Олимпиадные задания.
олимпиадные задания по алгебре (7, 8 класс)

Олимпиадные задания, 8 класс

1. Дед Мороз решил упаковать подарки по коробкам, чтобы их было удобнее перевозить. Сначала он разложил их по 4 штуки в каждую коробку, потом по 5, затем по 6 и всегда оставался один подарок. Тогда он решил положить в каждую коробку по 7 штук и тогда лишних подарков не осталось. Сколько было подарков, если известно, что их было меньше 400?

2. Треугольник со сторонами 2,3 и 3 разрезали на четыре подобных ему треугольника. Каковы могут быть коэффициенты подобия?

(1/2 и 6/13; 4/13, 9/13, 6/13)

3. Найдите цифры X, Y, Z если XY*XY=XZZ

4. Решить уравнение

5. В треугольнике АВС известно, что АВ = 3, ВС = 4, СА = 6. На ВС взята точка М так, что СМ = 1. Прямая, проходящая через точку М перпендикулярно биссектрисе угла АСВ, пересекает АС в точке N, а прямая, проходящая через точку N перпендикулярно биссектрисе угла ВАС, пересекает прямую АВ в точке K. Найдите ВK и АK.

Олимпиадные задания, 7 класс

1. Найдите наименьшее десятизначное натуральное число, все цифры которого различны, такое, что при вычёркивании всех чётных цифр остаётся 97531, а при вычёркивании всех нечётных цифр — 02468.
2. Дан равнобедренный треугольник 𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐵 = 𝐵𝐶). На сторонах 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 отметили точки 𝐾, 𝐿, 𝑀 соответственно так, что ∠𝐴𝐾𝑀 = 90∘ , ∠𝐵𝐿𝐾 = 90∘ и 𝐾𝑀 = 𝐾𝐿. Чему равен угол 𝐶𝑀𝐿?

3. Три подруги вышли в белом, синем, зеленом платьях и туфлях таких же цветов. Известно, что только у Ани цвет платья и туфель совпадает. Ни платье, ни туфли Вали не были белыми. Наташа была в зеленых туфлях. Определить цвет платья и туфель каждой подруги.

4. Расположите на плоскости 6 отрезков так, чтобы каждый из них пересекался ровно с тремя другими.

5. Разделите семь яблок поровну на 12 человек, не разрезая яблоки более чем на 4 части.