Готовимся к ЕГЭ
учебно-методический материал (11 класс) на тему

B9 № 911. В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, , . Найдите боковое ребро .

Решение.
В правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания, следовательно является высотой пирамиды. тогда по теореме Пифагора

Ответ: 17.

B9 № 914. В правильной четырехугольной пирамиде точка — центр основания, — вершина, , . Найдите длину отрезка .

Решение.
В правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания, следовательно, SO является высотой пирамиды. Тогда по теореме Пифагора

Ответ: 16.

B9 № 915. В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, =12, =18. Найдите боковое ребро

Решение.
в правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания, следовательно является высотой пирамиды. тогда по теореме Пифагора

Ответ: 15.

B9 № 920. В правильной треугольной пирамиде точка – середина ребра , – вершина. Известно, что =3, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 45. Найдите длину отрезка .

Решение.
Найдем площадь грани :

Отрезок является медианой правильного треугольника , а значит, его высотой. Тогда

Ответ: 10.

B9 № 921. В правильной треугольной пирамиде SABC точка L — середина ребра AC, S — вершина. Известно, что BC = 6, а SL = 5. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение.
Отрезок SL является медианой правильного треугольника SAC, а значит, и его высотой. Боковые грани пирамиды равны, поэтому

Ответ: 45.

B9 № 922. В правильной треугольной пирамиде   – середина ребра ,   – вершина. Известно, что =4, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 54. Найдите длину ребра

Решение.
Найдем площадь грани :

Отрезок является медианой правильного треугольника , а значит, и его высотой. Тогда

Ответ: 9.

B9 № 923. В правильной треугольной пирамиде – середина ребра , – вершина. Известно, что =5, а =6. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение.
отрезок является медианой правильного треугольника , а значит, и его высотой. Тогда

Ответ: 45.

B9 № 924. В правильной треугольной пирамиде   – середина ребра ,   – вершина. Известно, что =7, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 42. Найдите длину отрезка .

Решение.
Найдем площадь грани :

  Отрезок является медианой правильного треугольника , а значит, и его высотой. Тогда

Ответ: 4.

B9 № 284348. В правильной четырехугольной пирамиде точка  — центр основания,  вершина, , Найдите боковое ребро .

Решение.
Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный, т. к. — высота, она перпендикулярна основанию , а значит, и прямой Тогда по теореме Пифагора

Ответ: 5.

B9 № 284350. В правильной четырехугольной пирамиде точка  — центр основания, вершина, , . Найдите длину отрезка .

Решение.
Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный: т. к.  — высота, она перпендикулярна основанию , а значит и прямой . Тогда по теореме Пифагора

.

B9 № 284350. В правильной четырехугольной пирамиде точка  — центр основания, вершина, , . Найдите длину отрезка .

Решение.
Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный: т. к.  — высота, она перпендикулярна основанию , а значит и прямой . Тогда по теореме Пифагора

.

B9 № 500249. Диагональ основания правильной четырёхугольной пирамиды равна . Высота пирамиды равна . Найдите длину бокового ребра .

Решение.
В правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания, следовательно является высотой пирамиды. Тогда по теореме Пифагора

Ответ: 5.

B11 № 72585. Площадь поверхности куба равна 2592. Найдите его диагональ.

Решение.

Пусть ребро куба равно , тогда площадь поверхности куба , а диагональ куба . Тогда

.

Ответ: 36

B11 № 27055. Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.

Решение.
Пусть ребро куба равно , тогда площадь поверхности куба , а диагональ куба . Тогда

.

Ответ: 3.

B11 № 27061. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.

Решение.
Площадь поверхности куба выражается через его ребро как , поэтому при увеличении длины ребра на площадь увеличится на

Отсюда находим, что ребро куба равно

.

Ответ: 4.

B11 № 27130. Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в три раза?

Решение.
Площади подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому при увеличении ребра в 3 раза, площадь поверхности увеличится в 9 раз.

Ответ: 9.

B11 № 27139. Диагональ куба равна 1. Найдите площадь его поверхности.

Решение.
Сторона куба меньше диагонали в раз и равна в данном случае . Тогда площадь поверхности куба

.

Ответ: 2.

B9 № 911. В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, , . Найдите боковое ребро .

Решение.
В правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания, следовательно является высотой пирамиды. тогда по теореме Пифагора

Ответ: 17.

B9 № 912. В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, Найдите длину отрезка .

Решение.
в правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания, следовательно является высотой пирамиды. тогда по теореме Пифагора

Ответ: 5.

B9 № 913. В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, , . Найдите боковое ребро .

Решение.
в правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания, следовательно является высотой пирамиды. тогда по теореме Пифагора

Ответ: 17.

B9 № 914. В правильной четырехугольной пирамиде точка — центр основания, — вершина, , . Найдите длину отрезка .

Решение.
В правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания, следовательно, SO является высотой пирамиды. Тогда по теореме Пифагора

Ответ: 16.

B9 № 915. В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, =12, =18. Найдите боковое ребро

Решение.
в правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания, следовательно является высотой пирамиды. тогда по теореме Пифагора

Ответ: 15.

B9 № 920. В правильной треугольной пирамиде точка – середина ребра , – вершина. Известно, что =3, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 45. Найдите длину отрезка .

Решение.
Найдем площадь грани :

Отрезок является медианой правильного треугольника , а значит, его высотой. Тогда

Ответ: 10.

B9 № 921. В правильной треугольной пирамиде SABC точка L — середина ребра AC, S — вершина. Известно, что BC = 6, а SL = 5. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение.
Отрезок SL является медианой правильного треугольника SAC, а значит, и его высотой. Боковые грани пирамиды равны, поэтому

Ответ: 45

B9 № 922. В правильной треугольной пирамиде   – середина ребра ,   – вершина. Известно, что =4, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 54. Найдите длину ребра

Решение.
Найдем площадь грани :

Отрезок является медианой правильного треугольника , а значит, и его высотой. Тогда

Ответ: 9.

B9 № 923. В правильной треугольной пирамиде – середина ребра , – вершина. Известно, что =5, а =6. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение.
отрезок является медианой правильного треугольника , а значит, и его высотой. Тогда

Ответ: 45.

B9 № 924. В правильной треугольной пирамиде   – середина ребра ,   – вершина. Известно, что =7, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 42. Найдите длину отрезка .

Решение.
Найдем площадь грани :

  Отрезок является медианой правильного треугольника , а значит, и его высотой. Тогда

B9 № 284348. В правильной четырехугольной пирамиде точка  — центр основания,  вершина, , Найдите боковое ребро .

Решение.
Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный, т. к. — высота, она перпендикулярна основанию , а значит, и прямой Тогда по теореме Пифагора

Ответ: 5.

Ответ: 4.

B9 № 284349. В правильной четырехугольной пирамиде точка  — центр основания, вершина, , . Найдите длину отрезка .

Решение.
Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный, т. к. — высота, она перпендикулярна основанию , а значит и прямой . Тогда по теореме Пифагора

.

Ответ: 4.

B9 № 284350. В правильной четырехугольной пирамиде точка  — центр основания, вершина, , . Найдите длину отрезка .

Решение.
Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный: т. к.  — высота, она перпендикулярна основанию , а значит и прямой . Тогда по теореме Пифагора

.

B9 № 284351. В правильной треугольной пирамиде  — середина ребра ,  — вершина. Известно, что , а . Найдите площадь боковой поверхности.

Решение.
Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:

Ответ:3

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Ответ: 14

Задание B9 (277063)

Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45

Задание B9 (277315) 

Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45

Задание B9 (279453) 

Найдите тангенс угла многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Ответ: 1

Задание B9 (277205) 

Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45

Задание B9 (277075) 

Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45

Задание B9 (277669) 

Найдите тангенс угла многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Ответ: 1

Задание B9 (276979) 

Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45

Задание B9 (276929) 

Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45

Задание B9 (277011) 

Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45

Задание B9 (281653) 

Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45

Задание B9 (279449) 

Найдите тангенс угла многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Ответ: 0.6

Задание B9 (245381) 

Найдите тангенс угла многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Ответ: 3

Задание B9 (282071) 

Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 60

Задание B9 (277249) 

)

Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45

Задание B9 (277095) 

Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45

Задание B9 (275829) 

Найдите квадрат расстояния между вершинами и многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Ответ: 20

Задание B9 (276975) 

Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45

Задание B9 (284359) 

Высота конуса равна 4, а длина образующей — 5. Найдите диаметр основания конуса.

Ответ: 6

Задание B9 (277009) 

(показов: 1808, ответов: 418)

Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45

Задание B9 (276381) 

Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 60

Задание B9 (281527) 

Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45

Задание B9 (280843) 

Найдите тангенс угла многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Ответ: 0.4

Задание B9 (276935) 

Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45

Задание B9 (271395) 

Найдите расстояние между вершинами и прямоугольного параллелепипеда, для которого , , .

Ответ: 15

Задание B9 (277139) 

Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45

Задание B9 (271457) 

(показов: 1897, ответов: 363)

Найдите расстояние между вершинами и прямоугольного параллелепипеда, для которого , , .

Ответ: 5

Задание B9 (279933) 

Найдите тангенс угла многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Ответ: 2

Задание B9 (280667) 

Найдите тангенс угла многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Ответ: 0.4

Задание B9 (279513) 

Найдите тангенс угла многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Ответ: 2

Задание B9 (272475) 

)

Найдите угол прямоугольного параллелепипеда, для которого , , . Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45

Задание B9 (270777) 

Найдите квадрат расстояния между вершинами и прямоугольного параллелепипеда, для которого , , .

Ответ: 123

Задание B9 (279921) 

Найдите тангенс угла многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Ответ: 2

Задание B9 (277327) 

Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45

Задание B9 (282137) 

Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 60

Задание B9 (273325) 

В правильной шестиугольной призме все ребра равны 13. Найдите расстояние между точками и .

Ответ: 26

Задание B9 (271835) 

Найдите угол прямоугольного параллелепипеда, для которого , , . Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45

Задание B9 (270903) 

Найдите квадрат расстояния между вершинами и прямоугольного параллелепипеда, для которого , , .

Ответ: 77

Задание B9 (276639) 

Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 60

Задание B9 (281507) 

Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45

Задание B9 (276999) 

Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45

Задание B9 (277261) 

Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45

Задание B9 (282181) 

Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 60

Задание B9 (277265) 

Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45

Задание B9 (276973) 

Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45

Задание B9 (277465) 

Найдите тангенс угла многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Ответ: 1

Задание B9 (277381) 

Найдите тангенс угла многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Ответ: 1

Задание B9 (277085) 

Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45

Задание B9 (280593) 

Найдите тангенс угла многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Ответ: 1

Задание B9 (281589) 

Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45

Задание B9 (277129) 

Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45

Задание B9 (281781) 

Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45

Задание B9 (277145) 

Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45

Задание B9 (276481) 

Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 60

Задание B9 (280775) 

Найдите тангенс угла многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Ответ: 0.6

Вопрос B14

Найдите наибольшее значение функции y=x3+2x2+x+3 на отрезке [−3;−0,5].

Заметим, что функция y=x3+2x2+x+3 определена на всей числовой оси.

Наибольшее свое значение на отрезке функция принимает в точке экстремума или на  концах отрезка.
Определим точки, подозрительные на экстремумы. Для этого найдем производную функции:

y′=3x2+4x+1

Решим уравнение y′=0.

3x2+4x+1=0

x1=−1, x2=−13.

Точка x2=−13 не принадлежит рассматриваемому отрезку [−3;−0,5].

Вычислим значения функции в точке x=−1 и на концах отрезка.

При x=−1:
y=(−1)3+2⋅(−1)2+(−1)+3=−1+2−1+3=3.

При x=−3:
y=(−3)3+2⋅(−3)2+(−3)+3=−27+2⋅9=−9.

При x=−0,5:
y=(−0,5)3+2⋅(−0,5)2+(−0,5)+3=−0,125+2⋅0,25−0,5+3=2,875.

Наибольшим из полученных чисел является 3.

Вопрос B14

Найдите наибольшее значение функции y=9cosx+16x−8 на отрезке [−3π2;0].

Производная функции f(x)=9cosx+16x−8 равна f′(x)=9⋅(−sinx)+16=−9sinx+16.
Найдем критические точки функции: f′(x)=0.

−9sinx+16=0,

sinx=16/9.

Это уравнение не имеет решений, так как функция синус принимает значение от -1 до 1.
У функции f(x)=9cosx+16x−8 нет критических точек. Найдем значение f(x) на концах отрезка [−3π2;0] и выберем наибольшее.

f(−3π2)=9cos(−3π2)−16⋅3π2−8=−8(3π+1)⇒f(−3π2)<0.

f(0)=9cos0+16⋅0−8=9−8=1⇒f(0)>0.

f(0)>f(−3π2).
Наибольшее значение функции f(x)=9cosx+16x−8 на отрезке [−3π2;0] равно 1.

Вопрос B14

Найдите наибольшее значение функции y=x3–12x+7 на отрезке [−3;0].

Найдем критические точки функции f(x)=x3−12x+7.

f′(x)=3x2−12

3x2−12=0

x2=4

x1=−2, x2=2.

Вычислим значения функции в концах отрезка [−3;0] и критической точке x=−2, принадлежащей данному отрезку.

f(−3)=(−3)3−12⋅(−3)+7=−27+36+7=16

f(−2)=(−2)3−12⋅(−2)+7=−8+24+7=23

f(0)=7

Наибольшее значение функции f(x)=x3−12x+7 на отрезке [−3;0] равно 23.

 В 9

Решение задач B14 из ЕГЭ по математике

Задача B14 из ЕГЭ 2012 по математике соответствует задаче B11 из ЕГЭ 2011 по математике и представляет собой задание на исследование элементарных функций (дробно-рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных, логарифмических). Чаще всего это исследование сводится к нахождению наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке или же максимума (минимума) функции. Существует два различных подхода к решению этих задач: с использованием и без использования понятия производной функции.

Решение задач B14 с помощью производных

Что нужно знать для решения задач на исследование функций с помощью понятия производной из ЕГЭ по математике. Выделим здесь три основных пункта:

1. Безупречное знание производных элементарных функций, изучаемых в школьном курсе математики. Обязательно выучите из наизусть!

Таблица производных элементарных функций

2. Безупречное знание и умение применить на практике основные правила вычисления производных. Это одно из основополагающих обстоятельств, определяющих математическую грамотность человека.

Основные правила вычисления производных

Правило вычисления производной произведения имеет полезное следствие, которое также требуется запомнить: если то (постоянный множитель можно выносить за знак производной).

3. Знание и понимание алгоритмов нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции, а также максимума (минимума) функции с использованием понятия производной функции Когда дело доходит до алгоритмов, без конкретных примеров не обойтись, разбором которых мы сейчас и займемся.

Алгоритм нахождения наименьшего или наибольшего значения функции на отрезке

Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке

Задача для самостоятельного решения №1. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Алгоритм нахождения точки максимума или минимума функции

Решение задач B14 без использования понятия производной

Возможно некоторым школьникам, привыкшим решать задачи по математике исключительно по отработанному алгоритму, изложенное далее покажется излишним, ведь все предлагаемые в B14 задания из ЕГЭ можно решить с помощью производной. Однако, это вовсе не означает, что данный способ во всех случаях оказывается простейшим из возможных. Чтобы в этом убедиться, предлагаю вам самостоятельно выполнить следующие несложные задания:

1) найдите наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке

Показать решение

Эта функция возрастает на данном отрезке (коэффициент при положителен), поэтому наименьшего в нем значения она достигает на его левом конце а наибольшего — на правом

2) для функции найдите наибольшее и наименьшее значения на отрезке

Показать решение

Графиком данной квадратичной функции является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при положителен), а абсцисса ее вершины равна Эта точка принадлежит отрезку в ней функция достигает своего наименьшего значения на этом отрезке Наибольшее значение на рассматриваемом отрезке функция достигает в том из его концов, который наиболее удален от то есть

3) найдите наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке

Показать решение

Длина рассматриваемого отрезка больше (основного периода синусоиды). Следовательно, на отрезке функция принимает свое наибольшее и наименьшее значения. Вместе с тем свои наибольшее и наименьшее значения принимает и исходная функция.

Замена переменной

Пример 2. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Решение. Используя основное тригонометрическое тождество, преобразуем функцию к виду: Используем замену Так как то

Ищем тогда наименьшее значение функции на отрезке Оно достигается  в вершине данной параболы, ветви которой направлены вверх (коэффициент при положителен), то есть в точке исходная переменная принимает при этом значение

Соответствующее значение функции равно

Ответ: 

Задача для самостоятельного решения №4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Показать ответ

Ответ: