Урок математики "Задачи на смеси и сплавы"
план-конспект урока по алгебре (11 класс)

Урок: подготовка к ЕГЭ (профильный уровень)

Тема: Задачи на смеси и сплавы
Цель: освоить методы решения задач на смеси и сплавы, отработать навыки составления и решения уравнений для задач из ЕГЭ (задание № 10).
Продолжительность: 90 минут

Ход урока

1. Организационный момент (3 мин)

• Приветствие, проверка готовности к уроку.
• Объявление темы и целей урока.
• Краткий обзор места темы в структуре ЕГЭ: задание № 10 (повышенный уровень сложности), 1 первичный балл.

2. Актуализация знаний: основные понятия (10 мин)
Краткий конспект в тетради:

• Концентрация вещества — процентное содержание вещества в смеси/сплаве.
• Масса вещества в смеси:

mвещ​=mсмеси​⋅100%C​,

где C — концентрация вещества (в %).

• Закон сохранения массы: при смешивании общая масса вещества сохраняется:

m1​⋅C1​+m2​⋅C2​=(m1​+m2​)⋅Cитог​

• Метод рычага — наглядный способ решения задач на смеси и сплавы.

3. Разбор методов решения (15 мин)

Метод 1. Алгебраический (через уравнение)

• Обозначить неизвестное (массу/концентрацию).
• Записать массу вещества в каждом растворе.
• Составить уравнение по закону сохранения массы.
• Решить уравнение.

Метод 2. Метод рычага
Алгоритм:

1. Нарисовать отрезок, отметить точки для каждого раствора.
2. Сверху записать концентрации, снизу — массы.
3. В центре — итоговая концентрация и общая масса.
4. Составить уравнение: сумма «моментов» слева = «моменту» справа.

4. Разбор типовых задач (30 мин)

Тип 1. Смешивание двух растворов
Задача. Имеются два сплава. Первый содержит 10 % никеля, второй — 30 % никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25 % никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
Решение:

• Пусть масса первого сплава x кг, тогда масса второго (200−x) кг.
• Масса никеля в первом: 0,1x.
• Масса никеля во втором: 0,3(200−x).
• Масса никеля в итоговом сплаве: 0,25⋅200=50 кг.
• Уравнение:

0,1x+0,3(200−x)=50

0,1x+60−0,3x=50

−0,2x=−10

x=50 кг

• Масса второго сплава: 200−50=150 кг.
• Разница: 150−50=100 кг.
  Ответ: на 100 кг.

Тип 2. Добавление воды/чистого вещества
Задача. Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали?
Решение (система уравнений):

• Пусть x — масса 30 %-го раствора, y — масса 60 %-го.
• Первое условие:

0,3x+0,6y=0,36(x+y+10)

• Второе условие:

0,3x+0,6y+0,5⋅10=0,41(x+y+10)

• Решаем систему:

{0,3x+0,6y=0,36x+0,36y+3,60,3x+0,6y+5=0,41x+0,41y+4,1​

• После преобразований:

{−0,06x+0,24y=3,6−0,11x+0,19y=−0,9​

• Решение системы: x=60 кг.
  Ответ: 60 кг.

Тип 3. Задачи с равными массами
Задача. Если смешать равные массы двух растворов кислоты концентрацией 16 % и 19 %, какой получится концентрация?
Решение:

• Пусть масса каждого раствора x кг.
• Общая масса кислоты: 0,16x+0,19x=0,35x.
• Общая масса смеси: 2x.
• Концентрация:

C=2x0,35x​⋅100%=17,5%

Ответ: 17,5 %.

5. Самостоятельная работа (20 мин)
Решите задачи:

1. В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
2. Первый сплав содержит 5 % меди, второй — 13 % меди. Масса второго сплава больше массы первого на 4 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10 % меди. Найдите массу третьего сплава.
3. Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

6. Проверка и разбор решений (10 мин)
Ответы и краткие решения:

1. Исходная масса вещества: 5⋅0,12=0,6 л. Общий объём: 5+7=12 л. Концентрация: 120,6​⋅100%=5%.
2. Пусть масса первого сплава x кг, второго (x+4) кг. Уравнение: 0,05x+0,13(x+4)=0,1(2x+4). Решение: x=6 кг. Масса третьего сплава: 6+10=16 кг.
3. Пусть масса каждого раствора x. Общая масса вещества: 0,15x+0,19x=0,34x. Общая масса раствора: 2x. Концентрация: 2x0,34x​⋅100%=17%.

7. Типичные ошибки (5 мин)
Разбор ошибок, которые часто допускают на ЕГЭ:

• Не учитывают закон сохранения массы вещества.
• Путают концентрацию и массу вещества.
• Ошибаются при составлении уравнения для нескольких смешиваний.
• Забывают перевести проценты в десятичные дроби (или наоборот).
• Не проверяют ответ на соответствие условию задачи.

8. Итоги урока (5 мин)

• Повторение ключевых формул и методов.
• Обсуждение, какие типы задач вызвали наибольшие трудности.
• Рекомендации: решить 5–10 задач из банка ФИПИ, отработать метод рычага.

9. Домашнее задание

1. Решить 5 задач на смеси и сплавы из открытого банка заданий ФИПИ.
2. Разобрать 3 задачи с двумя смешиваниями.
3. Придумать и решить свою задачу на сплавы с тремя компонентами.

Материалы для урока:

• Раздаточные листы с задачами.
• Презентация с основными формулами и алгоритмами.
• Ссылка на банк задач ФИПИ: fipi.ru.
• Шаблон «рычага» для наглядного решения.