Непрерывные случайные величины
статья по алгебре (10, 11 класс)

Опубликовано 20.05.2025 - 10:29 - Андреева Дарья Михайловна

Непрерывные случайные величины принимают значения из непрерывного промежутка (например, интервала или всей числовой прямой), что означает их способность описывать измерения с бесконечной точностью. Они характеризуются функцией плотности вероятности, где вероятность попадания в интервал вычисляется интегрированием. В отличие от дискретных величин, отдельные значения имеют нулевую вероятность. Примеры включают время, длину, температуру. В данной статье приведены конкретные примеры непрерывных случайных величин.

Скачать:

Вложение	Размер
statya_nepreryvnye_sluchaynye_velichiny.docx	83.25 КБ

Предварительный просмотр:

Многие случайные величины таковы, что множество их значений полностью заполняют собой какой-то промежуток. Такие случайные величины называют непрерывными.

Например, V – вес новорожденного ребенка. Эта величина может принимать любое значение из некоторого промежутка, определить который можно только, исходя из опыта.

Перебрать все возможные значения такой величины, чтобы составить таблицу распределения вероятностей, невозможно. Да и говорить о вероятности того, что случайно выбранный младенец будет иметь вес, например, 3,567103 кг странно. Но можно говорить о вероятности того, что эта величина попадет в определенный интервал. Допустим, по статистическим данным в каком-то регионе определены относительные частоты того, что V примет значение из определенного интервала:

V, кг	2-2,4	2,4-2,8	2,8-3,2	3,2-3,6	3,6-4	4-4,4
w	0,03	0,1	0,3	0,4	0,12	0,05

Построим полигон относительных частот

Сузим интервалы, получим новые значения вероятностей

V, кг	2-2.2	2,2-2,4	2,4-2,6	2,6-2,8	2,8-3,0	3,0-3,2	3,2-3,4	3,4-3,6	3,6-3,8	3,8-4,	4-4,2	4,2-4,5
w	0,01	0,02	0,03	0,07	0,12	0,18	0,21	0,19	0,07	0,05	0,03	0,02

Сужая и дальше интервалы, мы будем получать относительные частоты, все более точно описывающие вероятность конкретного значения случайной величины V в ее статистическом смысле. При этом верхняя граница гистограммы будет все больше приближаться к некоторой кривой.

Таким образом вводится понятие функции плотности распределения случайной величины f(x) значения которой в некотором смысле можно считать вероятностью случайной величины х.

(Принимается, что вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение, равна 0. Это можно проиллюстрировать с помощью понятия геометрической вероятности.

Рассмотрим еще раз задачу: Абонент ждет вызова с двух до трех часов. Какова вероятность события В= {этот вызов произойдет ровно в 2 ч 30 мин}?

2:00 3:00

А В D

В соответствии с представлением о геометрической вероятности вероятность наступления события В равна отношению длины «нужного» отрезка времени к общей длине. Но длина «нужного» отрезка равна 0.

Р(В)= . Поэтому и говорят в этом случае не о функции вероятности, а о функции плотности вероятности и рассматривают вероятность того, что случайная величина примет не конкретное значение, а попадет в определенный промежуток.)

Допустим, в рассмотренном ранее примере с временем подачи сигнала мы захотим выяснить, с какой вероятностью

Учитывая, что площадь всех столбиков гистограммы в сумме равна 1, в пределе площадь подграфика графика f(x) также будет равна 1, что соответствует полной вероятности события.

Мы уже знакомились на примере дискретных случайных величин с биноминальным и геометрическим законами распределения.

Простейшее из непрерывных распределений – равномерное, с помощью которого моделируются многие реальные процессы. И самый распространённый пример – это график движения общественного транспорта. Предположим, что некий автобус (троллейбус / трамвай) ходит с интервалом в 10 минут, и вы в случайный момент времени подошли к остановке. Какова вероятность того, что автобус подойдёт в течение 1 минуты? Очевидно, 1/10-я. А вероятность того, что придётся ждать 5 минут? Тоже 1/10. А вероятность того, что автобус придётся ждать более 9 минут? Одна десятая!

Если случайная величина Х обладает постоянной плотностью распределения вероятностей на данном отрезке и нулевой плотностью вне него, то говорят, что она распределена равномерно. При этом функция плотности будет строго определённой: