Методическая разработка урока; "Общие методы решения уравнений"
план-конспект урока по алгебре (11 класс)

Калиновский филиал Государственного бюджетного профессионального образовательного учреждения Республики Крым

 «Джанкойский профессиональный техникум»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

 открытого урока в логике ФГОС по теме

«Общие методы решения уравнений»

Подготовила:

                                                                                                    А.Р. Ибрагимова,                                                                                  

преподаватель математики

РАССМОТРЕНО И ОДОБРЕНО

на заседании ПЦК

 естественно-математических

 и электротехнических дисциплин

 04.04.2022 г.

 Председатель:                                                    

с. Калиновка, 2022 г.

Пояснительная записка

Представленный в данной методической разработке открытый урок разработан в КФ ГБПОУ РК «Джанкойский профессиональный техникум» для обучающихся по профессии 15.01.05 «Сварщик (ручной и частично механизированной сварки «наплавки»

          Урок проводится с обучающимися II курса и приобретение опыта по применению полученных знаний и умений в практической деятельности: решение уравнений.

Урок выстроен в соответствии с интересами обучающихся, их уровнем подготовки и развития.

При объяснение нового материала используется презентация «Общие методы решения уравнений».

Общие методы решения уравнений – это такие способы, приемы, с помощью которых можно решить уравнения разного типа.

Хотелось подчеркнуть слова Российского математика Михаила Васильевича Остроградского: «Многое из математики не остается в памяти, но, когда поймешь её, тогда легко при случае вспомнить забытое».

           На уроке рассмотрели личностные цели и каждый обучающийся нашел свою цель.

           Материалы урока способствуют расширению кругозора обучающихся при просмотре слайдов, работе с карточками-заданиями. Это активизирует познавательную деятельность обучающихся, прививает любовь к профессии, развивает профессиональную интуицию.

В ходе урока применяются словесные и наглядно - демонстрационные методы обучения. Эти методы позволят преподавателю выяснить уровень необходимых знаний, четко и ясно изложить тему урока, наглядно показать, что именно должно получиться в результате выполнения задания. Такое проведение урока обеспечит усвоение обучающимися определённых знаний и позволит приобрести необходимые профессиональные компетенции, усовершенствовать навыки и умения по профессии.

Открытый урок в логике ФГОС  

по теме «Общие методы решения уравнений»

Предмет: Математика

Группа № 24

УМК: «Математика»

Авторы УМК: С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин

Тип урока: урок отработки умений и рефлексии.

Оборудование: УМК «Математика» интерактивная доска, ноутбук.

Методическая цель: продемонстрировать систему работы по формированию у обучающихся универсальных способов деятельности при решении уравнений разных типов, обеспечив: систематизацию и обобщение знаний о методах решения, развитие аналитического мышления и умения выбирать оптимальный метод, формирование навыков самоконтроля и рефлексии учебной деятельности.

Цель урока: организация продуктивной деятельности обучающихся, направленной на достижение ими следующих результатов:

Личностных:

1.умение ставить перед собой цель, планировать деятельность;

2.умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрприемы;

Метапредметных: 

освоение способов деятельности:

- познавательной:

1.осуществление переноса знаний в изменённую ситуацию, умение видеть задачу в контексте проблемной ситуации;

2.овладение навыками познавательной деятельности, навыками разрешения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания.

- информационно – коммуникативной:

1.умение вступать в речевое общение, участвовать в диалоге, признавать право на иное мнение;

2.умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с преподавателем и сверстниками: определять цели, распределять роли и функции участников, общие способы работы;

3.умение предвидеть возможные последствия своих действий.

- рефлексивной:        

1.умение самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач;

2.овладение навыками самоконтроля и оценки своей деятельности;

3.умение ставить личностные цели и оценивать степень их достижения.

Предметных:  

1.понимание смысла понятий «уравнение», «корень уравнения», «вид уравнения», «методы решения уравнений» и умение их употреблять в устной и письменной речи;

2.приобретение опыта по применению полученных знаний и умений в практической деятельности: решение уравнений.

Ход занятия

I. Организационно – мотивационный этап.

Приветствие. Отсутствующие на уроке. Готовность обучающихся к уроку.

Давайте начнём урок со слов Российского математика Михаила Васильевича Остроградского: «Многое из математики не остается в памяти, но когда поймешь её, тогда легко при случае вспомнить забытое».

II. Этап постановки личностных целей.

Преподаватель: Ребята, а задумывался ли каждый из вас над тем, с какой целью он сегодня пришёл на урок? (выслушиваются ответы обучающихся, записываются на доске).

Сегодня постараюсь вам помочь найти свою цель. Пожалуйста, выберите личную цель из списка на экране, зафиксируйте номер на полях в тетради (можете записать свою цель), и поработайте на неё в течение урока. В конце урока проанализируем, достигли цели или нет, и почему.

Личностные цели:

-  обретение веры в себя, в свои потенциальные возможности;

 -  умение точно и грамотно излагать свои мысли;

- умение легко выполнять математические операции, контролировать процесс и результат учебной математической деятельности;

 - умение учиться самостоятельно;

 - получить хорошую отметку;

 - подготовиться к успешной сдаче экзамена по математике.

III.      Этап актуализации знаний.

Уважаемые ребята, сегодня вам предоставляется возможность многое делать самостоятельно, в том числе, попытаться сформулировать тему и поставить цель урока.

Обратите внимание на презентацию.

Задание 1. (устная работа).

Вычислите:  ;     ;    ;   2022*   

(Ответы обучающихся преподаватель последовательно записывает на доске, отделяя точкой).

Посмотрите, что получилось, на что похоже 12.04.2022? (дата урока)

Запишите в тетрадях число.

Задание 2.

Как можно назвать объекты, которые вы видите на доске?

1. log(14-x)=-2         2.                   3. =4              

  4.  2x2-13x+15=0       5.           6.  cos              

      7.   -5x = 3        8. =11    9. 3x2+4x- 207 = 0      

    10 . 9x-24 = 729                     11. log5(2x+8) = -1    

Задание 3.

Разбейте эти объекты на группы по каким-либо признакам как можно большим количеством способов.

Обучающиеся предлагают свои способы разбиения (преподаватель записывает номера объектов по номерам групп), указывая признак, использованный при выполнении задания.

Предполагаемые ответы:

По виду уравнения разбить на 6 групп: линейное, квадратное, показательное, логарифмическое, иррациональное, тригонометрическое.

На две группы: алгебраическое уравнение и неалгебраическое (трансцендентное)

По методу решения.

 IV.  Этап постановки темы и цели урока.

Преподаватель предлагает обучающимся вернуться к только что выполненному заданию и попытаться сформулировать тему урока.  

Обобщив предложения обучающихся, преподаватель делает уточнения темы урока, записывает на доске: «Общие методы решения уравнений», обучающиеся – в тетради.

Ребята, поясните, пожалуйста, смысл словосочетаний «методы решения уравнений», «общие методы решения уравнений».

(Ответы обучающихся: методы решения уравнений – это способы, приемы, с помощью которых можно решить то или иное уравнение; общие методы решения уравнений – это такие способы, приемы, с помощью которых можно решить уравнения разного типа).

-  Какие цели поставите перед собой?

На мультимедийной доске в помощь обучающимся предлагаются глаголы

 - продолжить… (решать уравнения разных типов)

 -  вспомнить…  (методы решения уравнений)

-  повторить…   (основные типы уравнений

-  закрепить…    (знания об общих методах решения уравнений)

 -  развивать…    (навыки и умения решения уравнений)

-  применить…    (полученные знания и умения в практической деятельности: решение уравнений.)

V.  Этап обобщения и систематизации знаний по проблеме решения уравнений.

Преподаватель предлагает обучающимся вернуться ещё раз к заданию 2 и поработать в группах.

Класс разбит на три группы:

1 группа – линейные и иррациональные уравнения;

2 группа - квадратные уравнения и тригонометрические уравнения;

3 группа - показательные и логарифмические уравнения.

Каждая группа готовит информацию о двух видах уравнений (работа с учебником,) ответы обучающиеся записывают на заранее подготовленных листах А4:

1)  используя имеющиеся у вас знания, запишите общий вид каждого из названных уравнений;

2)  используя имеющиеся у вас знания, запишите формулы для нахождения корней каждого из уравнений;

 3) Какую «полезную» информацию нужно помнить при решении каждого из этих уравнений?

(обучающиеся обсуждают ответы и принимают решение, кто будет отвечать на вопросы от группы).

Полезная информация:

 1. Для линейного уравнения ax+b=0, если, а = 0, то уравнение корней не имеет.  Например, 0х = 7.      

2.Для квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0: 

если , то уравнение имеет два различных действительных корня;

если , то уравнение имеет один действительный корень кратности 2;

если , то уравнение действительных корней не имеет.  

3. Для иррационального уравнения  :

Метод решения иррациональных уравнений - освобождения от радикалов путем возведения обеих частей уравнения в соответствующую натуральную степень. При возведении обеих частей уравнения в нечетную степень полученное уравнение, равносильно исходному, а при возведении обеих частей уравнения в четную степень полученное уравнение будет неравносильно исходному уравнению, при этом могут появиться «лишние» корни.   Поэтому при решении иррациональных уравнений нужно указывать ОДЗ или делать проверку.

4. Для показательного уравнения  , (a>0, а≠1):

Одним из самых простых приёмов решения показательных уравнений является метод сведения обеих частей уравнения к одному основанию (a>0, а≠1).

5. Для логарифмических уравнений :

Одним из самых простых приёмов решения логарифмических уравнений является использование определения логарифма: log a f(x) = с, (f(x) >0, a>0, а≠1), где f(x)= ас. При решении логарифмических уравнений нужно указывать ОДЗ или делать проверку.

6. Для тригонометрических уравнений:

 = m, если        -1 ≤  m ≤1, то  решения уравнения имеют вид:   x = arc + πn, n€Z;

  = m, если -1 ≤  m ≤1,   то  решения уравнения имеют вид:   x = ±arccos m + 2πn, n€Z;

tgx = m, то решения уравнения имеют вид:   x = ±arctg m + πn, n€Z

VI. Этап применения знания:

Задание.

(Работа в группах.  Каждой группе предлагается решить по порядку четыре уравнения).

Решите уравнение и назовите метод, которым вы его решили:

(Обучающиеся обсуждают решение, определяют метод решения и принимают решение, кто будет отвечать у доски от группы).

На доске записывают решения первого уравнения представители каждой группы, предлагают прослушать всем свой способ решения.

Задание

Посмотрите на доску и постарайтесь, используя имеющиеся у вас знания, описать на математическом языке метод решения этих уравнений (ответы обучающихся).

Устанавливается в ходе рассуждений метод решения уравнений и его описание на математическом языке.

Слайд.

Замена уравнения   hf(x) = hg(x)    уравнением f(x) = g(x)

Этот метод используется:

а) при решении показательных уравнений переходим от    уравнений аf(x) = ag(x) (a>0, а≠1) к уравнению f(x) = g(x)

б) при решении логарифмических уравнений переходим от уравнения

loga f(x) = loga g(x) (a>0, а≠1) к уравнению   f(x) = g(x) (f(x)>0, g(x) >0)    

в) при решении иррациональных уравнений переходим от уравнения  =  уравнению f(x) = g(x).

На доске записывают решения второго уравнения представители каждой группы.

Задание

Посмотрите на доску и постарайтесь, используя имеющиеся у вас знания, описать на математическом языке метод решения этих уравнений (ответы обучающихся).

Устанавливается в ходе рассуждений метод решения уравнений и его описание на математическом языке.

Слайд.

Метод введения новой переменной. 

Суть метода: если уравнение f(x)=0 удалось преобразовать к виду p(g(x))=0,то нужно ввести новую переменную    u=g(x). Решить уравнение p(u) = 0, а затем решить совокупность уравнений u1=g(x), u2=g(x)…

На доске записывают решения третьего уравнения представители каждой группы.

Задание

Посмотрите на доску и постарайтесь, используя имеющиеся у вас знания, описать на математическом языке метод решения этих уравнений (ответы обучающихся).

Устанавливается в ходе рассуждений метод решения уравнений и его описание на математическом языке.

Слайд.

Метод разложения на множители. 

Суть этого метода заключается в следующем:  уравнение h(х)=0 можно заменить совокупностью  уравнений:  =0,   =0,  h(х)=0.

На доске записывают решения четвёртого уравнения представители каждой группы.

Задание

Посмотрите на доску и постарайтесь, используя имеющиеся у вас знания, описать на математическом языке метод решения этих уравнений (ответы обучающихся).

Устанавливается в ходе рассуждений метод решения уравнений и его описание на математическом языке.

Слайд.

Функционально-графический метод.

Суть метода решения уравнений  вида  = :  построить графики функций у =   и у = , найти точки их пересечения. Корнями уравнения служат абсциссы этих точек.

Преподаватель: Молодцы, ребята! Теперь попробуйте обобщить всё, что вы смогли сделать, и высказать кратко   одним - двумя предложениями

VII.  Этап актуализация опыта.

Самостоятельная работа (взаимопроверка).

Определить методы решения уравнений:

1. log3 (x2 – 3x – 5) = log3 (7 – 2x)
2. 4x  =  х  +  1
3.  =
4. ()x=
5. x - 10 = 0
6. 4х+1 + 4х  = 320

Разминка

Прикладная задача, связанная с будущей профессией «Сварщик»

Двое сварщиков, работая вместе, выполняют некоторую работу за 8 ч. Первый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу на 12 ч. скорее, чем второй, если тот будет работать отдельно. За сколько часов каждый из них, работая порознь, может выполнить работу?

Решение: 

х время первого рабочего

х+12 время второго рабочего

 + =1

    х²-4х-96=0

     х₁=12,  х₂=-8 п/к

    за 12 часов выполнит работу   1 рабочий

  12+12= 24 часа выполнит работу 2 рабочий

VIII. Домашнее задание (обязательная часть и вариативная).

1.Обязательная часть:

- изучить теорию в учебнике §7 с. 219, выделить моменты, вызвавшие затруднения.

- выполнить письменно задание из учебника №7.4.(а). 7.5(а)

  2.Вариативная часть (по желанию): подготовить сообщение на тему: «Применение уравнений в вашей будущей профессии», продумать форму его представления.

VIII. Этап подведения итога урока. Рефлексия.

1.Достижение предметных и метапредметных результатов:

Вопросы к обучающимся:

- Что нового вы узнали сегодня на уроке?

- Чему вы научились?

- Что вызвало затруднение и почему?

- Что вам понравилось на уроке?

2.Достижение личностных целей:

В начале урока вы поставили личную цель.  Достигли вы её или нет?  Кто хочет поделиться мыслями вслух?

Ребята, вы все сегодня хорошо поработали!  Наиболее успешно работали на уроке следующие обучающиеся…  

 Спасибо за урок!