Элементы из высшей математики
материал по алгебре

Раздел 1.  ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1.1     Матрицы

Определение. Матрицей  размера m×n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i- номер строки, а j- номер столбца.

А =

1.2    Основные действия над матрицами

Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще  говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.

Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m = n), то матрица называется квадратной.

Определение.  Матрица вида:

= E,  называется единичной матрицей.

Определение. Если amn = anm , то матрица называется симметрической.

Пример.    - симметрическая матрица

Определение. Квадратная матрица вида  называется диагональной матрицей.

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

cij = aij ± bij      С = А + В = В + А.

         Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к  умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

- 2 -

Эту вероятность в принципе можно посчитать, используя теоремы сложения и умножения вероятностей. Но при достаточно большом количестве испытаний, это приводит к очень большим вычислениям. Таким образом, возникает необходимость разработать общий подход к решению задачи. используя формулу Бернулли.

Пусть в результате п независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, событие А наступает с вероятностью Р(А) = р, а противоположное ему событие  с вероятностью .

Обозначим Ai – наступление события А в испытании с номером i. Т.к. условия проведения опытов одинаковые, то эти вероятности равны.

Если в результате п опытов событие А наступает ровно т раз, то остальные п-т раз это событие не наступает. Событие А может появиться т раз в п испытаниях в различных комбинациях, число которых равно количеству сочетаний из п элементов по т. Это количество сочетаний находится по формуле:

Вероятность каждой комбинации равна произведению вероятностей:

Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получаем формулу Бернулли:

Формула Бернулли важна тем, что справедлива для любого количества независимых испытаний, т.е. того самого случая, в котором наиболее четко проявляются законы теории вероятностей.

Пример. По цели производится 5 выстрелов. Вероятность попадания для каждого выстрела равна 0,4. Найти вероятность того, что в цель попали не менее трех раз.

Вероятность не менее трех попаданий складывается из вероятности пяти попаданий, четырех попаданий и трех попаданий.

Т.к. выстрелы независимы, то можно применить формулу Бернулли вероятности того, что в т испытаниях событие в вероятностью р наступает ровно п раз.

В случае пяти попаданий из пяти возможных:

Четыре попадания из пяти выстрелов:

Три попадания из пяти:

Окончательно, получаем вероятность не менее трех попаданий из пяти выстрелов:

@ - Леушин В. В.

- 47 -

Вероятности того, что один из стрелков, производящих выстрелы, два раза попадает в цель, равны:

- для первого стрелка:  - для второго стрелка:

- для третьего стрелка:

Искомая вероятность равна: 

6.6   Формула Бейеса (формула гипотез)

Пусть имеется полная группа несовместных гипотез  с известными вероятностями их наступления . Пусть в результате опыта наступило событие А, условные вероятности которого по каждой из гипотез известны, т.е. известны вероятности .

Требуется определить какие вероятности имеют гипотезы   относительно события А, т.е. условные вероятности .

Теорема. Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события.

Эта формула называется формулой Бейеса.

Для нахождения вероятности P(A) используем формулу полной вероятности.

Если до испытания все гипотезы равновероятны с вероятностью , то формула Бейеса принимает вид:  

6.7   Повторение испытаний.  Формула Бернулли

Если производится некоторое количество испытаний, в результате которых может произойти или не произойти событие А, и вероятность появления этого события в каждом из испытаний не зависит от результатов остальных испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А.

Допустим, что событие А наступает в каждом испытании с вероятностью Р(А)=р. Определим вероятность Рт,п того, что в результате п испытаний событие А наступило ровно т раз.

- 46 -

α (А+В) =αА ± αВ   и      А(α±β) = αА ± βА

Пример. Даны матрицы А = ; B = , найти 2А + В.

2А = ,          2А + В = .

1.3     Операция умножения матриц.

Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

A⋅B = C;       .

Из определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Пример.  Найти произведение двух матриц В и А, то есть  матрицу С равную

С = В⋅А

Свойства операции умножения матриц.

1)  Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ≠ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.

Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.

Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка                                 А⋅Е = Е⋅А = А

Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:

A⋅O = O;  O⋅A = O,    где О – нулевая матрица.

2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:

- 3 -

(АВ)С=А(ВС).

3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения  А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:

А(В + С) = АВ + АС   (А + В)С = АС + ВС.

4) Если произведение АВ определено, то для любого числа α верно соотношение:

α(AB) = (αA)B = A(αB).

5) Если определено произведение АВ, то определено произведение ВТАТ и выполняется равенство: (АВ)Т = ВТАТ, где

индексом Т обозначается транспонированная матрица.

        6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = det A⋅det B.

Понятие det (определитель, детерминант) будет  рассмотрено ниже.

         Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.

А = ;                         В = АТ=;

другими словами,  bji = aij.

        В качестве следствия из предыдущего свойства (5) можно записать, что:

(ABC)T = CTBTAT,

при условии, что определено произведение матриц АВС.

1.3   Определители

Определение. Определителем (детерминантом) квадратной матрицы

А= называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы  по формуле:   det A = ,  где М1к – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.

Предыдущая формула позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу:      det A =

Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу

- 4 -

Определение. Вероятность события В, вычисленная при условии, что имело место событие А, называется условной вероятностью события В.

Теорема. (Умножения вероятностей) Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило.

Также можно записать:

Если события независимые, то , и теорема умножения вероятностей принимает вид:  

В случае произведения нескольких зависимых событий вероятность равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных при условии, что вероятность каждого последующего вычисляется в предположении, что все остальные события уже совершились.

Из теоремы произведения вероятностей можно сделать вывод о вероятности появления хотя бы одного события.  Если в результате испытания может появиться п событий, независимых в совокупности, то вероятность появления хотя бы одного из них равна    Здесь событие А обозначает наступление хотя бы одного из событий Ai, а qi – вероятность противоположных событий .

6.5   Формула полной вероятности

Пусть некоторое событие А может произойти  вместе с одним из несовместных событий , составляющих полную группу событий. Пусть известны вероятности этих событий  и условные вероятности наступления события А при наступлении события Hi .

Теорема. Вероятность события А, которое может произойти вместе с одним из событий , равна сумме парных произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие им условные вероятности наступления события А.

            Фактически эта формула полной вероятности

Пример.  Один из трех стрелков производит два выстрела. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка равна 0,4, для второго – 0,6, для третьего – 0,8. Найти вероятность того, что в цель попадут два раза.

Вероятность того, что выстрелы производит первый, второй или третий стрелок равна .

- 45 -

6.4  Операции над событиями

Определение. События А и В называются равными, если осуществление события А влечет за собой осуществление события В и наоборот.

Определение. Объединением или суммой событий Аk называется событие A, которое означает появление хотя бы одного из событий Аk.

Определение.  Пересечением или произведением событий Ak  называется событие А, которое заключается в осуществлении всех событий Ak.

Определение. Разностью событий А и В называется событие С, которое означает, что происходит событие А, но не происходит событие В.

Определение. Дополнительным к событию А называется событие , означающее, что событие А не происходит.

Определение. Элементарными исходами опыта называются такие результаты опыта, которые взаимно исключают друг друга и в результате опыта происходит одно из этих событий, также каково бы ни было событие А, по наступившему элементарному исходу можно судить о том, происходит или не происходит это событие.

Совокупность всех элементарных исходов опыта называется пространством элементарных событий.

Теорема (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Следствие 1: Если события  образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.

Определение. Противоположными называются два несовместных события, образующие полную группу.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Определение. Событие А называется независимым от события В, вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости

- 44 -

матрицы, т.е. справедлива формула:     det A = ,     i = 1,2,…,n.                        

Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители.

 Определитель единичной матрицы равен 1.

Для указанной матрицы А число М1к называется дополнительным минором  элемента матрицы a1k. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.

Определение. Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы aij  равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

от того, произошло событие  В или нет.

Свойство 1. Важным свойством определителей является следующее соотношение:                           det A = det AT;                                              

Свойство  2.                   det (AB) = det A ⋅ det B

Свойство 3.  Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине.

Свойство 4. При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее определитель умножается на это число.

Определение: Столбцы (строки) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения.

Свойство 5. Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы, то ее определитель равен нулю.

Свойство 6. Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель можно именно по нулевой строке или столбцу.)

Свойство 7. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его строк (столбца) прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на какое-либо число, не равное нулю.

Свойство 8. Если для элементов какой- либо строки или столбца матрицы верно соотношение: d = d1 ± d2  , e = e1 ± e2 , f = f1 ± f2 , то верно:

1.4     Элементарные преобразования матрицы

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие преобразования:

1) умножение строки на число, отличное от нуля; 2) прибавление к элементам одной строки элементов другой строки;  3) перестановка строк;  4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);  5) транспонирование.

- 5 -

Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями. С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов).

Миноры. Алгебраические дополнения

 Дадим определение  минора матрицы.

Определение. Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А. Если выделено s строк и столбцов, то полученный минор называется минором порядка s. Вышесказанное применимо не только к квадратным матрицам, но и к прямоугольным.

Если вычеркнуть из исходной квадратной матрицы А выделенные строки и столбцы, то определитель полученной матрицы будет являться дополнительным минором.

Определение. Алгебраическим дополнением минора матрицы называется  его дополнительный минор, умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы.

В частном случае, алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его дополнительный минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров столбца и строки, на которых стоит элемент, есть число четное и с противоположным знаком, если нечетное.

1.5   Обратная матрица

Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.

Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:     XA = AX = E,     где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А-1.

Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.

Исходя из определения произведения матриц, можно записать:

AX = E ⇒ , i=(1,n), j=(1,n),

eij = 0,                      i ≠ j,

eij = 1,                       i = j .

Таким образом, получаем систему уравнений:

,

Решив эту систему, находим элементы матрицы Х.

- 6 -

Пример. В коробке находится 10 шаров. 3 из них красные, 2 – зеленые, остальные белые. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет красным, зеленым или белым.

Появление красного, зеленого и белого шаров составляют полную группу событий. Обозначим появление красного шара – событие А, появление зеленого – событие В, появление белого – событие С.

Тогда в соответствием с записанными выше формулами получаем:

Отметим, что вероятность наступления одного из двух попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Определение. Относительной частотой события А называется отношение числа опытов, в результате которых произошло событие А к общему числу опытов.

Отличие относительной частоты от вероятности заключается в том, что вероятность вычисляется без непосредственного произведения опытов, а относительная частота – после опыта.

Так в рассмотренном выше примере, если из коробки наугад извлечено 5 шаров и 2 из них оказались красными, то относительная частота появления красного шара равна:  

Как видно, эта величина не совпадает с найденной вероятностью.

При достаточно большом числе произведенных опытов относительная частота изменяется мало, колеблясь около одного числа. Это число может быть принято за вероятность события.

Вообще говоря, классическое определение вероятности – довольно относительное.

Это обусловлено тем, что на практике сложно представить результат опыта в виде совокупности элементарных событий, доказать, что события равновероятные.

К примеру при проведении опыта с подбрасыванием монеты на результат опыта могут влиять такие факторы как несимметричность монеты, влияние ее формы на аэродинамические характеристики полета, атмосферные условия и т.д.

Классическое определение вероятности неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов. Чтобы преодолеть этот недостаток вводится понятие геометрической вероятности, т.е. вероятности попадания точки в какой – либо отрезок или часть плоскости (пространства).

Так если на отрезке длиной L выделен отрезок длины l, то вероятность попадания наугад взятой точки в отрезок l равна отношению l/L.

Таким образом, А-1=.

Однако, такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших порядков,  поэтому обычно применяют следующую формулу:   ,

- 43 -

6.3   Основные понятия теории вероятностей

Определение. Событием называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта.

При этом тот или иной результат опыта может быть получен с различной степенью возможности. Т.е. в некоторых случаях можно сказать, что одно событие произойдет практически наверняка, другое практически никогда.

В отношении друг друга события также имеют особенности, т.е. в одном случае  событие А  может произойти совместно с событием В, в другом – нет.

Определение. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других.

Классическим примером несовместных событий является результат подбрасывания монеты – выпадение лицевой стороны монеты исключает выпадение обратной стороны (в одном и том же опыте).

 Определение. Полной группой событий называется совокупность всех возможных результатов опыта.

Определение. Достоверным событием называется событие, которое наверняка произойдет в результате опыта. Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта.

Например, если из коробки, содержащей только красные и зеленые шары, наугад вынимают один шар, то появление среди вынутых шаров белого – невозможное событие. Появление красного и появление зеленого шаров образуют полную группу событий.

Определение. События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью.

В приведенном выше примере появление красного и зеленого шаров – равновозможные события, если в коробке находится одинаковое количество красных и зеленых шаров.

Если же в коробке красных шаров больше, чем зеленых, то появление зеленого шара – событие менее вероятное, чем появление красного.

Исходя из этих общих понятий, можно дать определение вероятности.

Определение. Вероятностью события А называется математическая оценка возможности появления этого события в результате опыта. Вероятность события А равна отношению числа, благоприятствующих событию А исходов опыта к общему числу попарно несовместных исходов опыта, образующих полную группу событий.

Исход опыта является благоприятствующим событию А, если появление в результате опыта этого исхода влечет за собой появление события А.

Очевидно, что вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного – равна нулю. Таким образом, значение вероятности любого события – есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

- 42 -

Пример. Дана матрица А = , найти А-1.

Пример. Дана матрица А = , найти А-1.

det A = 4 - 6 = -2.

M11=4;       M12= 3;        M21= 2;        M22=1

   x11= -2;      x12= 1;       x21= 3/2;      x22= -1/2

Таким образом, А-1= где Мji- дополнительный минор элемента аji матрицы А.

    Cвойства обратных матриц

Укажем следующие свойства обратных матриц:

1) (A-1)-1 = A;

2) (AB)-1 = B-1A-1

3) (AT)-1 = (A-1)T.

1.6  Матричный метод решения систем линейных уравнений.

        Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.

        Метод удобен для решения систем невысокого порядка.

        Метод основан на применении свойств умножения матриц.

Пусть дана система уравнений:  

Составим матрицы:   A = ;     B = ;     X = .

Систему уравнений можно записать:

A⋅X = B.

- 7 -

Сделаем следующее преобразование: A-1⋅A⋅X = A-1⋅B,

т.к.   А-1⋅А = Е, то  Е⋅Х = А-1⋅В

Х = А-1⋅В

        Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.

        Пример.  Решить  систему уравнений:

Х = , B = , A =

Найдем обратную матрицу А-1.

Δ = det A = 5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.

M11 =  = -5;                  M21 =  = 1;                   M31 =    = -1;

M12 =                M22 =                     M32 =

M13 =                  M23 =                     M33 =

       A-1 = ;

Cделаем проверку:

A⋅A-1 = =E.

Находим матрицу  Х.

- 8 -

Х = = А-1В = ⋅= .

Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3.

        Несмотря на ограничения возможности применения данного метода и сложность вычислений при больших значениях коэффициентов, а также систем высокого порядка, метод может быть легко реализован на ЭВМ.

1.7   Метод Крамера

Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных. Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0,     det A ≠ 0;

Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.

Теорема. (Правило Крамера):

Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными

в случае если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:     xi = Δi/Δ,    где

Δ = det A,  а Δi – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi.

Δi =

Пример 1.

- 9 -

A = ;   Δ1= ;  Δ2= ;   Δ3= ;

x1 = Δ1/detA;       x2 = Δ2/detA;        x3 = Δ3/detA;

Пример 2. Дана система уравнений:

Эта система уравнений имеет решение, если определитель матрицы системы отличен от нуля.

Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера.

Δ1 =

;

Δ2 =

Δ3 =

так, решение системы: { -1/4, 7/4, 5/2}.

- 10 -

1.8   Решение  произвольных систем линейных уравнений.

        Как было сказано выше, матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. Далее рассмотрим произвольные системы линейных уравнений.

        Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

                                                    ,                                    

где aij – коэффициенты, а bi – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

        Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

        Определение. Для системы линейных уравнений матрица

А =  называется матрицей системы, а матрица

А*=  называется расширенной матрицей системы

        Определение. Если b1, b2, …,bm = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое решение.

1.9    Элементарные преобразования систем уравнений

К элементарным преобразованиям относятся:

        1) Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.

        2) Перестановка уравнений местами.

        3) Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.

1.10     Метод Гаусса

В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.

- 11 -

Рассмотрим систему линейных уравнений:

Разделим обе части 1–го  уравнения на a11 ≠ 0, затем:

1) умножим на а21 и вычтем из второго уравнения

2) умножим на а31 и вычтем из третьего уравнения   и т.д.

Получим:

,   где d1j = a1j/a11,  j = 2, 3, …, n+1.

dij = aij – ai1d1j         i = 2, 3, … , n;       j = 2, 3, … , n+1.

Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.

- 8 -

Пример. Номер автомобиля состоит из трех букв и трех цифр. Сколько различных номеров можно составить, используя 10 цифр и алфавит в 30 букв.

Очевидно, что количество всех возможных комбинаций из 10 цифр по 4 равно 10.000.

Число всех возможных комбинаций из 30 букв по две равно .

Если учесть возможность того, что буквы могут повторяться, то число повторяющихся комбинаций равно 30 (одна возможность повтора для каждой буквы). Итого, полное количество комбинаций по две буквы равно 900.

Если к номеру добавляется еще одна буква из алфавита в 30 букв, то количество комбинаций увеличивается в 30 раз, т.е. достигает 27.000 комбинаций.

Окончательно, т.к. каждой буквенной комбинации можно поставить в соответствие числовую комбинацию, то полное количество автомобильных номеров равно 270.000.000.

6.2    Бином Ньютона (полиномиальная формула)

Бином Ньютона – это формула, выражающая выражение (a + b)n  в виде многочлена.  Эта формула имеет вид:  

 - число сочетаний из п элементов по k.    

Широко известные формулы сокращенного умножения квадрата суммы и разности, куба суммы и разности, являются частными случаями бинома Ньютона.

Когда степень бинома невысока, коэффициенты многочлена могут быть найдены не расчетом по формуле количества сочетаний, а с помощью, так называемого треугольника Паскаля.        Этот треугольник имеет вид:

1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

…………………

Формула бинома Ньютона может быть обобщена для произвольного числа слагаемых.

Напомним, что при вычислениях 0! принимается равным 1.

- 41 –

Заметим, что если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений, каждое из которых имеет правую часть, соответствующую выражению, входящему в комбинацию.  Т.е. если уравнение имеет вид: ,  то частное решение этого уравнения будет где  у1 и у2 – частные решения вспомогательных уравнений   и

11 Элементы высшей алгебры.

11.1 Основные понятия теории множеств.

Определение. Множеством М называется объединение в единое целое определенных различимых объектов а, которые называются элементами множества  а ∈ М.

Множество можно описать, указав какое – нибудь свойство, присущее всем элементам этого множества.

         Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается ∅.

Определение. Если все элементы множества А являются также элементами множества В, то говорят, что множество А включается (содержится) в множестве В.

                                                  А

                А ⊂ В

                                                      В

Определение. Если А ⊆ В, то множество А называется подмножеством множества В, а если при этом А ≠ В, то множество А называется собственным подмножеством множества В и обозначается А ⊂ В.

        Для трех множеств А, В, С справедливы следующие соотношения.

Связь между включением и равенством множеств устанавливается следующим соотношением:

Здесь знак ∧ обозначает конъюнкцию (логическое “и”).

11.2 Операции над множествами.

        Определение. Объединением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат  хотя бы одному из множеств А и В.

        Обозначается С = А ∪ В.

                                               А

                                                             В

 Геометрическое изображение множеств в виде области на плоскости называется диаграммой Эйлера – Венна.

        Определение. Пересечением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат каждому из множеств А и В.

Обозначение С = А ∩ В.

                                     А          С          В

Для множеств А, В и С справедливы следующие свойства:

А ∩ А = А ∪ А = А;             A ∪ B = B ∪ A;           A ∩ B = B ∩ A;

(A  ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);              (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C);

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);             A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);

A ∪ (A ∩ B) = A;       A ∩ (A ∪ B) = A;

∅ = А;     A ∩ ∅ = ∅;

        Определение. Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

        Обозначается С = А \ В.

                                           А               В

        Определение. Симметрической разностью множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат в точности одному из множеств А или В.

        Обозначается А Δ В.  

А Δ В = (A \ B) ∪ (B \ A)

                                        A                B

Определение. СЕ называется дополнением множества А относительно множества Е, если А ⊆ Е и CЕ = Е \ A.

                                                   A                E

Для множеств А, В и С справедливы следующие соотношения:

A \ B ⊆ A;              A \ A = ∅;              A \ (A \ B) = A ∩ B;

A Δ B = B Δ A;                A Δ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B);

A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C);          A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C);

(A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C);         (A ∩ B) \ C = (A \ C) ∩ (B \ C);

A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C);             (A \ B) \ C = A \ (B ∪ C);

(A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C);               A ∩ (B Δ C) = (A ∩ B) Δ (A ∩ C);

A ∪ CEA = E;          A ∩ CEA = ∅;          CEE = ∅;         CE∅ = E;       CECEA = A;

CE(A ∪ B) = CEA ∩ CEB;                  CE(A ∩ B) = CEA ∪ CEB;

12.2 Элементы математической логики.

        Математическая логика – разновидность формальной логики, т.е. науки, которая изучает умозаключения с точки зрения их формального строения.

        Определение. Высказыванием называется предложение, к которому возможно применить понятия истинно или ложно.

        В математической логике не рассматривается сам смысл высказываний, определяется только его истинность или ложность, что принято обозначать соответственно И или Л.

Понятно, что истинные и ложные высказывания образуют соответствующие множества. С помощью простых высказываний можно составлять более сложные, соединяя простые высказывания союзами “и”, “или”.

        Таким образом, операции с высказываниями можно описывать с помощью некоторого математического аппарата.

        Вводятся следующие логические операции (связки) над высказываниями

1. Отрицание. Отрицанием высказывания Р называется высказывание, которое истинно только тогда, когда высказывание Р ложно.

Обозначается Р или .

Соответствие между высказываниями определяется таблицами истинности. В нашем случае эта таблица имеет вид:

        2) Конъюнкция. Конъюнкцией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания.

        Обозначается P&Q или Р∧Q.

        3) Дизъюнкция. Дизъюнкцией двух высказываний P и Q называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.

        Обозначается P∨Q.

        4) Импликация. Импликацией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда высказывание Р истинно, а Q – ложно.

        Обозначается P⊃Q (или Р⇒Q). Высказывание Р называется посылкой импликации, а высказывание Q – следствием.

        5) Эквиваленция. Эквиваленцией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинности высказываний совпадают.

        Обозначается Р~Q или Р⇔Q.

        С помощью этих основных таблиц истинности можно составлять таблицы истинности сложных формул.

12.3 Основные равносильности.

        Для любых формул А, В и С справедливы следующие равносильности:

A & B ≡ B & A;     A & A ≡ A;        A & (B & C) ≡ (A & B) & C;

A ∨ B ≡ B ∨ A;      A ∨ A ≡ A;         A ∨ (B ∨ C) ≡ (A ∨ B) ∨ C;

A ∨ (B & C) ≡ (A ∨ B) & (A ∨ C);      A & (B ∨ C) ≡ (A & B) ∨ (A & C);

A & (A ∨ B) ≡ A;  A ∨ (A & B) ≡ A;  ¬¬A ≡ A; ¬(A & B) ≡ ¬A ∨ ¬B;

A ≡ (A & B) ∨ (A & ¬B);     A ≡ (A ∨ B) & (A ∨ ¬B);

Раздел 6.    ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

6.1   Элементы комбинаторики.

Если из некоторого количества элементов, различных меду собой, составлять различные комбинации, то среди них можно выделить три типа комбинаций, носящих общее название – соединения.

Рассмотрим подробнее эти три типа соединений:

1) Перестановки. 

Определение. Если в некотором множестве  переставлять местами элементы, оставляя неизменным их количество, то каждая полученная таким образом комбинация называется перестановкой.

Общее число перестановок из m элементов обозначается Pm и вычисляется по формуле:

2) Размещения.

Определение. Если составлять из т различных элементов группы по n элементов в каждой, располагая взятые элементы в различном порядке. Получившиеся при этом комбинации называются размещениями из т элементов по п.

Общее число таких размещений рассчитывается по формуле:

Вообще говоря, перестановки являются частным случаем размещений.

3) Сочетания.

Определение.  Если из т элементов составлять группы по п элементов в каждой, не обращая внимания на порядок элементов в группе, то получившиеся при этом комбинации называются сочетаниями из т элементов по п.

Общее число сочетаний находится по формуле:      

Также одним из вариантов комбинаций являются перестановки с повторяющимися элементами.

Если среди т элементов имеется т1 одинаковых элементов одного типа, т2 одинаковых элементов другого типа и т.д., то при перестановке этих элементов всевозможными способами получаем комбинации, количество которых определяется по формуле:  

- 40 -

Раздел 2.       ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

2.1   Предел функции в точке.

                               y                                  f(x)

                                             A + ε

                                             A

                                              A - ε

                                    0                      a - Δ  a  a + Δ      x

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х→а, если для любого ε > 0 существует такое число Δ > 0, что для всех х таких, что

0 < ⎪x - a⎪ < Δ

верно неравенство                            ⎪f(x) - A⎪< ε.

То же определение может быть записано в другом виде:

Если а - Δ < x < a + Δ,  x ≠ a, то верно неравенство А - ε < f(x) < A + ε.

Запись предела функции в точке:

Определение. Если f(x) → A1 при х → а только при x < a, то  - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) → A2 при х → а только при x > a, то  называется пределом функции f(x) в точке

х = а  справа.

Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.

Пределы А1 и А2 называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).

2.2   Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности

        Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х→∞, если для любого числа ε>0 существует такое число М>0, что для всех х, ⎪х⎪>M выполняется неравенство

- 9 -

При этом предполагается, что функция f(x) определена в окрестности бесконечности.  Записывают:         

Аналогично можно определить пределы  для любого х > M и

 для любого х < M.

2.3   Основные теоремы о пределах

Теорема 1.  , где С = const.

Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х→а.

Теорема 2. 

Теорема 3. 

Следствие. 

Теорема 4.      при

Теорема 5.  Если f(x)>0 вблизи точки х = а и , то А>0.

Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) ≥ 0, f(x) ≤ 0.

Теорема  6.  Если g(x) ≤ f(x) ≤ u(x) вблизи точки х = а и , то и .

Определение.  Функция f(x) называется ограниченной вблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что ⎪f(x)⎪

Теорема 7.   Если функция f(x) имеет конечный предел при х→а, то она ограничена вблизи точки х = а.

2.4     Некоторые замечательные пределы

,   где   P(x) = a0xn + a1xn-1 +…+an,     Q(x) = b0xm + b1xm-1 +…+bm – многочлены.

- 10 -

вида правой части неоднородного уравнения.

Различают следующие случаи:

I.  Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:   где - многочлен степени m.

Тогда частное решение ищется в виде:  

Здесь Q(x)- многочлен той же степени, что и P(x), но с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз число α является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

        Пример. Решить уравнение .

Решим соответствующее однородное уравнение:

Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения.

Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части, рассмотренным выше.              

Частное решение ищем в виде: , где

Т.е.  

Теперь определим неизвестные коэффициенты А и В.

        Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.

Итого, частное решение:     Тогда общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:  

II.  Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

Здесь Р1(х) и Р2(х) – многочлены степени m1 и m2 соответственно.

Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

где число r показывает сколько раз число  является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения, а Q1(x) и Q2(x) – многочлены степени не выше m, где m- большая из степеней m1 и m2.

- 39 -

Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

Составляем систему уравнений:

Решим эту систему:

Из соотношения  найдем функцию А(х).

Теперь находим В(х).

Подставляем полученные значения в формулу общего решения неоднородного уравнения:

Окончательный ответ:

Таким образом, удалось избежать нахождения частного решения неоднородного уравнения методом подбора. Вообще говоря, метод вариации произвольных постоянных пригоден для нахождения решений любого линейного неоднородного уравнения. Но т.к. нахождение фундаментальной системы решений соответствующего однородного уравнения может быть достаточно сложной задачей, этот метод в основном применяется для неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами.

5.20   Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида

Представляется возможным представить вид частного решения в зависимости от

- 38 -

Итого:      

Первый замечательный предел.       

Второй замечательный предел.     

        Часто если непосредственное нахождение предела какой – либо функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов.

 Кроме трех, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:                          

Раздел 3.     ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

3.1   Производная функции, ее геометрический и физический смысл.

Определение.  Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует:  

                                    у

                                                f(x)

                                                                                               Р

                                                                      f(x0 +Δx)           М

                                                    Δf

                                                    f(x0)                

                                  α             β                                          x

                                                     0           x0  Δx          x0 + Δx          

Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда  тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

,

- 11 -

где α - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).

Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

Уравнение касательной к кривой:  

Уравнение нормали к кривой: .

Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения. Соответственно, вторая производная функции - скорость изменения скорости, т.е. ускорение.

3.2   Основные правила дифференцирования.

Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

1) (u ± v)′ = u′ ± v′

2) (u⋅v)′ = u⋅v′ + u′⋅v

3), если v ≠ 0

Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.

3.3  Производные основных элементарных функций

       1)   С′  = 0;                        9)

       2)   (xm)′ = mxm-1;                                     10)

       3)                                     11)

       4)                          12)

       5)                         13)

       6)                 14)  

       7)                        15)  

       8)                  16)  

- 12 –

5.19   Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

с произвольными коэффициентами.

Рассмотрим уравнение вида

С учетом обозначения   можно записать:

При этом будем полагать, что коэффициенты и правая часть этого уравнения непрерывны на некотором интервале (конечном или бесконечном).

Теорема.    Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения в некоторой области есть сумма любого его решения и общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

Таким образом, в соответствии с теоремой, для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения необходимо найти общее решение соответствующего однородного уравнения и каким- то образом отыскать одно частное решение неоднородного уравнения. Обычно оно находится подбором.

На практике удобно применять метод вариации произвольных постоянных.

Для этого сначала находят общее решение соответствующего однородного уравнения в виде:  

Затем, полагая коэффициенты Ci функциями от х, ищется решение неоднородного уравнения:    

        Можно доказать, что для нахождения функций Ci(x) надо решить систему уравнений:

Пример. Решить уравнение

Решаем линейное однородное уравнение

- 37 -

5.18  Линейные однородные дифференциальные уравнения с    

 постоянными коэффициентами

Решение дифференциального уравнения вида  или, короче,  будем искать в виде , где k = const.

Т.к.  то

При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения.

Для того, чтобы функция  являлась решением исходного дифференциального уравнения, необходимо и достаточно, чтобы

 т.е.

Т.к. ekx ≠ 0, то  - это уравнение называется характеристическим уравнением.

Как и любое алгебраическое уравнение степени n, характеристическое уравнение  имеет n корней. Каждому корню характеристического уравнения ki соответствует решение дифференциального уравнения.

В зависимости от коэффициентов k характеристическое уравнение может иметь либо n различных действительных корней, либо среди действительных корней могут быть кратные корни, могут быть комплексно – сопряженные корни, как различные, так и кратные.

Не будем подробно рассматривать каждый случай, а сформулируем общее правило нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

1) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.

2) Находим частные решения дифференциального уравнения, причем:

a) каждому действительному корню соответствует решение ekx;

б) каждому действительному корню кратности m ставится в соответствие m решений:            

в) каждой паре комплексно – сопряженных корней  характеристического уравнение ставится в соответствие два решения:      и  .

г) каждой паре m – кратных комплексно – сопряженных корней  характеристического уравнения ставится в соответствие 2m решений:

3) Составляем линейную комбинацию найденных решений.

Эта линейная комбинация и будет являться общим решением исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

- 36 –

3.4    Производная сложной функции

Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.

Тогда      

3.5   Производная обратных функций.

Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная ей функция x = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.

Для решения этой задачи дифференцируем функцию  x = g(y) по х:      т.к.     g′(y) ≠ 0                          

т.е. производная обратной функции обратна по величине производной данной функции.

Пример. Найти формулу для производной функции arctg.

Функция arctg является функцией, обратной функции tg, т.е. ее производная может быть найдена следующим образом:

Известно, что   По приведенной выше формуле получаем:

Т.к.  то можно записать окончательную формулу для производной арктангенса:

Таким образом, получены все формулы для производных арксинуса, арккосинуса и других обратных функций, приведенных в таблице производных.

3.6    Дифференциал функции

Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:

Тогда можно записать:   , где α→0, при Δх→0.

Следовательно:     .

Величина αΔx- бесконечно малая более высокого порядка, чем f′(x)Δx, т.е. f′(x)Δx- главная часть приращения Δу.

- 13 -

Определение.  Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главная линейная часть приращения функции.

Обозначается dy или df(x).  Из определения следует, что  dy = f′(x)Δx  или

dy = f′(x)dx.

Можно также записать:

Геометрический смысл дифференциала.

                                        y

                                                                        f(x)

                                                             K

                                                                             dy

                                                    M                      Δy

                                                        L

                                                  α

                                                    x         x + Δx                  x         

Из треугольника ΔMKL: KL = dy = tgα⋅Δx = y′⋅Δx

Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.

Свойства дифференциала.

        Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:

1. d(u ± v) = (u ± v)′dx = u′dx ± v′dx = du ± dv
2. d(uv) = (uv)′dx = (u′v + v′u)dx = vdu + udv
3. d(Cu) = Cdu
4.  

3.7    Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Дифференциал функции y = f(x) зависит от Δх и является главной частью приращения Δх.

Также можно воспользоваться формулой

Тогда абсолютная погрешность    

Относительная погрешность    

- 14 -

отличает их от нелинейных. Для нелинейных уравнений частный интеграл находится из общего, а для линейных – наоборот, общий интеграл составляется из частных. Линейные уравнения представляют собой наиболее изученный класс дифференциальных уравнений высших порядков. Это объясняется сравнительной простотой нахождения решения. Если при решении каких – либо практических задач требуется решить нелинейное дифференциальное уравнение, то часто применяются приближенные методы, позволяющие заменить такое уравнение “близким” к нему линейным.

Рассмотрим способы интегрирования некоторых типов линейных дифференциальных уравнений высших порядков.

5.16   Линейные однородные дифференциальные уравнения с

произвольными коэффициентами

Рассмотрим уравнение вида

Определение. Выражение  называется линейным дифференциальным оператором.

Линейный дифференциальный оператор обладает следующими свойствами:

        1)

        2)

Решения линейного однородного уравнения обладают следующими свойствами:

1) Если функция у1 является решением уравнения, то функция Су1, где С – постоянное число, также является его решением.

2) Если функции у1 и у2 являются решениями уравнения, то у1 +у2 также является его решением.

5. 17  Общее решение линейного однородного дифференциального

уравнения второго порядка

        Из вышеизложенного видно, что отыскание общего решения линейного однородного дифференциального уравнения сводится к нахождению его фундаментальной системы решений.

        Однако, даже для уравнения второго порядка, если коэффициенты р зависят от х, эта задача не может быть решена в общем виде.

        Тем не менее, если известно одно ненулевое частное решение, то задача может быть решена.

        Теорема. Если задано уравнение вида  и известно одно ненулевое решение у = у1, то общее решение может быть найдено по формуле:

        Таким образом, для получения общего решения надо подобрать какое – либо частное решение дифференциального уравнения, хотя это бывает часто довольно сложно.

- 35 -

Пример. Найти общее решение уравнения

Замена переменной:

1)

Для решения полученного дифференциального уравнения произведем замену переменной:             

С учетом того, что , получаем:  

Общий интеграл имеет вид:   

2)  

Таким образом, получили два общих решения.

5.15  Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Определение. Линейным дифференциальным уравнением n – го порядка называется любое уравнение первой степени относительно функции у и ее производных  вида:  

где p0, p1, …,pn – функции от х или постоянные величины, причем p0 ≠ 0.

Левую часть этого уравнения обозначим L(y).

Определение. Если f(x) = 0, то уравнение L(y) = 0 называется линейным однородным уравнением, если f(x) ≠ 0, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным неоднородным уравнением, если все коэффициенты p0, p1, p2, … pn – постоянные числа, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным дифференциальным уравнением высшего порядка с постоянными коэффициентами.

Отметим одно важное свойство линейных уравнений высших порядков, которое

- 34 –

3.8   Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция f(x)- дифференцируема на некотором интервале. Тогда, дифференцируя ее, получаем первую производную  

Если найти производную функции f′(x), получим вторую производную функции f(x).        т.е.  y′′ = (y′)′   или      .

Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени n.

.

3.9     Общие правила нахождения высших производных

Если функции u = f(x) и v = g(x) дифференцируемы, то

1. (Сu)(n)  = Cu(n);
2. (u ± v)(n) = u(n) ± v(n);

3) .

Это выражение называется формулой Лейбница.

Также по формуле  dny = f(n)(x)dxn  может быть найден дифференциал n- го порядка.

Раздел 4.     ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4.1    Неопределенный интеграл

Определение:   Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:  F(x) + C.

Записывают:

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Свойства:

1.

2.

3.

4.  где u, v, w – некоторые функции от х.

       5.           - 15 -

Пример: 

Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др.

Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.

- 16 –

Применяем подстановку

Произведя обратную замену, получаем:

Общее решение исходного дифференциального уравнения:

Отметим, что это соотношение является решением для всех значений переменной х кроме значения х =0.

5.14  Уравнения, не содержащие явно независимой переменной

Это уравнения вида    

Порядок таких уравнений может быть понижен на единицу с помощью замены переменных

 и т.д.

Подставляя эти значения в исходное дифференциальное уравнение, получаем:

        Если это уравнение проинтегрировать, и - совокупность его решений, то для решения данного дифференциального уравнения остается решить уравнение первого порядка:

- 33 –

Подставим начальные условия:

Получаем частное решение (решение задачи Коши): .

Ниже показана интегральная кривая данного дифференциального уравнения.

5.13  Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка k – 1 включительно

Это уравнения вида:

В уравнениях такого типа возможно понижение порядка на k единиц. Для этого производят замену переменной:

Тогда получаем:

Теперь допустим, что полученное дифференциальное уравнение проинтегрировано и совокупность его решений выражается соотношением:

Делая обратную подстановку, имеем:

Интегрируя полученное соотношение последовательно k раз, получаем окончательный ответ:

Пример. Найти общее решение уравнения .

- 32 –

4.2   Методы интегрирования

Рассмотрим три основных метода интегрирования.

Непосредственное интегрирование

Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.

Рассмотрим применение этого метода на примере:

Требуется найти значение интеграла . На основе известной формулы дифференцирования   можно сделать вывод, что искомый интеграл равен , где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны . Таким образом, окончательно можно сделать вывод:

Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится  в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных.

Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.

Способ подстановки (замены переменных).

Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = ϕ(t) и dx = ϕ′(t)dt получается:

Интегрирование по частям.

Способ основан на известной формуле производной произведения:

(uv)′ = u′v + v′u

где u и v – некоторые функции от х.

В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu

Проинтегрировав, получаем: , а в соответствии с при

- 17 -

веденными выше свойствами неопределенного интеграла:

       или          ;

Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.

4.3    Определенный интеграл

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).

                                 y

                                                           M

                                        m

                                  0       a                     xi                        b                x

Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками.

        x0 < x1 < x2 < … < xn

Тогда x1 – x0 = Δx1, x2 – x1 = Δx2, … ,xn – xn-1  = Δxn; Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку ε.  x0 < ε1 < x1,     x1 < ε <  x2,  …  , xn-1 < ε < xn.

Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].

Sn = f(ε1)Δx1 +  f(ε2)Δx2 + … + f(εn)Δxn =

Если maxΔxi→ 0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к бесконечности.

Если  , то

Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxΔxi→ 0 и произвольном выборе точек εi интегральная сумма  стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].

Обозначение :    а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.

- 18 -

5.11  Дифференциальные уравнения высших порядков

Определение. Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида:

В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно y(n):

Так же как и уравнение первого порядка, уравнения высших порядков имеют бесконечное количество решений.

Определение. Решение удовлетворяет начальным условиям , если

Определение. Нахождение решения уравнения , удовлетворяющего начальным условиям , называется решением задачи Коши.

Дифференциальные уравнения высших порядков, решение которых может быть найдено аналитически, можно разделить на несколько основных типов.

5.12  Уравнения, допускающие понижение порядка.

Понижение порядка дифференциального уравнения – основной метод решения уравнений высших порядков. Этот метод дает возможность сравнительно легко находить решение, однако, он применим далеко не ко всем уравнениям. Рассмотрим случаи, когда возможно понижение порядка.

Уравнения вида y(n) = f(x)

Если f(x) – функция непрерывная на некотором промежутке a < x < b, то решение может быть найдено последовательным интегрированием.

…………………………………………………………….

Пример. Решить уравнение  с начальными условиями x0 = 0; y0 = 1;                

- 31 –

Для этого разделим исходное уравнение на yn.

Применим подстановку, учтя, что .

Т.е. получилось линейное уравнение относительно неизвестной функции z.

Решение этого уравнения будем искать в виде:

5.10    Уравнения вида y = f(y’) и x = f(y’)

Решение уравнений, не содержащих в одном случае аргумента х, а в другом – функции у, ищем в параметрической форме, принимая за параметр производную неизвестной функции.

Для уравнения первого типа получаем:  

Делая замену, получаем:

В результате этих преобразований имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Общий интеграл в параметрической форме представляется системой уравнений:  

Исключив из этой системы параметр р, получим общий интеграл и не в параметрической форме.

Для дифференциального уравнения вида x = f(y’) с помощью той же самой подстановки и аналогичных рассуждений получаем результат:

- 30 -

Определение:    Если для функции f(x) существует предел

  то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b].

Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

Свойства определенного интеграла.

4. Если f(x) ≤ ϕ(x) на отрезке [a, b]  a < b, то
5. Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то:  

4.4     Вычисление определенного интеграла.

Теорема: Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.

Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница)

Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то  

это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.

Иногда применяют обозначение F(b) – F(a) = F(x).

Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.

Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов.

Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод

- 19 -

интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подынтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.

Замена переменных.

Пусть задан интеграл , где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b].

Введем новую переменную в соответствии с формулой x = ϕ(t).

Тогда если  1) ϕ(α)  = а,   ϕ(β) = b

2) ϕ(t) и ϕ′(t) непрерывны на отрезке [α, β]

3) f(ϕ(t)) определена на отрезке [α, β], то    

Тогда      

Интегрирование по частям.

Если функции u = ϕ(x) и v = ψ(x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям:  

Вывод этой формулы абсолютно аналогичен выводу формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла, который был весьма подробно рассмотрен выше, поэтому здесь приводить его нет смысла.

4.5       Геометрические приложения определенного интеграла.

4.5.1   Вычисление площадей плоских фигур.

                                  у

                                                 +                    +

                             0    a           -           b               x  

Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен

- 20 -

Интегрируя, можем найти функцию v:

;             ;

Т.е. была получена вторая составляющая произведения , которое и определяет искомую функцию.

Подставляя полученные значения,  получаем:

Окончательно получаем формулу

            ,  

 С2 - произвольный коэффициент.

Это соотношение может считаться решением неоднородного линейного дифференциального уравнения  в общем виде по способу Бернулли.

Пример.  Решить уравнение

Сначала приведем данное  уравнение к стандартному виду:

Применим полученную выше формулу:

5.9  Уравнение Бернулли

Определение. Уравнением Бернулли называется уравнение вида

где P и Q – функции от х или постоянные числа, а n – постоянное число, не равное 1.

Для решения уравнения Бернулли применяют подстановку , с помощью которой, уравнение Бернулли приводится к линейному.

- 29 -

Для этого типа дифференциальных уравнений разделение переменных не представляет сложностей.

 Общее решение:  

5.8  Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

Для интегрирования линейных неоднородных уравнений (Q(x)≠0) применяются в основном два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа.

Метод Бернулли.

Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения двух функций  .

При этом очевидно, что  - дифференцирование по частям.

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

Далее следует важное замечание – т.к. первоначальная функция была представлена нами в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это произведение, может быть произвольным, выбранным по нашему усмотрению.

Например, функция может быть представлена как    и т.п.

Таким образом, можно одну из составляющих произведение функций выбрать так, что выражение .

Таким образом, возможно получить функцию u, проинтегрировав, полученное соотношение как однородное дифференциальное уравнение по описанной выше схеме:

Для нахождения второй неизвестной функции v подставим поученное выражение для функции u в исходное уравнение  с учетом того, что

выражение, стоящее в скобках, равно нулю.

- 28 -

выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”.

Для нахождения суммарной площади используется формула .

Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x2, x = 2.

Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле:

(ед2)

4.5.2   Вычисление объемов тел

Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений.

                                        Q(xi-1)              

     Q(xi)

                  a          xi-1         xi                        b                      x

Пусть имеется тело объема V. Площадь любого поперечного сечения тела Q, известна как непрерывная функция Q = Q(x). Разобьем тело на “слои” поперечными

сечениями, проходящими через точки хi разбиения отрезка [a, b]. Т.к. на каком- либо

- 21-

промежуточном отрезке разбиения [xi-1, xi] функция Q(x) непрерывна, то принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Обозначим их соответственно Mi и mi.

Если на этих наибольшем и наименьшем сечениях построить цилиндры с образующими, параллельными оси х, то объемы этих цилиндров будут соответственно равны MiΔxi и miΔxi здесь Δxi = xi - xi-1.

Произведя такие построения для всех отрезков разбиения, получим цилиндры, объемы которых равны соответственно  и .

При стремлении к нулю шага разбиения λ, эти суммы имеют общий предел:  

Таким образом, объем тела может быть найден по формуле:  

Недостатком этой формулы является то, что для нахождения объема необходимо знать функцию Q(x), что весьма проблематично для сложных тел.

Объем тел вращения

Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.

                                                y = f(x)

                                                        x

Т.к. каждое сечение тела плоскостью  x = const представляет собой круг радиуса , то объем тела вращения может быть легко найден по полученной выше формуле:  

Раздел 5.     ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

5.1  Обыкновенные дифференциальные уравнения

        Решение различных геометрических, физических и инженерных задач часто приводят к уравнениям, которые связывают независимые переменные, характеризующие ту ил иную задачу, с какой – либо функцией этих переменных и производными этой функции различных порядков.

- 22 -

таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u.

Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и найдя интегралы, получим общее решение однородного дифференциального уравнения.

Пример. Решить уравнение .

Введем вспомогательную функцию u.      .

Отметим, что введенная нами функция u всегда положительна, т.к. в противном случае теряет смысл исходное дифференциальное уравнение, содержащее .   Подставляем в исходное уравнение:    

Разделяем переменные:

Интегрируя, получаем:

Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее решение:  

5.6  Линейные уравнения

Определение. Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде:

при этом, если правая часть Q(x) равна нулю, то такое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением, если правая часть Q(x) не равна нулю, то такое уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением.

        P(x) и Q(x)- функции непрерывные на некотором промежутке a < x < b.

5. 7  Линейные однородные дифференциальные уравнения

        Рассмотрим методы нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка вида

- 27 -

Получаем:                                          

После нахождения соответствующих интегралов получается общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С, а, соответственно, и частное решение.

5.5  Однородные уравнения

Определение.  Функция f(x, y) называется однородной n – го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме нуля) выполняется тождество:

Пример.   Является ли однородной функция  

Таким образом, функция f(x, y) является однородной 3- го порядка.

Определение. Дифференциальное уравнение вида называется однородным, если его правая часть f(x, y) есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов.

Любое уравнение вида  является однородным, если функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одинакового измерения.

Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными.

Рассмотрим однородное уравнение

Т.к. функция f(x, y) – однородная нулевого измерения, то можно записать:

Т.к. параметр t вообще говоря произвольный, предположим, что . Получаем:  

Правая часть полученного равенства зависит фактически только от одного аргумента ,     т.е.  

Исходное дифференциальное уравнение таким образом можно записать в виде:

Далее заменяем y = ux, .

- 26 -

В качестве примера можно рассмотреть простейший случай равноускоренного движения материальной точки.          Известно, что перемещение материальной точки при равноускоренном движении является функцией времени и выражается по формуле:    

В свою очередь ускорение a является производной по времени t от скорости V, которая также является производной по времени t от перемещения S.    То есть,    

Тогда получаем:  - уравнение связывает функцию f(t) с независимой переменной t и производной второго порядка функции f(t).

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.

Определение. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Пример                         

обыкновенное дифференциальное уравнение 1 – го порядка.  В общем виде записывается .  

 - обыкновенное дифференциальное уравнение 2 – го порядка.

В общем виде записывается .

 - дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y = ϕ(x, C), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество.

Свойства общего решения.

1) Т.к. постоянная С – произвольная величина, то вообще говоря дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.

2) При каких- либо начальных условиях х = х0, у(х0) = у0 существует такое значе-

- 23 –

ние С = С0, при котором решением дифференциального уравнения является функция у = ϕ(х, С0).

Определение. Решение вида у = ϕ(х, С0) называется частным решением дифференциального уравнения.

Определение. Задачей Коши  называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = ϕ(х, С0), удовлетворяющего начальным условиям у(х0) = у0.

Определение.  Интегралом дифференциального уравнения называется любое уравнение, не содержащее производных, для которого данное дифференциальное уравнение является следствием.

Пример.  Найти общее решение дифференциального уравнения .

Общее решение дифференциального уравнения ищется с помощью интегрирования  левой и правой частей уравнения, которое предварительно преобразовано следующим образом:

Теперь интегрируем:                

                                                                      - это общее решение исходного дифференциального уравнения.

Допустим, заданы некоторые начальные условия: x0 = 1; y0 = 2, тогда имеем

При подстановке полученного значения постоянной в общее решение получаем частное решение при заданных начальных условиях (решение задачи Коши).

- 24 –

Определение. Интегральной кривой называется график y = ϕ(x) решения дифференциального уравнения  на плоскости ХОY.

Далее рассмотрим подробнее приемы и методы, которые используются при решении дифференциальных уравнений различных типов.

5.2   Дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. соотношение вида:

Если такое соотношение преобразовать к виду  то это дифференциальное уравнение первого порядка будет называться уравнением, разрешенным относительно производной.

Преобразуем такое выражение далее:

Функцию f(x,y) представим в виде:  тогда при подстановке в полученное выше уравнение  имеем:

• это так называемая дифференциальная форма уравнения первого порядка.

Далее рассмотрим подробнее типы уравнений первого порядка и методы их решения.

5.3    Уравнения вида y’ = f(x)

Пусть функция f(x) – определена и непрерывна на некотором интервале

a < x < b. В таком случае все решения данного дифференциального уравнения находятся как . Если заданы начальные условия х0 и у0, то можно определить постоянную С.

5.4 Уравнения с разделяющимися переменными

Определение. Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде

.

        Такое уравнение можно представить также в виде:

Перейдем к новым обозначениям

- 25 -

Содержание

Раздел 1.    Элементы линейной алгебры ……………….2

Раздел 2.     Введение в математический анализ…………9

Раздел 3.     Дифференциальное исчисление…………….11

Раздел 4.     Интегральное исчисление…………………   15

Раздел 5.     Дифференциальные уравнения……………..22

Раздел 6.    Теория вероятностей…………………………40

Областное государственное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

"Химико-технологический техникум г. Саянска"

_____________________________________________________________

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Методическое пособие

для студентов  специальности  150411

 "Монтаж и техническая эксплуатация

промышленного оборудования"

Саянск,  2012