Методы решения текстовых задач
статья по алгебре

МБОУ СОШ с.ТАЛИЦА

МАСТЕР – КЛАСС на тему:

« РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ».

Тема моего  мастер- класса «Решение текстовых задач по математике».

Я считаю, что выбранная нами тема актуальна. Она  не только интересна, но и полезна для всех.

 Практика показывает, что задачи вызывают  затруднения у многих учащихся, решение текстовых задач даётся ребятам трудно. Но именно задачи развивают у детей логику мышления, учат рассуждать.

 Задачи содействуют обогащению и развитию правильной речи учащихся. Задачи помогают учащимся понять количественные соотношения различных жизненных фактов.        Задачи соответствующего содержания содействуют воспитанию учащихся. Особенно важна роль задач как средства развития логического мышления учащихся, их умения устанавливать зависимости между величинами, делать правильные умозаключения.

   Решение задач  развивает мышление. Мало того, решение задач способствует воспитанию терпения, настойчивости, воли, способствует пробуждению интереса к самому процессу поиска решения, даёт возможность испытать глубокое удовлетворение, связанное с удачным решением.

   Работе с текстовыми задачами следует уделить достаточно много времени, обращая внимание детей на поиск и сравнение различных способов решения задачи, построение математических моделей, грамотность изложения собственных рассуждений при решении задач.

     Процесс обучения решению задач начинается в начальной школе. Ученикам знакомы многие типы задач. В 5,6 классах круг задач расширяется, вводятся задачи на проценты, на составление уравнений, умение решать задачи совершенствуется. В процессе работы над  текстовыми задачами я стараюсь добиться у учащихся умения чётко представлять ситуацию, о которой говориться в задаче, анализировать, сопоставлять, устанавливать зависимость между величинами, участвующими в данной задаче, например, между скоростью, временем и расстоянием; работой, продолжительностью и временем.

   Не надо бояться ошибиться, а надо пробовать решать любые текстовые задачи – это интересно

  Решение задач – это работа несколько необычная, а именно умственная работа. А чтобы научиться какой-либо работе, нужно предварительно хорошо изучить тот материал, над которым придётся работать, те инструменты, с помощью которых выполняется эта работа.

 Значит, для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют, как они устроены, из каких составных частей они состоят, каковы инструменты, с помощью которых производится решение задач.      

Целью моей работы является получение прочных навыков решения текстовых задач, изучаемых в рамках школьного курса математики, представленных в материалах ГИА и ЕГЭ.

 В наше время существует огромное множество задач, но из них выделяют три основных типа: задачи на движение, процентное содержание и на работу.

   Для достижения своей цели  я поставила  задачу изучить методы решения задач в каждой из последующих классификаций:

 1)Задачи на движение.

 2)Задачи на работу.

 3)Задачи на процентное содержание.

 4) Задачи на сплавы и смеси.

Чтобы научиться решать задачи, надо решать как можно больше текстовых задач.

  Решение одной задачи несколькими способами часто бывает более полезным, чем решение одним способом нескольких задач.

  Поэтому,  решив  задачу  или  составив  план  ее  решения, весьма  полезно  подумать,  возможен  ли  другой  способ  решения. Вполне  вероятно,  что  может  найтись  более  рациональный  способ.

  Естественно, лучше избрать его, как более простой и экономичный,

т.е. быстрее приводящий к цели.

     Одну и туже  задачу можно решать арифметическими, алгебраическими и геометрическими методами.

Лучше решать задачи, видя текст перед собой в виде краткой записи условия.

Учащихся следует знакомить с различными методами решения текстовых задач: арифметическим, алгебраическим, геометрическим, логическим и практическим; с различными видами математических моделей, лежащих в основе каждого метода; а также с различными способами решения в рамках выбранного метода

  Решение текстовых задач и нахождение разных способов их решения на уроках математики способствуют развитию у детей мышления, памяти, внимания, творческого воображения, наблюдательности, последовательности рассуждения и его доказательности; для развития умения кратко, четко и правильно излагать свои мысли.

Для решения текстовых задач применяются три основных метода: арифметический, алгебраический и комбинированный. Рассмотрим каждый из этих методов.

I Арифметический способ. Арифметический  способ  заключается  в  том,  что  задача  решается отдельными  арифметическими  действиями.

 Обращу  внимание  на  то,  что  существуют  несколько  способов оформления решения задач арифметическим способом:

а) вопрос-действие;

б) действие-пояснение;

в) составление числового выражения и нахождение его значения

II. Алгебраический способ.

Решение задач алгебраическим способом осуществляется при помощи уравнений.  Для  того,  чтобы  решить  задачу  с  помощью  уравнения, надо  сначала  по  условию  задачи  составить  его.  Для  этого соотношения между  величинами  в  задаче  необходимо  перевести  на математический  язык.  

Вот  примерная  схема  (алгоритм)  решения

задачи алгебраическим способом:

1.  Выбирают  одну  из  неизвестных  величин,  входящих  в  условие

задачи,  и  обозначают  ее  буквой  x  (можно  другой  латинской

буквой). Обычно через  x обозначают искомую величину, т.е. ту,

которую  требуется  определить.  Но  иногда  бывает  удобнее

обозначить  через  x  какую-либо  другую  неизвестную  величину,

связанную с искомой величиной.

2.  Все остальные неизвестные величины, входящие в условие задачи,

выражают через  x. При этом необходимо строго следить за тем,

чтобы  все  однородные  величины  были  выражены  в  единицах

одного наименования (приведены к одной единице измерения).

3.  На  основании  данной  в  условии  задачи  зависимости  между

величинами составляют уравнение.

4.  Решают составленное уравнение.

5.  Далее необходимо проверить, удовлетворяет ли найденный корень

условию задачи.

6.  Запись ответа.

III. Комбинированный метод.

Этот метод получается в результате включения в алгебраический метод решения задач решение, в котором часть неизвестных величин определяется с помощью решения уравнения или системы уравнений, неравенств или систем неравенств, а другая часть – арифметическим методом. В этом случае решение текстовых задач значительно упрощается.

При решении текстовых задач учащимся могут помочь несколько простых и общих советов.

Совет 1. Не просто прочитайте, а тщательно изучите условие задачи. Попытайтесь полученную информацию представить в другом виде – это может быть рисунок, таблица или просто краткая запись условия задачи.

Совет 2. Выбор неизвестных.

Совет 3. Составление и решение “математической модели”.

Совет 4. Решение сложной текстовой задачи – процесс творческий. Иной раз требуется вернуться к самому началу задачи, учитывая и анализируя уже полученные результаты.

Начну я с задач на движение.

Задачи на движение.

1. Все эти задачи решаются по одной-единственной формуле: , то есть расстояние = скорость  время.

 Из этой формулы можно выразить скорость   или время .

2. В качестве переменной х удобнее всего выбирать скорость. Тогда задача точно решится. И ещё один полезный совет. При решении задач на движение, рисуйте картинки. Особенно, когда текст задачи большой и сразу в голове не укладывается. Чаще всего это нужно делать в задачах, где кто-то кого-то догоняет, встречается, или болтается между пунктами А и В туда и обратно.

 Рисуем пункты А и В, отмечаем точки встречи, остановок и т.п. На картинке сразу видно, какие отрезки пути можно просчитать. Картинка реально облегчает составление математической модели.

Основными типами задач на движение являются следующие:

1. задачи на движение по прямой (навстречу и вдогонку, с задержкой в пути),
2. задачи на движение по замкнутой трассе,
3. задачи на движение по воде,
4. задачи на среднюю скорость,

       5) задачи на движение протяжных тел.

При решении задач короткую запись задачи можно сделать с помощью рисунка или таблицы.

Таблица является универсальным средством и позволяет решать большое количество задач.

Таким образом, использование алгоритмов, таблиц, рисунков, общих приемов дает возможность ликвидировать у большей части учащихся страх перед текстовой задачей, научить распознавать типы задач и правильно выбирать прием решения.

1. Задачи на движение по прямой

Для начала очень внимательно читаем условие.

1). Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 50 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 4 часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Строим таблицу.

Про задачу необходимо «посплетничать»: читаем первую фразу и заполняем таблицу и т.д. Анализируем первую фразу «из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 50 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист», мы можем заполнить первую колонку таблицы

Читаем дальше «известно, что в час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста». Вопрос задачи примем за х, а скорость автомобилиста на 40 км больше, чем велосипедиста, т.е. х+40. Заполняем следующую колонку таблицы.

Имеем только одну свободную колонку, значит, следует применить формулу , и продолжить заполнение таблицы.

Читаем дальше «известно, что он прибыл в пункт В на 4 часа позже автомобилиста».

Последний столбец позволит составить уравнение.

.  После приведения дробей к общему знаменателю, имеем . Слабые ученики сталкиваются с трудность: какое дальше должно быть действие, но как правило практически все обучающиеся умеют решать пропорции, поэтому заменяем уравнение пропорцией. , решаем квадратное уравнение х2+40х-50=0 : х1=10 или х2= - 50. Ясно, что х2 не подходит по смыслу задачи — скорость велосипедиста не должна быть отрицательной (. Ответ: 10

2).  Из пункта  А в пункт  В, расстояние между которыми 30 км, одновременно выехали автомобилист и  велосипедист. За час автомобилист проезжает на 105 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт  В на       1 час 45 минут позже автомобилиста. Ответ дайте в км/час

Решение.

Для составления уравнения четко определяем, какая  из дробей больше.

                      +1      =  =                                                 , х>0.

Опыт работы показывает, что составление уравнений – самый сложный этап решения.                Учащиеся, которым трудно решать задачи, могут  использовать рисунок (большой и малый овалы) при обдумывании уравнения

. Решение задач на движение двух тел в противоположных направлениях.

Задача 1. Одновременно из одного пункта в противоположных направлениях вышли два пешехода. Один из них шёл со скоростью 6 км/ч, а другой 4 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?

                                                                                   ? км                                                                                              

                                                                             4 км/ч               6 км/ч

                                                                                3 ч                      3 ч

Решение

1 способ: (6+4)*3=30 (км)

2 способ: 6*3+4*3=30 (км)

Ответ: 30 км.

Задача 2. Одновременно из одного пункта в противоположных направлениях вышли два пешехода. Один из них шёл со скоростью 6 км/ч, а другой 4 км/ч. Через сколько времени пешеходы удалятся друг от друга на 30 км?

                                                                                30 км

                                                                  4 км/ч                  6 км/ч

Решение

1 способ: 6х+4х=30

                 х=3  Пешеходы удалятся друг от друга на 30 км через 3 часа.

2 способ: (6+4)*х=30

                 х=3  Ответ: 3 часа.

Решение задач на встречное движение двух тел.

Решение задач на движение двух тел в одном направлении.

Задача 1. Одновременно из одного пункта в одном направлении вышли два пешехода. Первый пешеход идёт со скоростью 6 км/ч, а другой – со скоростью 4 км/ч. Какое расстояние будет между пешеходами через 5 часов?

Решение:                                                           ? км

                                                         4 км/ч        5 ч.          6 км/ч

1. 6*5=30 (км) – прошёл первый пешеход
2. 4*5=20 (км) – прошёл второй пешеход
3. 30-20=10 (км)  - расстояние между пешеходами через 5 часов.  

Ответ: 10 км.

        Задачи на задержку в пути решаются аналогично.

               .1.2. Задачи на встречное движение .

Прототип задания B13 (№ 99590).  Расстояние между городами A и B равно 435 км. Из города A в город B со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 65 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города A автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.

«Сплетничаем»: Из города A в город B со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B. Движение 1 автомобиля разделено на 2 отрезка пути. Навстречу ему из города B выехал со скоростью 65 км/ч второй автомобиль. Заполняем клетки таблицы, не забывая, что надо найти «на каком расстоянии от города A автомобили встретятся».

Последний столбец заполненный дает подсказку, как составить уравнение. Осталось  не использованное 1 условие задачи: «Расстояние между городами A и B равно 435 км». Значит, надо заполнить колонку до конца.

Получили уравнение 60 + 60х + 65х = 435, 125х =375,  х = 3. Ответ на вопрос задачи 60 + 60х = 60(1+ х) = 60(1+3)=240.

Ответ: 240.

        Для сильных учащихся необходимо напомнить, что если расстояние между телами S, а их скорости v1  и v2, то время, через которое они встретятся, находится по формуле  . Поэтому задача решается арифметически:

1. 601=60 (км) – путь, пройденный 1 автомобилем за 1 ч.
2. 435 – 60 = 375 (км) – расстояние между автомобилями при встречном движении.
3. 60 + 65 = 125 (км/ч) – скорость сближения.
4. 375 : 125 = 3 (ч) – время, через которое произошла встреча.
5. 1+3 = 4 (ч) – время движения 1 автомобиля.
6. 604 = 240 (км)

Ответ: 240.

        Для сильных учащихся необходимо напомнить, что если расстояние между телами S, они движутся по прямой со скоростями  v1  и v2  соответственно (v1 > v2) так, что первое тело следует за вторым, то время t, через которое первое тело догонит второе, находится по формуле  . Поэтому задача решается арифметически: t=, t=0,2 ч, т.е. 12 мин.

1.4. Задачи на движение по воде

Следующий тип задач — когда что-нибудь плавает по речке, в которой есть течение. Например, теплоход, катер или моторная лодка. Обычно в условии говорится о собственной скорости объекта и скорости течения.

 Собственной скоростью называется скорость в неподвижной воде. При движении по течению эти скорости складываются. Течение помогает, по течению плыть — быстрее.

  Скорость при движении по течению равна сумме собственной скорости судна и скорости течения.

А если двигаться против течения, то течение будет мешать, относить назад. Теперь скорость течения будет вычитаться из собственной скорости судна.

Ученик  должен знать, что:

•        Скорость по течению равна сумме собственной скорости и скорости течения реки.

•        Скорость против течения равна разности собственной скорости и скорости течения реки.

•        Скорость по озеру равна собственной скорости.

•        Собственная скорость равна половине суммы скорости по течению и скорости против течения.

Задача. Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение: Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления.

Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Пусть скорость лодки в неподвижной воде х .

К последнему столбцу надо применить последнее данное: «вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше».

Получаем уравнение:  -  = 2.

 ,

 = 2

, ,

х1 =16

 х2 = -16 ( не удовлетворяет ограничению х>1).

Ответ: 16.

1.5. Задачи на движение протяжных тел

У обучающихся вызывают больше всего затруднения задачи на движение протяжных тел.

Задача. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах.

Решение: По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда.  Речь идет о скорости удаления, т.е.  

v1 + v2 = 90 км/ч + 30 км/ч = 120 км/ч =  м/с  =  м/с  

 (90 км/ч =  м/с =  м/с, 30 км/ч =  м/с).

«Длина товарного поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского поезда». Пусть длина пассажирского поезда х м.

,  х + 600 =1000, х = 400.

Ответ: 400.

На экзамене по математике  может встретиться задача о нахождении средней скорости. Запомним, что средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей.

Она находится по специальной формуле:
. Если участков пути было два, то

Частный случай  (t1 = t2 ):   v = (v1 +v2):2                  (2)  

Частный случай (S1 =S2 ):   v= 2 v1*v2/(v1 +v2)         (3)

1). Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 20 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 480 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Мы не знаем, каким было расстояние, которое преодолел путешественник. Знаем только, что это расстояние было одинаковым на пути туда и обратно. Для простоты примем это расстояние за 1 (одно море). Тогда время, которое путешественник плыл на яхте, равно , а время, затраченное на полет, равно . Общее время равно .
Средняя скорость равна км/ч.

Ответ: 38,4.

2. Задачи на работу

Еще один тип задач  - это задачи на работу. Трубы заполняют бассейн, комбайнёры убирают урожай, строители строят дом и так далее. Любая может быть деятельность

Они также решаются с помощью одной-единственной формулы: А= pt. Здесь A - работа, t - время, а величина p, которая по смыслу является скоростью работы, носит специальное название - производительность. Она показывает, сколько работы сделано в единицу времени. Например, продавец в супермаркете надувает воздушные шарики. Количество шариков, которые он надует за час - это и есть его производительность.

Производительность труда – это скорость выполнения работы; время – это время выполнения работы. Работа – это выполненная работа за определённый промежуток времени

Правила решения задач на работу.

1. А= pt, т.е. работа = производительностьвремя. Из этой формулы легко найти t или p=.
2. Если объем работы не важен в задаче и нет никаких данных, позволяющих его найти - работа принимается за единицу. Построен дом (один). Написана книга (одна). А вот если речь идет о количестве кирпичей, страниц или построенных домов - работа как раз и равна этому количеству.
3. Если трудятся двое рабочих (два экскаватора, два завода...) - их производительности складываются.
4. В качестве переменной  удобно взять именно производительность.

Задача.На изготовление 475 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

По аналогии с задачами на движение, составляем таблицу.

        Полученное уравнение лучше записать  = 6, 25х+550=2(х2 + 3х), 2х2 + 6х – 25х – 550 = 0, 2х2 - 19х – 550= 0, х1=-12,5 (не подходит по смыслу задачи), х2=22. х + 3 = 25.

Ответ: 25.

Всевозможные задачи про две трубы, которые наполняют какой-либо резервуар для воды – это тоже задачи на работу. В них также фигурируют величины производительность, время и работа.

Задача.  Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту дольше, чем вторая труба?

 – =1, х 2 + х  – 110 = 0, х1 =10, х2 = –11 (не подходит по смыслу задачи).

Ответ: 10.

Задача.  Первый рабочий за час делает на 6 деталей больше, чем второй рабочий, и заканчивает работу над заказом, состоящим из 432 деталей, на 2 часа раньше, чем второй рабочий выполняет заказ, состоящий из 360 таких же деталей. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

Решение.

Используем такую же таблицу и формулу для нахождения времени  t =  .

                                   + 2    =                                                                    , x>0      

Рассмотрим задачи на совместную работу.

Совместная работа возникает, когда несколько человек (бригад, насосов, тракторов и т.д) выполняют одну и ту же работу вместе. С разными скоростями, между прочим... И основная сложность в задачах на совместную работу - время.

Содержание задач этого типа сводится обычно к следующему: некоторую работу, объем которой не указывается и не является искомым, выполняют несколько человек или механизмов, работающих равномерно, то есть с постоянной для каждого из них производительностью. В таких задачах объем всей работы, которая должна быть выполнена, принимается за 1.

Первый насос наполняет бак за 24 минуты,  второй - за 40 минут, а третий – за 1 час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая  одновременно?

Решение.

( + +)t = 1,         t- искомое время.

Вот тут многие и зависают. Первый порыв души - сложить время приводит к совершенно дикому результату. Д Получается, что при более мощном потоке бак заполняется куда медленнее, чем одним насосом. Нельзя времена складывать.

 Складывать можно производительности. Прикиньте, если столяр Николай делает 5 табуреток в день, а столяр Василий - две, то вместе они сколько делают в день? Ясен перец, 5 плюс 2 будет семь! Семь табуреток в день - это и будет совместная производительность Николая и Василия.

Вот и в задачке про насосы ,трубы надо, первым делом, определить производительности.

3. Задачи на проценты

Важно запомнить, что один процент – это одна сотая часть какого-то числа.

 Если та говорится о цене,  то один процент – это одна сотая часть цены. Если о скорости, один процент – это одна сотая часть скорости. …

Практические советы:

1. В задачах на проценты – переходим от процентов к конкретным величинам. Или, если надо – от конкретных величин к процентам. Внимательно читаем задачу!

2. Очень тщательно изучаем, от чего нужно считать проценты. Если об этом не сказано прямым текстом, то обязательно подразумевается. При последовательном изменении величины, проценты подразумеваются от последнего значения. Внимательно читаем задачу!

3. Закончив решать задачу, читаем её ещё раз. Вполне возможно, вы нашли промежуточный ответ, а не окончательный. Внимательно читаем задачу!

Основными типами задач на проценты являются следующие:

1. задачи на растворы, смеси и сплавы,
2. задача «о продуктах» (о процентном содержании какого – либо вещества),
3. задачи на формулу сложных процентов.

3.1. Задачи на растворы, смеси и сплавы

Тип задач на растворы, смеси, сплавы встречаются не только в математике, но и в химии.

Задачи на растворы решаются с помощью  формулы: m=cM.  

 m — масса(объем) данного вещества,

M — общая масса(объем) смеси (сплава),

 к— концентрация данного вещества в смеси (сплаве). Она показывает,  какую  долю  полного  объема  смеси  составляют  объем    компонента. Иногда говорят о процентном содержании вещества в растворе. Эта величина вычисляется по формуле р=к·100%.

Если  известно  процентное  содержание  вещества  A,  то  его  концентрация  находится  по  формуле     к =р/100

Так,  например,  если  процентное  содержание  составляет  80%,  то  соответствующая  концентрация  равна  0,8.

Как видно, переход от концентрации к процентному содержанию и наоборот весьма прост.

Самый простой способ их решения – это при решении задач короткую запись задачи можно сделать с помощью таблицы, помогающей зрительно воспринимать задачу.

        1) Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй  — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Рещение: Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй  — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. Пусть масса первого сплава равна х, т.к. I + II 200 кг, тогда масса II сплава (200 – х) кг.

х+  50, х – х+60=50, 0,2х = 10, х = 50.

В таблице нет знака вопроса, значит, ответа на вопрос задачи мы не получили. Читаем вопрос: «На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?»

1. 200 – 50 = 150 (кг) – масса второго сплава.
2. 150 – 50 = 100 (кг).

Ответ: 100.

        задачу путём составления таблицы, помогающей зрительно воспринимать задачу.

2). В 500 кг руды содержится некоторое количество железа. После удаления из руды 200 кг примесей, содержащих в среднем 12,5 % железа, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20 %. Определите, какое количество железа осталось ещё в руде?

Решение. Сначала составим таблицу   в которой напишем массу руды, массу железа, концентрацию (долю железа в руде) до и после удаления примесей.

Пусть х кг – масса железа в руде. Так как масса всей руды равна 500 кг, то концентрация железа в ней равна .   Так как масса железа в 200 кг примесей равна 0,125⋅200=25 (кг), то его масса в руде после удаления примесей равна (х-25) кг. Из того, что масса оставшейся руды равна 500-200=300 кг следует, что концентрация железа в ней равна .  По условию, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20%=1/5. Составим уравнение  :

найдём, что х=212,5 кг – масса железа в руде ,а остаток железа в руде после удаления примесей:    212,5-25=187,5 (кг)   .  Ответ: 187,5 кг.

Задача.Имеется кусок сплава меди с оловом общей массы 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить к этому куску сплава, чтобы получившийся новый сплав содержал 40%меди?

Примем за х кг массу куска олова, которое надо добавить. Переведем процентное содержание меди 45% и 40% в концентрацию. 45%=0,45 и 40%=0,4. Занесем данные задачи в таблицу.

Осталось заполнить графу «Масса вещества». Её мы найдем из формулы m=кM.

По закону сохранения массы (объема) вещества имеем

(12+х)·0,4=5,4.

Решим полученное линейное  уравнение

4,8+0,4х=5,4,

0,4х=0,6,

х=1,5.

Таким образом, надо добавить 1,5 кг чистого олова.

Ответ: 1,5.

Задача. Смещали 8 кг 18% раствора некоторого вещества с 12 кг 8% раствора этого же вещества. Найдите концентрацию получившегося раствора.

В задаче требуется найти концентрацию получившегося раствора. Примем за х  концентрацию смеси из двух растворов.

Осталось заполнить графу «Масса вещества». Её мы найдем из формулы m=cM.

По закону сохранения массы вещества

20х=1,44+0,96

20х=2,4

х=0,12.

Таким образом,  концентрация получившегося раствора равна 0,12.

Ответ: 0,12.

Задача. Смешали 40%-ый раствор соляной кислоты с 20%-ым, получили 800 г 25%-го раствора. Сколько граммов 40%-го раствора  было взято?

Пусть х г 40%-го раствора соляной кислоты было взято.  Переведем процентное содержание  кислоты 40%, 20% и 25% в концентрацию: 40%=0,4 и 20%=0,2, 25%=0,25. Занесем данные задачи в таблицу.

Осталось заполнить графу «Масса вещества». Её мы найдем из формулы m=кM.

По закону сохранения массы вещества (соляной кислоты)

 0,4х+0,2(800-х)=200

0,4х+160-0,2х=200

0,2х=40

х=200

Значит, взяли 200 г 40% -го раствора соляной кислоты.

Ответ: 200.

Арифметический способ.

Задача 1. В сосуд, содержащий 5 литров 12 процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Рассмотрим три способа решения этой задачи.

Первый способ.

Представим, что раствор отстоялся.

объем получившегося раствора

объем чистого вещества в первом растворе.

концентрация получившегося раствора.

Второй способ. По формуле.

где  концентрация первого и второго растворов соответственно.

объемы первого и второго растворов соответственно

Третий способ.

Объем раствора увеличился в 2,4 раза (было 5 л., стало 12 л. 12:5 = 2,4),

содержание вещества не изменилось, поэтому процентная концентрация получившегося раствора уменьшилась в 2,4 раза.12:2,4=5(%)

Ответ: 5 %.

Я хочу  рассказать  о самом простом способе их решения.

1).  В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

В решении подобных задач помогает картинка. Изобразим сосуд с раствором схематично — так, как будто вещество и вода в нем не перемешаны между собой, а отделены друг от друга, как в коктейле. И подпишем, сколько литров содержат сосуды и сколько в них процентов вещества. Концентрацию получившегося раствора обозначим .

Первый сосуд содержал 0,12 5 0,6 литра вещества. Во втором сосуде была только вода. Значит, в третьем сосуде столько же литров вещества, сколько и в первом:

5.

2). Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Пусть масса первого раствора равна . Масса второго — тоже . В результате получили раствор массой 2. Рисуем картинку.

Получаем: 0,15 0,19 0,34 0,17 2

Ответ: 17.

3.3. Задачи на формулу сложных процентов

Для выполнения заданий на проценты необходимо важное правило: за 100% мы принимаем ту величину, с которой сравниваем, а также полезны формулы:

1. если величину х увеличить на р%, получим х(.
2. если величину х уменьшить на р%, получим х(.
3. если величину х увеличить на р%, а затем уменьшить на q%, получимх

х(  (.

4. если величину х дважды увеличить на р%, (дважды уменьшить на р%, процентов), получим          х(2.  

4) В 2008 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году  — на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

40000(.( = 47088

Ответ: 47088.

5). Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20000 рублей, через два года был продан за 15842 рублей.

Эта задача тоже решается по одной из формул, приведенных в начале статьи. Холодильник стоил 20000 рублей. Его цена два раза уменьшилась на , и теперь она равна

11.

В большинстве случаев задачи на смеси и сплавы становятся  нагляднее если при их решении использовать схемы, рисунки, таблицы. Я вам покажу один из старинных способов решения таких задач.

 Задача №1  Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 35%, а во втором 60% золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 40% золота?

Задача №2.  Сколько граммов воды нужно добавить к

 180 г сиропа, содержащего 25% сахара, чтобы получит сироп, концентрация которого равна 20%?

Задача №3.  Влажность свежих грибов 90%, а сухих – 15%. Сколько сухих грибов получится из 1,7 кг свежих?

4) Виноград содержит 90% влаги, а изюм  – 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 килограммов изюма?

В винограде содержалось 90%  воды, значит, «сухого вещества» было 10%. В изюме 5% воды и 95% «сухого вещества». «Сухое вещество» остается неизменным.

х = , х=190.

Ответ: 190.

 Связи с ведением  ЕГЭ в 11 классе и экзаменом в новой форме в 9 классе тема «Решение текстовых задач» стала ещё более актуальным. Умение решать ту или иную задачу зависит от многих факторов. Однако,  прежде всего необходимо научиться различать основные типы задач

Лишь те навыки, которые доведены до автоматизма, или сохранили теоретическую основу, надолго остаются действенными. Я придерживаюсь в своей деятельности такого метода работы над задачами, когда ученик твёрдо усвоил основные приёмы решения задач и знает их основные типы. Эти приёмы и способы вырабатываются в процессе изучения  той или иной темы и только впоследствии используются как алгоритм решения. Как показала практика, этот метод хорош при работе со слабыми и средними по успеваемости учениками. Они запоминают  по различным признакам схему решения образца, решают определённый класс задач. Для более подготовленных учеников этот этап работы проходит быстро, без затруднений, они уже  на начальной стадии изучения способны «ухватить» метод и применить его в более сложных ситуациях. Им даются уже более сложные задания, требующие не только автоматического применения основных приёмов, но и нетрадиционного подхода, смекалки.

В современной жизни задачи на проценты так же актуальны, так как расширяется сфера практического приложения процентных расчетов. Везде – в газетах, по радио и телевидению, в транспорте и на работе обсуждаются повышение цен, зарплат, рост стоимости акций, снижение покупательской способности населения. Коммерческие банки своими объявлениями стремятся привлечь деньги населения на различных условиях, появляются сведения о доходах по акциям различных предприятий и фондов, меняются проценты банковского кредита. Все это требует умения производить хотя бы несложные процентные расчеты для сравнения и выбора более выгодных условий.

Задача.  Цену товара сначала снизили на 30%, а затем новую цену снизили на 10%. На сколько процентов всего снизили первоначальную цену товара?

                Решение: Для лучшего усвоения сути решения этой задачи лучше сначала  решить ее на числовых данных. Пусть первоначальная цена товара 500 рублей.

1.     500 * 0,3 = 150(руб.) – снижена цена товара в первый раз.

2.     500 – 150 = 350(руб.) – цена товара после первого снижения.

3.     350 * 0,1 = 35(руб.) -   снижена цена товара во второй  раз.

4.     350 – 35 = 315(руб.) - цена товара после второго снижения.

5.     500 – 315 = 185(руб.) -  снижена цена товара за два  раза.

6.     185 / 500 *100 = 37(%)

Ответ:  на 37%.

      Затем решаем задачу в общем виде.

      Пусть первоначальная цена товара х рублей. После первого снижения цена товара  х – 0,3х = 0,7х. После второго снижения цена товара 0,7х – 0,1 * 0,7х = 0,7х – 0,07х = 0,63х. Итак, цена товара всего снижена на х -0,63х = 0,37х.          0,37 от первоначальной цены – 37%.

Ответ:  на 37%.