Методические материалы для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по решению квадратных уравнений различными способами.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (8, 9, 10, 11 класс)

Методические материалы для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по решению квадратных уравнений различными способами.

Квадратные уравнения изучают в 8 классе. Умение решать их совершенно необходимо, поскольку решения квадратного уравнения – это базовая тема школьного курса математики. Алгоритм решения квадратных уравнений давно общеизвестен. Иногда немало времени уходит на их решение. Потребность в быстром решении квадратных уравнений обусловлена тем, что время, отводимое на сдачу ОГЭ и ЕГЭ, ограничено. В учебниках по алгебре рассматриваются только три способа решения квадратных уравнений.

А возможны ли другие способы решения уравнений?

Способы решения квадратных уравнений.

1. Решение с использованием формулы корней квадратного уравнения.

Уравнение вида , где а, в и с – заданные числа (а≠0) называют квадратным уравнением.

D = – дискриминант,   – формула корней.

Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней.

Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень, который вычисляется по формуле: .

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые вычисляются по формуле: .

Пример:

D =  =

 = ,

Ответ: -1; -.

Для самостоятельного решения:

1.  ;
2. ;
3.  ;
6. ;
7. .

Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта! Даже неполное.

2. Решение методом выделения полного квадрата.

Метод выделения полного квадрата основан на формулах квадрата суммы и квадрата разности

;

;

Этот способ удобен для решения квадратных уравнений, в которых второй коэффициент – четное число, а первый коэффициент (старший) является квадратом числа.

Решим уравнение .

Выделим в левой части полный квадрат. Для применения формулы квадрата разности необходимо получить выражение

Заметим, что  и в выражении  не хватает слагаемого 3². Тогда к исходному квадратному трехчлену прибавим 3²=9 и отнимем 9, чтобы получить равное выражение, после чего выделим квадрат разности (х – 3)² и суммируем оставшиеся числа.

=(х² - 6х + 9) – 9 + 7 = (х – 3)² -2. Далее решим уравнение

(х – 3)² - 2 = 0

(х – 3)² = 2

  х – 3 =               х =

  х – 3 = - ;          х = -  + 3.

Ответ: -

Пример:

Вспомним условие (второй коэффициент – четное число, а первый (или старший) коэффициент является квадратом числа.

, умножим уравнение на 2, чтобы второй коэффициент стал четным.

, умножим уравнение на 6, чтобы первый коэффициент стал квадратом числа 6.

, теперь выделим полный квадрат. Т.к. 36х² = (6х)², а 60х = 2·6х·5, то не хватает слагаемого 5² = 25.

(6х – 5)² -1 = 0

(6х – 5)² = 1

 6х – 5 = 1               6х = 6           х = 1

 6х – 5 = -1;            6х = 4;          х = .

Ответ:  ; 1.

Для самостоятельного решения:

2.1 ;

2.2

2.3 ;

2.4 ;

2.5 ;

2.6

2.7

3) Метод коэффициентов.

В уравнении , a, b и c – коэффициенты.

а) Если в квадратном уравнении сумма коэффициентов a + b + c = 0, то один корень 1, а второй .

б) Если в квадратном уравнении второй коэффициент b = a + c, то один корень -1, а второй -.

Пример:

a = 10, b = -13, c = 3.

a +b + c = 10 +(-13) + 3 = 0, значит  = 1,  =  =  = 0,3

Ответ: 0,3; 1.

Пример:

а = 2, в = 5, с = 3.

в = а + с, 5 = 2 + 3, значит  = -1,  = -   = -  = - 1,5.

Ответ: -1,5; -1.

Для самостоятельного решения:

3.1. ;

3.2.

3.3. ;

3.4.

3.5. ;

3.6.

3.7.

в) Если в квадратном уравнении выполняется условие ас + 1 = - в, то =  ,  = с.

г) Если в квадратном уравнении выполняется условие ас + 1 = в, то = - , = - с.

Пример:

а = 2, в = 7, с = 3.

Заметим, что ас + 1 = в, 2·3+1=7, значит = - ,  = - с = -3.

Ответ: -3; -.

Пример:

а= 10, в = - 111, с = 11.

Заметим, что ас + 1 = - в, 10·11 + 1 = -(-111), значит =  ,  = с = 11.

Ответ: 0,1; 11.

Для самостоятельного решения:

3.8.  

3.9.

3.10.

3.11.

3.12.

3.13

3.14.

4) Теорема, обратная теореме Виета.

Уравнение  называют приведенным квадратным уравнением.

Если некоторые два числа таковы, что их сумма равна второму коэффициенту приведенного квадратного уравнения, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно его свободному члену, то данные числа являются корнями этого приведенного уравнения.

Таким образом, из соотношений  следует, что  являются корнями квадратного уравнения .

Пример:

.

;         .

Надо подобрать корни  таким образом, чтобы их сумма равнялась 7, а их произведение равнялось 10 (обычно это делается в уме).

Единственные числа, которые подходят к этому условию – это 2 и 5, значит

Ответ: 2; 5.

Для самостоятельного решения:

4.1. ;

4.2. ;

4.3. ;

4.4. ;

4.5. ;

4.6. ;

4.7. .

Ответы:

1. -2; 0,75.
2. Корней нет.
3. 1.
4.  .
5. .
6. −1; 5.
7. -1; 2,5.

1. -5; 3.
2. -0,4; 2.
3. -1,5; 1.
4. ;
5. −2; 8.
6. -2; 0,5.
7. -0,2; 0,5.

1. 1; 0,6.
2. -1; -0,75.
3. -1; 9.
4. -1; -.
5. -0,4; 1.
6. -1;
7. -1,5; -1.
8. -0,25; 16.
9. -; 2.
10. -0,2; -6.
11. -12;
12.  ; 5.
13.  ; -5.
14. - ; 11.

1. 2; 3.
2. -1; 9.
3. -10; 9.
4. -4; 7.
5. -2; 8.
6. -11; 2.
7. 2; 33.