Алгебра

Лекция

 Понятие функции

Определение функции
Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

Переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у - зависимой переменной. Значение у, соответствующее заданному значению х, называют значением функции.

Записывают:  

Буквой  f  обозначается данная функция, т.е. функциональная зависимость между переменными х и у; f(x) есть значение функции, соответствующее значению аргумента х.

Говорят также, что есть значение функции в точке х. Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции.

Все значения, которые принимает функция (при х, принадлежащих области ее определения) образуют область значений функции.

Рассмотрим функцию у = х2, где . Эта запись означает, что задана следующая функция: каждому числу х из отрезка [1; 3] ставится в соответствие квадрат этого числа. Например,  f(1) = 12 = = 1,  f(2)  =  22 = 4 и т. д. Запись  f(4)  в этом случае лишена смысла, так как число 4 не принадлежит отрезку [1; 3]. Отрезок [1; 3] - область определения функции.

Практикум 

Как строить графики

 Введение

Трудно найти область науки или общественной жизни, где не применялись бы графики. Всем нам неоднократно приходилось видеть, например, графики роста промышленного производства или производительности труда. Явления природы, как на пример суточные или годовые изменения температуры, атмосферного давления и т. д., также проще всего описать с помощью графика.

Построение графиков такого рода не представляет труда, - была бы лишь заранее составлена соответствующая таблица. Мы будем говорить здесь о других графиках: о графиках, которые должны быть построены по данным математическим формулам. Потребность в таких графиках часто возникает в разных областях знания.

Так анализируя теоретически ход будущего физического процесса, ученый получает формулу, дающую некую интересующую его величину, например количество получающегося продукта в зависимости от времени. График, составленный по этой формуле, наглядно представит результаты будущего процесса. Возможно, что, глядя на этот график, ученый внесет существенные изменения в схему опыта, чтобы получить лучшие результаты.

Аналитический способ

Разберем в этой работе некоторые простые приемы построения графиков по заданным формулам. Начертим на плоскости две взаимно-перпендикулярные прямые, горизонтальную и вертикальную, и обозначим через О их точку пересечения. Горизонтальную прямую назовем осью абсцисс, вертикальную - осью ординат. Каждая из осей делится точкой О на две полуоси, положительную и отрицательную, при этом правая полуось оси абсцисс и верхняя полуось оси ординат считаются положительными, а левая полуось оси абсцисс и нижняя полуось оси ординат считаются отрицательными.

Положительные полуоси отметим стрелками. Местоположение каждой точки М на плоскости теперь можно определить парой чисел. Для этого опустим из точки М перпендикуляры на каждую из осей; эти перпендикуляры отсекут на осях отрезки ОА и ОВ.

Длину отрезка ОА, взятую со знаком + если А лежит на положительной полуоси, и со знаком -, если  А  лежит на отрицательной полуоси, будем называть абсциссой точки М и обозначать через х.

Аналогично длину отрезка 0В (с тем же правилом знака) будем называть ординатой точки М и обозначать через у.

Два числа х и у называются координатами точки М.

Каждая точка на плоскости имеет какие-то координаты.

Точки оси абсцисс имеют ординату, равную нулю, точки оси ординат имеют абсциссу, равную нулю.

Начало координат О (точка пересечения осей) имеет обе координаты, равные нулю.

Обратно, если даны любые два числа х и у любых знаков, то всегда можно построить точку М, имеющую абсциссу х и ординату у, для этого нужно на оси абсцисс отложить отрезок  ОА = х и из точки А восставить перпендикуляр АМ= у (с учетом знаков); точка М н будет искомой.

Пусть дана формула, для которой требуется построить график. В этой формуле должно быть указано, какие действия следует произвести над независимым переменным (обозначенным через х), чтобы получить значение интересующей нас величины (обозначаемой через у). Например, формула  показывает, что для получения значений величины у нужно независимое переменное х возвести в квадрат, прибавить единицу и единицу разделить на полученный результат. Если х принимает какое-либо числовое значение х0, то по нашей формуле и у примет некоторое числовое значение у0. Числа х0 и у0 определяют некоторую точку М в плоскости чертежа. Вместо х0 можно затем взять другое число х1 и по формуле сосчитать новое значение у1; пара чисел (х1, у1) определит новую точку М1  на плоскости. Геометрическое место всех точек, ордината которых связана с абсциссой данной формулой, и называется графиком, отвечающим этой формуле.

Табличный способ

Совокупность точек графика, вообще говоря, бесконечна, и мы не можем рассчитывать фактически построить по указанному правилу их все без исключения. Но мы обойдемся без этого. В большинстве случаев достаточно некоторого небольшого числа точек, чтобы иметь возможность судить об общем виде графика.

Способ построения графика «по точкам» или табличный способ состоит именно в том, что намечают некоторое число точек графика и соединяют эти точки (по возможности) плавной линией.

В качестве примера рассмотрим график функции .  Составим таблицу: 

В первую строку мы занесли значения х: = -3, -2, -2, 0, 1, 2, 3. Чаще всего выбирают для х целые значения, так как с ними легче вычислять. Во второй строке записаны соответствующие значения у, найденные из формулы . Отметим соответствующие точки на плоскости.

Соединяя их плавной линией, получаем график.

Правило построений «по точкам», как мы видим, чрезвычайно просто и не требует никакой «науки». Но, тем не менее, может быть именно поэтому, слепое следование правилу «по точкам» может привести к большим ошибкам.

Построим «по точкам» кривую, данную уравнением .

Таблица значений х и у, соответствующая этому уравнению, следующая:

Соответствующие точки на плоскости показаны на рисунке. Этот чертеж весьма похож на только что приведенный;

Соединяя отмеченные точки плавной кривой, мы получаем график.

Кажется, на этом можно было бы положить карандаш и успокоиться: искусство строить графики нами постигнуто! Но все-таки для контроля вычислим  у  для какого-нибудь промежуточного значения х, например x = 0,5. Вычисляем и получаем неожиданный  результат: при x = 0,5  значение y = 16. Это резко не соответствует нашему чертежу. И мы не гарантированы, что при вычислении у для других промежуточных значений х - а их ведь бесконечное множество - не получится еще больших несообразностей. Должно быть имеется что-то недостаточно обоснованное в самом способе построения графиков «по точкам».

Графический способ и преобразование графиков

Далее мы рассмотрим другой способ построения графиков, более надежный в смысле предохранения от неожиданностей, подобных той, с которой мы только что встретились. По этому способу - назовем его, например, «по действиям» - нужно произвести непосредственно на графиках все те действия, которые записаны в данной нам формуле - сложение, вычитание, умножение, деление и т. д.

Рассмотрим несколько простейших примеров. Построим график, соответствующий уравнению y = x.

Это уравнение говорит, что все точки искомой линии графика имеют равные абсциссы и ординаты. Геометрическое место точек, имеющих ординату, одинаковую с абсциссой, есть биссектриса угла между положительными полуосями и угла между отрицательными полуосями. График, отвечающий уравнению y = kx  с некоторым коэффициентом k, получается из предыдущего умножением каждой ординаты на одно и то же число k. Пусть, например, k = 2; каждую ординату предыдущего графика нужно удвоить, и в результате мы получим прямую, более круто поднимающуюся кверху. С каждым шагом вправо по оси х новая прямая поднимается на два шага вверх по оси у. Между прочим, это позволит легко выполнить построение. В общем случае графиком уравнения y = kx    является прямая.

Рассмотрим график функции y = kx + b.  Если b > 0, то график функции y = kx  сдвинется на b единиц вверх по оси у. При b < 0 график функции y = kx   сдвинется на b единиц вниз по оси у.

 Теперь, действуя так же, как и выше, можно построить более сложную .

Первая из них получается умножением всех ординат параболы  y = x2  – мы будем называть ее стандартной параболой – на число а.

При  получится похожая кривая, но более круто поднимающаяся кверху.

 При  кривая будет более пологой, а при  ее ветви опрокинутся вниз (рис. 6). Кривая получится из кривой сдвигом ее кверху на отрезок b.

Если же , то сдвигать кривую придется не вверх, а вниз. Все эти кривые также называются параболами.

Проверочные работы

 Исследование функций

1.   Является четной или нечетной функция: а) ; б) ;

в) ; г) .

2.   Найдите нули функции и области положительных и отрицательных значений:

а) ; б) ; в) ; г) .

3.   Найдите промежутки возрастания и убывания функции: а) ;

б) ; в) ; г) .

4.   Решите графически уравнение: а) ; б) ; в) ;

г) .

5.   Не выполняя построения, определите, пересекаются ли: а) парабола  и прямая у = 20 – 3х; б) окружность  и прямая у = 2х; в) парабола  у = х2 - 3 и график функции ; г) окружность  и парабола .

Система оценивания: а) – 3б., б) – 4б., в) – 5б., г) – 6б.

                                       «6» -           26-30 б.

                                       «5» -           21-25 б.

                                       «4» -           16-20 б.

                                       «3» -           11-15 б.

                                       «2» -           6-10 б.

                                              «1» -           0-  5 б.

Практическое занятие

Преобразование графиков и элементарное исследование функций.
Понятие о непрерывности функции

Цель работы:

1. Построение графиков функций на основе изученных преобразований графиков.
2. Чтение графиков на основе алгоритма исследования функции.
3. Получить новые знания и применить эти знания в решении нестандартных задач.

I.    Повторить следующие теоретические вопросы по основному курсу алгебры:

1. Вспомнить известные преобразования графиков функций и объяснить, что при этом происхо-  дит с графиком исходной функции.
2. Что необходимо знать для описания свойств функции и чтения графика?
3. Решение каких опорных задач включает в себя схема исследования функции?

II. Ответить на вопросы:

1.   Указать вид преобразований заданных функций:

а) ;               б) ;             в) ;

г) , ;          д) ;                   е) ;

ж) ;                   з) ;                   и) .

2.   Известно, что функция y = f(x)  возрастает на промежутке [-1; 3]. В каких точках этого промежутка она принимает наибольшее и наименьшее значения?

3.   Функция f(x), определенная на отрезке [a; b], принимает наибольшее значение во внутренней точке этого отрезка. Может ли она быть возрастающей (убывающей) на этом промежутке?

4.   Функция f(x) определенная на промежутке (a; b), принимает наименьшее значение в некоторой точке x0 этого промежутка. Можно ли утверждать, что она является: а) ограниченной сверху; б) ограниченной снизу? Приведите пример.

Контрольная работа

Функции. Графики функций

Подготовка к зачету (самостоятельная работа/домашнее задание)

I.         Решить следующие упражнения:

1.   Найти область определения функций:

а)  y = x2 ;              б)  y = x2  - 5x + 6;         в) .

2.   Изобразите график некоторой функции, определенной на отрезке [-2; 5]:

а) непрерывной на этом отрезке;               б) имеющий разрыв в точке x=2.

3.   Постройте графики приведенных ниже функций. С помощью графиков выясните, какие из функций обладают свойством принимать промежуточные значения:

а)  б)  в)

4.   Постройте графики приведенных ниже функций. Выясните, какие из них непрерывны в точке , и какие разрывные в этой точке:

а) y = x - 1;           б)           в)

5.   Исследовать функцию  на четность и нечетность.

6.   Доказать, что функция   y = x + 2  возрастает на всей области определения.

7.   Изобразите график какой-либо функции, заданной на промежутке [a; b] и принимающей наибольшее и наименьшее значения во внутренних точках этого промежутка.

8.   Найти область изменения функции .

9.   Построить графики функций: а) ;                     б) ;

в) ;                         в) ;                  г) .

10.   Постройте график функции . Найдите ее наибольшее и наименьшее значения на отрезке .

11.   Функция f(x), определена и непрерывна на отрезке [a; b]. Точка x0  середина этого отрезка. Пусть p наибольшее значение этой функции на отрезке [a; x0], q  наибольшее значение на отрезке [x0; b]. Докажите, что наибольшее из чисел p и q есть наибольшее значение функции на отрезке [a; b].

12. Пусть функция  f(x) в точках a и b принимает значения разных знаков. Отрезок [a; b] разделен на 10 равных частей тачками a, a+h, a+2h, ..., a+9h, b, где . Докажите, что если ни одной из этих 11 точек функция не обращается в нуль, то найдутся две соседние точки, в которых функция принимает значения разных знаков. Справедливо ли это утверждение, если функция   f(x)  не является непрерывной?

II.      Выполнить задание и проверить правильность его выполнения:

1.   Постройте схематично графики соответствующие данным функциям:

2.   Графики каких функций у первого и второго вариантов совпали.

3.    Провести исследование функции под буквой д) по общей схеме исследования функции.