Дифференцирование показательной и логарифмической функции (презентация)
презентация к уроку по алгебре (11 класс)

Слайд 1

Дифференцирование показательной и логарифмической функций. х у

Слайд 2

Число e . Функция y = , её свойства и график. Пункт 1.

Слайд 3

Подготовительная работа. х у 1 0 Графики какой функции показаны на рисунке? , a > 1 Что общего для всех графиков показательной функции при a > 1 ? Все проходят через точку (0;1). 2. Все имеют горизонтальную асимптоту y = 0 . 3. Все обращены выпуклостью вниз. 4. Все имеют касательные во всех своих точках.

Слайд 4

х у 1 0 1 Постройте график функции и проведите касательную в точке x = 0 . Измерьте угол между касательной и осью x . Постройте графики функций и . Проведите касательные к ним в точке x = 0 . Измерьте угол между каждой касательной и осью x . Сделайте вывод.

Слайд 5

х у 1 0 1 х у 1 0 1 Вывод: если основание показательной функции увеличивается от 2 до 10, то угол между касательной к графику функции в точке x = 0 и осью абсцисс постепенно увеличивается от 35 ° до 66,5 ° . Существует ли основание a , для которого соответствующий угол будет равен 45 °? Между какими числами это значение будет находиться?

Слайд 6

Основание показательной функции, для которой касательная, проведённая в точке x = 0 и образующая с осью абсцисс угол 45°, принято обозначать буквой e . е – иррациональное число. е = 2,7182818284590…. е ≈ 2,7 Лев Толстой в Ясной Поляне (1908). Фотографический портрет работы С. М. Прокудина-Горского. Дата рождения: 28 августа (9 сентября) 1828

Слайд 7

х у 1 0 1 Свойства функции 1. D(f) = (- ∞; + ∞ . ) 2 . Не является ни чётной, ни нечётной. 3. Возрастает. 4. Не ограничена сверху, ограничена снизу. 5. Не имеет ни наибольшего, на наименьшего значений. 6. Непрерывна. 7 . E(f) = (0 ; + ∞ . ) 8 . Выпукла вниз. 9. Дифференцируема. Функцию y = е x называют экспонентой .

Слайд 8

В курсе математического анализа доказано, что функция y = е x имеет производную в любой точке х : ( e x ) = e x (е 5х )' = 5е 5х (е -4х+1 )' = -4е -4х-1 (е х-3 )' = е х-3

Слайд 9

Пример 1 . Провести касательную к графику функции в точке x=1. Решение : 1) =1 2) f( )=f(1)=e 3) 4) y = e+e (x-1); y = ex Ответ : y=ex

Слайд 10

Пример 2 . Вычислить значение производной функции в точке x = 3. Решение : Ответ : 4

Слайд 11

Пример 1. Провести касательную к графику функции в точке x = 1 . Решение: y = f(a) + f ΄ (a)(x – a) 1) a = 1 2) f(a) = f(1) = e 3) f ΄ (x) = , f ΄ (a) = f ΄ (1) = e y = e + e (x – 1) y = ex Ответ: y = ex Пример 2. Вычислить значение производной функции в точке x = 3. Решение: y ΄ = ( ) ΄ = 4  y ΄ (3) = 4  = 4  4 Ответ: 4

Слайд 12

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 0, x = 0, x = 2, . Решение: х у 2 0 S = dx = Ответ:

Слайд 13

Пример 4 . Исследовать на экстремум и схематически изобразить график функции . Решение: y ΄ = ( ) ΄ =  + ( ) ΄ = 2 x + y ΄ = x (x + - 2 0 x + + - f(x) f ΄ (x) max min х у -2 0 e -1 1 =

Слайд 14

Натуральные логарифмы. Функция y = lnx , её свойства и график. Пункт 2.

Слайд 15

Подготовительная работа. Докажите, что: Вычислите: Назовите основания данных логарифмов.

Слайд 16

Существует ли логарифм по основанию e ? Если основанием логарифма служит число e , то говорят, что задан натуральный логарифм . Введено специальное обозначение для натуральных логарифмов: ( l – логарифм, n – натуральный).

Слайд 17

Что можно сказать о графиках функций и ? Как построить график функции y = lnx ? х у 1 0 1 y = x Свойства функции 1. D(f) = (- ∞; + ∞ . ) 2 . Не является ни чётной, ни нечётной. 3. Возрастает на (0; + ∞) . 4. Не ограничена ни сверху, ни снизу. 5. Не имеет ни наибольшего, на наименьшего значений. 6. Непрерывна. 7 . E(f) = (0 ; + ∞ . ) 8 . Выпукла вверх. 9. Дифференцируема.

Слайд 18

Для любого значения x > 0 справедлива формула: Если условие x > 0 не выполняется, то используется более общая формула:

Слайд 19

Пример 5 . Вычислить значение производной функции в точке x = -1. Решение: 1,5 Ответ: 1,5 Пример 6 . Провести касательную к графику функции в точке x = e .

Слайд 20

Решение: 1) a = e; 2) f(a) = f(e) = lne = 1; y = f(a) + f ΄ (a)(x – a) 3) f ΄ (x) = ; f ΄ (a) = f ΄ (e) = ; 4) Подставим найденные значения в уравнение касательной. Получим: y = 1+ . Ответ: y = . Пример 7 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 0, x = 1, x = e и гиперболой y =

Слайд 21

х у 1 0 1 Решение: S = = Ответ: Пример 8 . Исследовать на экстремум функцию . Решение:

Слайд 22

Эта производная существует при всех значениях x > 0 . Значит критических точек нет. при e 0 x + - f(x) f ΄ (x) max Ответ: точка максимума; y max =

Слайд 23

Докажем формулы дифференцирования любой показательной и любой логарифмической функций. = ΄ ΄ =