«Действия над действительными числами»
план-конспект урока по алгебре (9 класс)

УРОК ДЛЯ 9 КЛАССА

Тема: «Действия над действительными числами»

(по программе, опираясь на идеи учебника Макарычева Ю. Н., 2025)

Цели урока

- Образовательные: повторить и систематизировать свойства действительных чисел; отработать вычисления с целыми числами, дробями, десятичными и радикалами; закрепить порядок выполнения действий.

- Развивающие: развить вычислительную культуру, умение рассуждать, проверять результаты (оценка по модулю, обратные операции).

- Воспитательные: аккуратность в записи, внимание к знакам, ответственность за результат.

Планируемые результаты (критерии успешности)

- Уметь выполнять операции сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень (целые/натуральные показатели) с действительными числами.

- Применять свойства: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность, существование нейтральных и обратных элементов.

- Правильно применять порядок действий и операции с отрицательными числами и корнями.

- Решать типовые вычислительные и упрощающие задания; давать проверку результата.

Необходимые предварительные знания

- Арифметика целых и рациональных чисел, дроби, десятичные, правило знаков, понятие корня квадратного и действительного числа.

- Основные свойства операций (вспомнить).

Материалы и оборудование

- Доска/маркер или интерактивная доска.

- Раздаточные карточки с заданиями (дифференцированные).

Ход урока

1) Организационный момент (1–2 минуты)

- Приветствие, настрой, цель урока, проверка готовности.

2) Мотивация / постановка проблемы (3–4 минуты)

- Короткий пример: вычислить и упростить выражения

1) A = (−3) · (−2) + 4 : (−2)

2) B = √(9) − (−3)

Попросите назвать ошибки, которые учащиеся часто допускают (знаки, корень ±, порядок действий). Обсудить: зачем важно владеть операциями над действительными числами (упрощение выражений, решение уравнений, анализ формул в физике, химии, экономике).

3) Изложение нового материала / систематизация (12–15 минут)

- Краткие определения/свойства (в виде тезисов):

- Множество действительных чисел R: включает рациональные и иррациональные числа.

- Замкнутость: при сложении, вычитании, умножении и делении (кроме деления на 0) результат остаётся действительным числом.

- Коммутативность (сложение, умножение): a + b = b + a; a·b = b·a.

- Ассоциативность (сложение, умножение): (a + b) + c = a + (b + c); (a·b)·c = a·(b·c).

- Дистрибутивность умножения относительно сложения: a(b + c) = ab + ac.

- Нейтральные элементы: 0 для сложения, 1 для умножения.

- Обратные элементы: для a существует −a; для a ≠ 0 существует 1/a.

- Правила знаков:

- (+)·(+) = +; (−)·(−) = +; (+)·(−) = −.

- При делении аналогично.

- Порядок действий (сокращённо): скобки → возведение в степень/корень → умножение и деление (слева направо) → сложение и вычитание (слева направо).

- Модуль: |a| — расстояние до 0; |a| ≥ 0; |a| = √(a^2).

- Корень квадратный √x определён для x ≥ 0; √x ≥ 0 — помнить, что запись √x даёт не «±», а только неотрицательный корень.

- Примеры на доске (шаг за шагом, с пояснениями):

1) (−3) · (−2) + 4 : (−2)

Решение: (−3)·(−2) = 6; 4:(−2) = −2; 6 + (−2) = 4.

2) (−2)^4 − (−2)^3

(−2)^4 = 16; (−2)^3 = −8; 16 − (−8) = 24.

3) √(49) + (−5) = 7 − 5 = 2.

4) Упрощение с дистрибутивностью: 3(−2x + 4) = −6x + 12.

5) С дробями и отрицательными: (−3/4) · (8/9) = (−24)/(36) = −2/3.

4) Фронтальная отработка (10–12 минут)

- Быстрая проверка усвоения (устно, называет ответ 3–4 ученика):

Упражнения для устного решения (за 1–2 минуты каждое):

a) (−5) + 7 − (−3) = ?

b) (−4) · 0,5 · (−2) = ?

c) 5 : (−1) + (−3) = ?

d) (−1)^5 = ? ; (−1)^6 = ?

- Обсуждение: где легко ошибиться и как проверять результат (приближённая оценка по модулю, проверка обратной операцией).

5) Работа в тетрадях / практическая часть (12–15 минут)

Раздать карточки с заданиями трёх уровней (А — базовый, В — средний, С — повышенной сложности). Ученики выбирают или учитель распределяет.

Уровень А (базовый, 4 задания):

1. Вычислить: (−7) + 12 : (−3)

2. Упростить: 2(−3x + 5) − (−x)

3. Вычислить: (−2)^3 + 3(−1)^2

4. Вычислить: (−3/5) · (10/9)

Уровень В (средний, 4 задания):

1. Упростить: 5 − [2(−3) + (−4)]

2. Вычислить: (−1,2) · (−0,5) + 0,3 : (−0,1)

3. Упростить выражение: (x − 2)(−3) + 4(2 − x)

4. Вычислить: √(16) − (−√(9))

Уровень С (повышенный, 4 задания):

1. Упростить и вычислить при x = −2: (−2x + 3)^2 − (x − 1)(x + 1)

2. Упростить: (−3)·(2a − 5) + (5 − 2a)·3

3. Доказать, что при любых действительных a, b: (a − b)^2 ≥ 0 → разложить и упростить.

4. Вычислить: (−8)^(2/3) — пояснить, как понимать показатель 2/3 (решение с корнями).

(Учитель ходит по классу, помогает, отмечает ошибки.)

6) Обсуждение результатов, разбор типичных ошибок (5–6 минут)

- Разбор решений на доске: выбрать по 1–2 задачи из каждого уровня и разобрать подробно.

- Частые ошибки:

- Неправильно обращение со скобками и знаком минус перед скобкой: −(a + b) = −a − b.

- Ошибка «±» при записи значения √x.

- Ошибки при возведении в степень отрицательного числа: −2^2 = −(2^2) = −4, но (−2)^2 = 4.

- Деление на 0 — недопустимо.

7) Подведение итогов, рефлексия (2–3 минуты)

- Кратко: что повторили, чему научились.

- Вопросы классу: что было трудным, что — простым.

8) Домашнее задание (обязательно с ответами/решением для самопроверки в следующем уроке)

Обязательное:

1. Вычислить:

a) (−6) + 8 : (−4)

b) (−3)^4 − 2·(−3)^2

c) (−1,5) · 2,4 + 3 : (−0,5)

2. Упростить:

a) 4(−x + 2) − 2(2x − 1)

b) (a − b)(−3) + 3(b − a)

3. Объяснить, почему √(x^2) = |x|, привести примеры.

Дополнительное (для сильных учеников):

1. Вычислить и упростить: (−8)^(4/3) и (−8)^(2/3) — прокомментировать разницу в значениях и способе вычисления.

2. Исследовать знак выражения: (x − 1)(x + 2) при x = 0, x = −3, x = — выводы.

Ключи и подробные решения (для учителя / учеников)

Фронтальные примеры (доска)

- (−3)·(−2) + 4:(−2) = 6 − 2 = 4.

- (−2)^4 − (−2)^3 = 16 − (−8) = 24.

Решения задач уровня А:

1. (−7) + 12 : (−3) = −7 + (−4) = −11.

2. 2(−3x + 5) − (−x) = −6x + 10 + x = −5x + 10.

3. (−2)^3 + 3(−1)^2 = −8 + 3·1 = −5.

4. (−3/5) · (10/9) = (−30)/(45) = −2/3.

Уровень В:

1. 5 − [2(−3) + (−4)] = 5 − [−6 − 4] = 5 − [−10] = 15.

2. (−1,2)·(−0,5) + 0,3:(−0,1) = 0,6 + (−3) = −2,4.

3. (x − 2)(−3) + 4(2 − x) = −3x + 6 + 8 − 4x = −7x + 14 (проверить: можно привести иначе).

4. √16 − (−√9) = 4 − (−3) = 7.

Уровень С:

1. При x = −2: (−2x + 3)^2 − (x − 1)(x + 1).

- (−2x + 3)^2 = (4x^2 − 12x + 9).

- (x − 1)(x + 1) = x^2 − 1.

Разность = (4x^2 − 12x + 9) − (x^2 − 1) = 3x^2 − 12x + 10.

При подстановке x = −2: 3·4 − 12·(−2) + 10 = 12 + 24 + 10 = 46.

2. (−3)(2a − 5) + (5 − 2a)·3 = −6a + 15 + 15 − 6a = −12a + 30 (или заметить, что это 3(5 − 2a) − 3(2a − 5) и т.п.; можно упростить до −12a + 30).

3. (a − b)^2 ≥ 0 — разложение: a^2 − 2ab + b^2 ≥ 0 (всегда ≥ 0).

4. (−8)^(2/3). Пояснение: показатель 2/3 = (2)/(3) = квадрат корня кубического. Сначала корень: ∛(−8) = −2, затем возвести в квадрат: (−2)^2 = 4. Значит (−8)^(2/3) = 4. Для (−8)^(4/3) = ((−8)^(1/3))^4 = (−2)^4 = 16 или как ((−8)^4)^(1/3) = 4096^(1/3) = 16 (совпадает).

Домашнее задание — решения (коротко):

) (−6) + 8:(−4) = −6 + (−2) = −8.

) (−3)^4 − 2·(−3)^2 = 81 − 2·9 = 81 − 18 = 63.

) (−1,5)·2,4 + 3:(−0,5) = −3,6 + (−6) = −9,6.

) 4(−x + 2) − 2(2x − 1) = −4x + 8 − 4x + 2 = −8x + 10.

) (a − b)(−3) + 3(b − a) = −3a + 3b + 3b − 3a = −6a + 6b = 6(b − a) (можно заметить структуру).

Проверочные вопросы (формативная оценка, 3–5 минут)

- Истинно/Ложно:

1) (−2)^2 = −4. (Ложно: (−2)^2 = 4)

2) √9 = ±3. (Ложно: √9 = 3; выражение x^2 = 9 имеет два решения ±3)

3) (−3)·(−4) = −12. (Ложно: = 12)

4) Деление на 0 допустимо. (Ложно)

Дифференциация работы с классом

- Для слабых: упрощённый набор устных упражнений, использование карточек с подсказками (шаги вычислений, правило знаков).

- Для сильных: задачи с дробными степенями, доказательство свойств, исследование выражений на знак.

Методы проверки и оценивания

- Наблюдение за работой во время практики.

- Быстрая письменная контрольная (5–7 минут) в конце урока: 3–4 коротких задания; оценивание по критериям (правильность вычислений, аккуратность, использование свойств).

- Критерии: 3–4 верных задания — «удовлетворительно», 5–6 — «хорошо», 7+ — «отлично» (адаптировать под количество заданий).

Дополнительные замечания учителю

- Обращать внимание на форму записи степени: −2^2 и (−2)^2 — разные значения, показывать на примерах.

- Корень квадратный даёт неотрицательное число; при решении уравнений с квадратом учитывать ± как решения уравнения, но не как результат √.

- При работе с дробными степенями проговорить порядок действий: сначала корень, затем степень, или использовать свойства степеней для упрощения.

Ниже — комплект дополнительных материалов в формате, готовом для превращения в печатные раздаточные карточки (PDF), короткий тест на 10 вопросов с ответами и инструкциями для автоматической проверки, а также подробный поминутный план двойного урока (90 минут) с лабораторной работой на компьютерах. Вся информация оформлена в Markdown — удобно скопировать в Word / GoogleDocs и экспортировать в PDF.

Содержание:

1. Инструкция по печати карточек.

2. Раздаточные карточки (задания) — фронт (вопросы) и бэк (ответы/решения).

3. Короткий тест (10 вопросов) с ключом и рекомендациями для автопроверки (GoogleForms / Moodle / LMS).

4. Подробный план двойного урока (90 минут) с таймингом и лабораторными заданиями на компьютерах.

5. Дополнительные материалы: примеры кода (Python), формулы для таблиц (Excel/GoogleSheets), критерии оценки и предлагаемые дифференцированные задания.

------------------------------------------------------------

1) Инструкция по подготовке PDF карточек

- Скопируйте блок «Раздаточные карточки» (ниже) в Word или GoogleDocs.

- Для карточек: расположите тексты карточек в колонки (2 колонки на страницу) или используйте шаблон «этикетки» — можно 4 карточки на лист (A4) по одной стороне. На обратной стороне разместите ответы (в том же порядке) или распечатайте ответы на отдельном листе.

- Рекомендация макета: карточка размером ~90×140 мм (4 на лист А4 в две колонки × две строки). Обрежьте по линиям.

- Экспорт: Файл → Экспорт → PDF.

------------------------------------------------------------

2) Раздаточные карточки (вопросы + ответы)

Распечатайте карточки с заданиями для уровней A (базовый), B (средний) и C (повышенный). На одной стороне — задания, на обратной — ответы и краткие решения (или распечатайте ответы отдельно).

Карточки уровня A (4 задания)

Карточка A1 — Задание

1) Вычислите: (−7) + 12 : (−3)

Карточка A1 — Ответ

1) 12 : (−3) = −4; (−7) + (−4) = −11.

Карточка A2 — Задание

2) Упростите: 2(−3x + 5) − (−x)

Карточка A2 — Ответ

2) 2(−3x + 5) − (−x) = −6x + 10 + x = −5x + 10.

Карточка A3 — Задание

3) Вычислите: (−2)^3 + 3(−1)^2

Карточка A3 — Ответ

3) (−2)^3 = −8; (−1)^2 = 1 → 3·1 = 3; −8 + 3 = −5.

Карточка A4 — Задание

4) Вычислите: (−3/5) · (10/9)

Карточка A4 — Ответ

4) (−3/5)·(10/9) = (−30)/(45) = −2/3.

———————————————————————

Карточки уровня B (4 задания)

Карточка B1 — Задание

1) Упростите: 5 − [2(−3) + (−4)]

Карточка B1 — Ответ

1) 2(−3) = −6; −6 + (−4) = −10; 5 − (−10) = 15.

Карточка B2 — Задание

2) Вычислите: (−1,2)·(−0,5) + 0,3 : (−0,1)

Карточка B2 — Ответ

2) (−1,2)·(−0,5) = 0,6; 0,3:(−0,1) = −3; 0,6 − 3 = −2,4.

Карточка B3 — Задание

3) Упростите выражение: (x − 2)(−3) + 4(2 − x)

Карточка B3 — Ответ

3) (x − 2)(−3) = −3x + 6; 4(2 − x) = 8 − 4x; сумма = −7x + 14.

Карточка B4 — Задание

4) Вычислите: √16 − (−√9)

Карточка B4 — Ответ

4) √16 = 4; √9 = 3; 4 − (−3) = 7.

———————————————————————

Карточки уровня C (4 задания).

Карточка C1 — Задание.

1) Упростите и вычислите при x = −2: (−2x + 3)^2 − (x − 1)(x + 1)

Карточка C1 — Ответ.

1) (−2x + 3)^2 = 4x^2 − 12x + 9; (x − 1)(x + 1) = x^2 − 1; разность = 3x^2 − 12x + 10. При x = −2: 3·4 − 12·(−2) + 10 = 12 + 24 + 10 = 46.

Карточка C2 — Задание

2) Упростите: (−3)·(2a − 5) + (5 − 2a)·3

Карточка C2 — Ответ

2) (−6a + 15) + (15 − 6a) = −12a + 30 = 6(5 − 2a).

Карточка C3 — Задание

3) Докажите алгебраически, что при любых a, b ∈ R: (a − b)^2 ≥ 0, разложив выражение.

Карточка C3 — Ответ

3) (a − b)^2 = a^2 − 2ab + b^2. Квадрат числа неотрицателен ⇒ выражение ≥ 0 для любых a, b.

Карточка C4 — Задание

4) Вычислите: (−8)^(2/3) и поясните порядок действий при показателе 2/3.

Карточка C4 — Ответ

4) (−8)^(2/3) = ( (−8)^(1/3) )^2 = (−2)^2 = 4. (Сначала берём кубический корень — единственный действительный корень, затем возводим в квадрат.).

------------------------------------------------------------

3) Короткий тест (10 вопросов) — для автоматизированной проверки.

Рекомендация: импортируйте вопросы в GoogleForms / Moodle / Quizizz. Для числовых ответов укажите допустимую погрешность (напр., ±).

Тест (время: 10 минут).

Вариант содержит 10 вопросов: 7 с выбором ответа (MCQ), 3 — краткий числовой ответ.

Вопрос 1 (MCQ).

1) (−3)·(−2) + 4:(−2) =

A) 2 B) 4 C) 0 D) −4

Правильный ответ: B.

Вопрос 2 (MCQ).

2) (−2)^4 − (−2)^3 =

A) 8 B) −24 C) 24 D) −8

Правильный ответ: C.

Вопрос 3 (MCQ).

3) √9 =

A) −3 B) 3 C) ±3 D) 0

Правильный ответ: B (пояснение: √9 = 3; уравнение x^2 = 9 имеет два корня ±3).

Вопрос 4 (MCQ).

4) −2^2 =

A) 4 B) −4 C) 0 D) 2

Правильный ответ: B (т.к. −2^2 = −(2^2)).

Вопрос 5 (MCQ).

5) (−3/5)·(10/9) =

A) −2/3 B) 2/3 C) −1/3 D) 1/3

Правильный ответ: A.

Вопрос 6 (MCQ).

6) Какое из равенств верно?

A) (a + b)^2 = a^2 + b^2

B) (a − b)^2 = a^2 − 2ab + b^2

C) (a + b)^2 = a^2 − 2ab + b^2

D) (a − b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Правильный ответ: B

Вопрос 7 (MCQ).

7) (−8)^(2/3) =

A) −4 B) 4 C) 16 D) −16

Правильный ответ: B.

Вопрос 8 (числовой ответ)

8) Вычислите: (−7) + 12:(−3) =

Введите число: (правильный ответ: −11).

Вопрос 9 (числовой ответ).

9) Упростите: 2(−3x + 5) − (−x). При x = 2 вычислите значение выражения.

(Правильный ответ: для x=2: −5x + 10 = −10 + 10 = 0).

Введите число: (правильный ответ: 0).

Вопрос 10 (числовой ответ).

10) При x = −2 найдите значение выражения: (−2x + 3)^2 − (x − 1)(x + 1).

(Правильный ответ: 46).

Введите число: (правильный ответ: 46).

Ключ ответов (для импорта/автопроверки).

1:B; 2:C; 3:B; 4:B; 5:A; 6:B; 7:B; 8:−11; 9:0; 10:46

можно объединить в отдельный лист «ответы/решения»)