Конспект урока по теме Показательная функция 10 класс
план-конспект занятия по алгебре (10 класс)

Выполнил

Гилев Максим Сергеевич (группа №6)

(ФИО) 

1. Подготовка к изучению нового материала

Учитель сообщает учащимся: «На сегодняшнем уроке мы познакомимся с новым понятием «Показательная функция», подумайте, с каким понятием оно связано».

Учащиеся предлагают свои варианты и в качестве верного ответа на вопрос выдвигают понятие «Степенная функция» (учащиеся записывают в тетради дату и тему урока).

Фронтальная беседа с классом: «Да, вы верно определили понятие, теперь наша задача вспомнить понятия степенной функции, основания и показателя степени, арифметического корня, а также основные свойства степени, при , где  – любые действительные числа».

1.  = ;
2.  = ;
3.  = ;
4.  = ;
5.  = ;
6. ;
7. , если ;
8. , если ;
9. , если

(предполагается, что учащиеся самостоятельно отвечают на вопросы и осуществляют повторение свойств степени, при необходимости используют учебник).

«А теперь проверим ваши знания на практике, давайте выполним следующее упражнения»:

№1. Вычислите (устно):

а) ;   б)

№2. Упростите выражение:

, при .

№3. Решите (устно):

а) 

б)

№4. Решите:

а)      

б)

№5. Постройте график функции:

Учащиеся выполняют упражнения в тетради, часть учащихся выполняют упражнения у доски, после происходит коллективная форма проверки.

№1. а)    б) ;

№2.  

№3. а)    б)

№4. а) ;

 и

б) ;

ОДЗ: ;

№5.

«Мы с вами, верно, вспомнили изученный материал, а теперь давайте сформулируем цель нашего урока».

Учащиеся самостоятельно выдвигают основную учебную цель, в зависимости от темы урока: ознакомление с функцией y = , ее свойствами и графиком (выдвинутая учащимися цель грамотно комментируется учителем и подкрепляется словами о развивающей и воспитательной целях).

«Как вы знаете, у степенной функции в показателе степени присутствует число, а аргументом является основание степени. Но также на практике мы можем встретить функции, когда основание степени – это, наоборот, число, а показатель степени – это аргумент функции, приведите примеры таких функций».

Учащиеся предлагают свои варианты (например, у =  и у =  и т.д.).

2. Введение определения показательной функции и ее графиков

На доске сделана запись: у = , .

«Давайте попробуем определение сформулировать и записать в тетрадь, как оно будет, по-вашему, звучать»?

Учащиеся предлагают свои варианты и в качестве верного ответа на вопрос выдвигают «Функция вида у = , где  – заданное число, » (в дальнейшем, эту формулировку записывают в тетрадь).

«А теперь повторите, пожалуйста, данное определение».

Ученики с места повторяют определение. Возможен вариант хорового ответа.

«Что мы с вами можем сказать о значении , если  будет равно 1»?

«Значение  всегда будет равно 1».

«Ознакомившись с графиками функции, давайте сформулируем свойства каждого графика, начнем с первого» (учитель предоставляет возможность учащимся самостоятельно сформулировать свойства под его текущим контролем).

•  область определения:

;

•  область значений:

;

•  функция возрастает, т. е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции;
•  если аргумент стремится к , функция стремится к нулю, если аргумент стремится к , функция стремится также к .

«А теперь рассмотрим свойства второго графика функции» (учитель предоставляет возможность учащимся самостоятельно сформулировать свойства под его текущим контролем).

•  область определения:

;

•  область значений:

;

•  функция убывает, т. е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции;
•  если аргумент стремится к , функция стремится к , если аргумент стремится к , функция стремится также к нулю.

3. Введение свойств показательной функции и их доказательства

«Мы с вами сформулировали свойства для двух основных видов показательной функции, а теперь сформулируем общие свойства для любой показательной функции» (учитель предоставляет возможность учащимся самостоятельно сформулировать свойства под его текущим контролем, учащиеся их записывают в тетрадь).

•  область определения:

;

•  область значений:

;

•  показательная функция является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если , и убывающей,  если .

«Давайте докажем каждое из этих свойств, почему область определения – это множество всех действительных чисел»? (учитель предоставляет возможность учащимся самостоятельно сформулировать свойства под его текущим контролем).

Учащиеся предлагают свои варианты и в качестве верного доказательства  выдвигают утверждение «Поскольку степень , при  определена для всех  (в дальнейшем, эту формулировку записывают в тетрадь).

«А почему множество значений показательной функции – это множество всех положительных чисел»? (учитель предоставляет возможность учащимся самостоятельно сформулировать свойства под его текущим контролем).

Учащиеся предлагают свои варианты и в качестве верного доказательства выдвигают утверждение «Поскольку из свойства степени (6) следует, что уравнение , при  и  имеет корень, при любом , и не имеет корней, при , это значит, что любая прямая , где , пересекается с графиком показательной функции» (эту формулировку учащиеся записывают в тетрадь).

«А почему показательная функция является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если , и убывающей,  если »? (учитель предоставляет возможность учащимся самостоятельно сформулировать свойства под его текущим контролем).

Учащиеся предлагают свои варианты и в качестве верного доказательства  выдвигают утверждение «Поскольку из свойств степени (8,9) следует, что , если ; , если , имеем, что функция возрастает при  и убывает, при »  (в дальнейшем, эту формулировку записывают в тетрадь).

4. Усвоение определения и свойств показательной функции через примеры

«А теперь давайте построим графики функций у =  и у =  и выделим их основные свойства» (учитель вызывает к доске двух учащихся, которые и осуществляют построение).

•  если  и возрастает, то график быстро поднимается вверх;
•  если  и убывает, то график быстро приближается к оси Ox (но не пересекает ее);
•  такой вид имеет график любой функции , если .

•  если  и убывает, то график быстро поднимается вверх;
•  если  и возрастает, то график быстро приближается к оси Ox (но не пересекает ее);
•  такой вид имеет график любой функции , если .

5. Мотивация использования показательной функции при описании различных физических процессов

«Вы могли встречаться с показательной функцией на уроках физики, так как она часто используется при описании различных физических процессов, с ее помощью выражается зависимость давления воздуха от высоты подъема, ток самоиндукции в катушке после включения постоянного напряжения, находится радиоактивный распад»

Учащиеся подтверждают, встречались ли с данной функцией на уроках физики или нет.

6. Введение формулы радиоактивного распада и усвоение через пример

«Давайте посмотрим, как находится радиоактивный распад, он описывается следующей формулой: , где  и  – это масса радиоактивного вещества в момент времени  и в начальный момент времени ,  – период полураспада, т.е. промежуток времени, за который первоначальное количество вещества уменьшается вдвое».

Учащиеся записывают эту формулу себе в тетрадь.

«Давайте решим задачу. Период полураспада плутония равен 140 суткам. Сколько плутония останется через 10 лет, если его начальная масса равна 8 грамм»?

Учащийся самостоятельно решают в тетради задачу и при помощи микрокалькуляторов вычисляют значение  грамм.

7. Отработка материала решением «типовых» задач

«Проверим себя, насколько хорошо вы усвоили материал. Давайте с вами вместе устно выполните следующие упражнения из учебника: №195 и №199» (ученики с места дают комментированное объяснение и совместно с учителем происходит устная проверка).

№195. Сравнение чисел при помощи свойств возрастания и убывания функции: 1) ; 2) ; 3) ; 4); 5); 6).

№199. Выяснение, функция является возрастающей или убывающей: 1,2,4 – возрастающая; 3 – убывающая.  

«А теперь каждый самостоятельно в своей тетради выполнит упражнения из учебника: №192 и №197(1,3)» (учитель контролирует ход выполнения упражнений и индивидуально осуществляет проверку).

№192. Графики функций  и .

№197(1,3). Координаты точки пересечения графиков функций 1) у =  и у = ;  3) у =  и у = :

1) ; 3) .

8. Подведение итогов урока

«Давайте с вами вспомним, что мы изучили на уроке, для этого ответим на вопросы»: 1)Какая функция называется показательной, приведите примеры? 2)Каковы области определения и значений функции ? 3)Что является множеством значений  любой показательной функции? 4)Какова область определения показательной функции? 5)Какими свойствами обладает «наша» функция и где с ней можно встретиться? 6)При каком условии «наша» функция является возрастающей, а при каком условии – убывающей?

Учащиеся посредством фронтального опроса отвечают на поставленные учителем вопросы.

«А теперь подведем итоги и осуществим рефлексию, что нового вы узнали, что вам было легко усвоить, а что вызывало определенные трудности»?

Учащиеся подводят итоги урока и отвечают на поставленные учителем вопросы.

9. Постановка домашнего задания

«Домашнее задание: изучить п.11, выполнить №194, №196 и 206, в рамках, которых вы осуществите построение графиков функции, сравнение чисел и воспользуетесь формулой радиоактивного распада при решении задачи»

Учащиеся записывают домашнее задание, задают необходимые вопросы.

Изначально записано на доске: у = , .

№2.  

№5.

№4.

а) ;

 и

б) ;

ОДЗ:

Учащиеся схематично выполняют построение графиков функций: , при  и :

Свойства показательной функции:

•  область определения: ;
•  область значений: ;
•  показательная функция является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если , и убывающей,  если .

Доказательства свойств:

1) Поскольку степень , при  определена для всех ;

2) Поскольку из свойства степени (6) следует, что уравнение , при  и  имеет корень, при любом , и не имеет корней, при , это значит, что любая прямая , где , пересекается с графиком показательной функции;

3) Поскольку из свойств степени (8,9) следует, что , если ; , если , имеем, что функция возрастает при  и убывает, при .

Учащиеся выполняют построение графиков функций у =  и у = , проговаривают их основные свойства:

Учащимся на доску выводится формула для нахождения радиоактивного распада: .