1)k + πk

При k = 0, x =

При k = 1, х =

Х = (-1)k+1× +πk

При k = 0, х = -

При k = 1, х =

При других значениях k точки будут повторяться.

4) Выберем контрольную точку Хк.

Пусть ϕ = , тогда

5) -20sin3 + 5sin = -20 . 1 + 5 . 1 = -15 < 0

Значит, в данном случае луч ОХ’ совпадает с координатным лучом OY (угол между ними равен 0).

6) Выберем на луче OY произвольную точку Хk, находящуюся внутри окружности.

7) Соединяем точку Xk со всеми отмеченными точками на единичной окружности так, как показано на рисунке.

8) Решению исходного неравенства соответствуют дуги единичной окружности в тех областях, которые отмечены знаком «+». При записи окончательного ответа следует иметь в виду, что в одной из областей (на рисунке показана пунктирной линией) нарушается переход от меньших значений X к большему.

В этом случае следует к отмеченному значению  прибавить 2π или от большего значения  отнять 2π.

Ответ: х∈(-+2πk, -+ 2πk)∪(2πk; +2πk) ∪(+2πk, π + 2πk), k ∈ Z

Заметим, что если волнообразную линию после обхода её всех отмеченных на единичной окружности точек не удаётся вернуться в точку Xk , не пересекая окружность в «незаконном» месте, то это означает, что в решении допущена ошибка, а именно пропущено нечётное количество корней.

В приведенном примере серии не дают на единичной окружности не совпадающие точки. Если же некоторые точки разных серий совпадают, то будем называть их кратными. Точки, которые повторяются в чётном числе серий, будем называть точками четной кратности, а те, что повторяются в нечётном числе серий, - точками нечётной кратности. Волнообразная линия, идущая от точки Хk , после встречи с точкой нечётной кратности обязана перейти в иную область, то есть если она находилась вне единичной окружности, то теперь будет внутри неё, и наоборот. Но точка чётной кратности не даёт нашей линии возможности перейти в иную область.

Рассмотрим это на примере:

Пример № 2. Решить неравенство

Рассмотрим совокупность уравнений:

Заполним единичную окружность соответствующими точками и укажем в скобках рядом с каждой из них её кратность.

Х1 = πn        Х2 =

При n = 0, х = 0        при n = 0, х = 0

При n = 1, x = π        при n = 1, x =

        при n = 2, x =

        при n = 3, x = π

        при n = 4, х =

        при n = 5, х =

X3 = +πn        X4 =

при n = 0, х =         при n = 0, х = 0

при n = 1, х =         при n = 1, х =

        при n = 2, x = π

        при n = 3, х =

Пусть число ϕ = . Делаем прикидку по знаку

Точку Хk следует выбрать на луче, образующем угол  с лучом ОХ, вне единичной окружности.

От точки Хk ведем волнообразную непрерывную линию последовательно по всем отмеченным точкам. Причём в точках , , π, , , 0 наша линия переходит из одной области в другую.

Подойдя к точке , линия возвращается во внутреннюю область, так как кратность этой точки четная.

Аналогично в точке .

Проведенная линия помогает выделить на единичной окружности искомые области. Они обозначены знаком «+».

Окончательный ответ запишем в виде совокупности неравенств: 

2πn < x <  + 2πn

Таким образом, рассмотренный метод интервалов позволяет учащимся решать более сложные тригонометрические неравенства и развивать учебно-познавательную деятельность.