Решение задач
материал для подготовки к егэ (гиа) по физике (11 класс) на тему

1.1. Кинематика.
     1.2. Динамика.
     1.3. Законы сохранения в механике.
     1.4. Элементы статики. Жидкости и газы.
   
     1.1. Кинематика.

1.1-1. Тело брошено с поверхности земли под углом 60⁰ к горизонту со скоростью 20 м/с. Определить дальность полета.

Решение:
g = 9,8 м/c²  (ускорение свободного падения)
V₀ = 20 м/c
α = 60⁰
Xmax - ?
Воспользуемся формулой:
Xmax = (V₀²sin2α)/g.
Xmax = (20²sin120⁰)/9,8 = (400·0,866)/9,8 = 35,35 м
Ответ:  Xmax = 35,35 м.

1.1-2. Если через 6 с после начала движения человек прошёл путь 27 м, чему равно ускорение? 

Решение:
V₀ = 0 (начальная скорость)
S = 27 м
t = 6 с
a – ? (ускорение)
Воспользуемся формулой перемещения S при равноускоренном движении:
S = V₀t + at²/2,
отсюда (т.к. V₀ = 0) ускорение:
a = 2S/t².
a = 2·27/6² = 1,5 м/c².
Ответ: a = 1,5 м/c².

1.1-3. Пуля была выстреляна с начальной скоростью 200 м\с и упала на землю через 2 км. Определить всевозможные углы выстрела.

Решение:
V₀ = 200 м/с
Xmax = 2000 м
g = 10 м/с²
α – ?   (0 ≤ α ≤ 90°)
Дальность полёта
Xmax = (V₀²sin2α)/g,  отсюда
sin2α = Xmax·g/V₀².
sin2α = 2000·10/(200)² = 0,5.
2α = (-1)ⁿarcsin0,5 + πn,   n є Z.
2α = (-1)ⁿ30° + 180°n,   n є Z.
α = (-1)ⁿ15° + 90°n,   n є Z.               (1)
Из (1) при n = 0, α = 15°,
           при n = 1, α = 75°.    
Других α из интервала 0 ≤ α ≤ 90° нет.
Ответ: 15° и  75°.


1.1-4. Пуля была выстреляна с уровня земли на расстояние 1 км, максимальная высота - 200 м. Найти угол и начальную скорость выстрела.

Решение:
Xmax = 1000 м
Ymax = 200 м
g = 10 м/с²
α – ?
V₀ – ?
Дальность полёта
Xmax = (V₀²sin2α)/g .             (1)
Максимальная высота полета
Ymax = (V₀²sin²α)/(2g) .         (2)
Разделим (1) на (2) и, после упрощения, получим
Xmax/Ymax = 2sin2α/sin²α или 1000/200 = 2·2sinαcosα/sin²α, отсюда
ctgα = 1,25,   α = arcctg1,25 = 38⁰40ʹ.
По тригонометрической формуле
1 + ctg²α = 1/sin²α найдём sinα:
1 + (1,25)² = 1/sin²α ,  sinα = 4/√(41).
Из (2) выразим V₀:
V₀ = ( √(2gYmax) )/sinα.
V₀ = ( √(2·10·200) )/( 4/√(41) ) = 101,24 м/с.
Ответ:  α = 38⁰40ʹ ,   V₀ = 101,24 м/с.

1.1-5. Чему равна средняя скорость движения автомобиля на всем пути, если первую половину пути он двигался со скоростью 70 км\ч, а вторую половину пути − со скоростью 30 км\ч.

Решение:
V₁ = 70 км/ч
V₂ = 30 км/ч
S₁ = S₂ = S
< V> − ?
Средняя скорость
= (S₁ + S₂)/(t₁ + t₂) = (S₁ + S₂)/(S₁/V₁ + S₂/V₂) = (S + S)/(S/V₁ + S/V₂) = 2V₁V₂/(V₁ + V₂).
Получили
= 2V₁V₂/(V₁ + V₂).
< V> = 2·70·30/(70 + 30) = 42 км/ч.
Ответ: = 2V₁V₂/(V₁ + V₂) = 42 км/ч.

1.1-6. Дана стробоскопическая фотография шарика. А также вот это:
Время движения(t,с)             Координата(y,м)
0        ---------------------------------             0      
0,10   ---------------------------------              0,05
0,20  ----------------------------------              0,25
0,30  ----------------------------------              0,45
0,40  ----------------------------------             0,75
0,50 -----------------------------------             1,15
0,60------------------------------------             1,7  
Нужно найти перемещение шарика ( чтобы найти в конце концов g ) для первых 3 случаев и для всего опыта.

Решение:
В данном опыте перемещение это координата шарика.
Для первых трёх случаев:
S = 0,45 м
t = 0,3 с
g = 2S/t² = 2·0,45/0,3² = 10 м/с².
Для всего опыта:
S = 1,7 м
t = 0,6 с
g = 2S/t² = 2·1,7/0,6² = 9,4 м/с².

1.1-7. Мяч брошен со скоростью 14 м/с под углом 35° к горизонту. Во время полета он упруго ударяется о вертикальную стену, находящейся на расстоянии 5 м от места бросания. На каком расстоянии от стены упадет мяч? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение:
V₀ = 14 м/с
α = 35⁰
L = 5 м
d − ?
Пусть V₂ и V₁ − векторы скоростей ударяющего и отраженного мяча в точке удара о стенку. При упругом ударе эти скорости симметричны относительно стенки (см. рис.), а их модули равны V₁ = V₂. В силу симметрии отражённый мяч будет лететь по той же траектории, но только влево и упадёт на расстоянии d от стены. Из рис. видно
d = Xm – L .                           (1)
Дальность полёта Xm:
Xm = (V₀²sin2α)/g.
Тогда (1) примет вид
d = (V₀²sin2α)/g – L .
d = (14²sin70⁰)/9,8 – 5 = (14²·0,9397)/9,8 – 5 = 13,794 м.
Ответ: 13,794 м.

1.1-8. Пловец переплывает реку по прямой, перпендикулярной берегу. Чему равна скорость течения реки, если скорость пловца относительно воды в √2 раз больше скорости течения. Скорость пловца относительно берега равна 0,5 м/с.

Решение:
V₁ = (√2)V₂                                (1)
V = 0,5 м/с
V₂ − ?
V₁ – скорость пловца относительно воды,
V₂ – скорость течения реки,
V – скорость пловца относительно берега.
По формуле сложения скоростей (см. рис.) и теореме Пифагора имеем
V₁² = V₂² + V² или, с учётом (1),
( (√2)V₂ )² = V₂² + V² отсюда
V₂ = V = 0,5 м/с.
Ответ: 0,5 м/с.

1.1-9. Два тела одновременно начинают движение по окружности из одной точки в одном направлении. Период обращения первого тела – 2 с, второго – 6 с. Через какой промежуток времени первое тело догонит второе?

Решение:
T₁ = 2 c
T₂ = 6 c
t − ?
Пусть L – длина окружности. Скорость первого тела больше, чем второго (V₁ >V₂).
Первый способ.
Пусть, когда первое тело догнало второе, второе пробежало k кругов, а первое − k+1.
Скорость первого тела
V₁ = L(k+1)/t,
с другой стороны
V₁ = L/T₁ .
Из последних двух равенств имеем L(k+1)/t = L/T₁ или
(k+1)/t = 1/T₁ .                                 (1)
Аналогично для второго тела
V₂ = Lk/t,
с другой стороны
V₂ = L/T₂ .
Из последних двух равенств имеем Lk/t = L/T₂ или
k/t = 1/T₂ .                                        (2)
Из (2) выразим k = t/T₂ и подставим в (1)
(t/T₂ + 1)/t = 1/T₁ , отсюда
t = T₁T₂/(T₂ - T₁).                               (*)
t = 2·6/(6-2) = 3 c.
Второй способ.
В системе отсчёта, связанной со вторым телом, скорость 1-го тела относительно 2-го
V₁₂ = V₁ - V₂ = L/t.                         (3)
Скорость первого и второго тел относительно земли
V₁ = L/T₁ и V₂ = L/T₂ , подставим в (3)
L/T₁ - L/T₂ = L/t, отсюда
t = T₁T₂/(T₂ - T₁).
Получили ту же формулу (*).
Ответ: t = T₁T₂/(T₂ - T₁) = 3 c.

1.1-10. За 1 с равнозамедленного движения автомобиль прошёл половину тормозного пути. Определить полное время торможения.

Решение:
t₁ = 1 c
Sₓ(t₁) = S/2   (S − тормозной путь)
aₓ = -a
tт − ?    (время торможения)
Пусть V₀ − скорость автомобиля перед началом торможения. Направим ось X по направлению скорости. Тогда проекция на ось X начальной скорости автомобиля V₀ₓ= V₀. Зависимость проекции перемещения Sₓ автомобиля при торможении от времени t
Sₓ = V₀ₓt + aₓt²/2 или
Sₓ = V₀t - at²/2,                                              (1)
отсюда за время t₁ перемещение равно
Sₓ(t₁) = V₀t₁ - at₁²/2 или
S/2 = V₀t₁ - at₁²/2.                                          (2)
Из (1) в конце времени торможения tт перемещение равно
S = V₀tт - atт²/2.                                             (3)
Проекция скорости меняется со временем
Vₓ = V₀ₓ + aₓt.
Т.к. в конце торможения (при t = tт) скорость равна нулю, то последнее равенство примет вид
0 = V₀ₓ + aₓtт или 0 = V₀ - atт или
V₀ = atт .                                                        (4)
Запишем (2), (3), (4) в виде системы трёх уравнений с неизвестными V₀ , a, tт , S.
{ S/2 = V₀t₁ - at₁²/2
{ S = V₀tт - atт²/2
{ V₀ = atт .
Подставим V₀ из третьего равенства системы в первые два
{ S/2 = atтt₁ - at₁²/2
{ S = atт²/2.
Первое уравнение умножим на 2
{ S = 2atтt₁ - at₁²
{ S = atт²/2.
Приравняем правые части в последних равенствах
2atтt₁ - at₁² = atт²/2, отсюда, сокращая на а, получим квадратное уравнение для tт
tт² - 4t₁tт + 2t₁² = 0, его корни
tт = (2±√2)t₁.
Меньший корень tт = (2-√2)t₁ = (2-1,41)·1 = 0,59 с < 1 c не удовлетворяет условию задачи. Второй корень tт = (2+√2)t₁ = (2+1,41)·1 = 3,41 с и есть искомое время торможения.
Ответ: 3,41 с.

1.1-11. Снаряд, летящий со скоростью 1000 м/с, пробивает стенку блиндажа за время 0,001 с, после чего его скорость оказалась равна 200 м/с. Считая движение снаряда равноускоренным, найдите толщину стенки.

Решение:
V₀ = 1000 м/с
V = 200 м/с
t = 0,001 с
S − ?
Воспользуемся формулой
S = (V₀+V)t/2.
S = (1000+200)·0,001/2 = 0,6 м.
Ответ: 0,6 м.

1.1-12. Моторная лодка плыла сначала 6 минут по озеру, в стоячей воде, а затем 10 минут по реке, против течения. Обратный путь, двигаясь с той же собственной скоростью, лодка прошла за 11 минут. Найти отношение длины пути пройденного лодкой по озеру, к длине пути, пройденного ею по реке.

Решение:
t₁ = 6 мин (по озеру)
t₂ = 10 мин (по реке против течения)
t₂΄ − время (по реке по течению)
t₁΄ = 6 мин (по озеру)
t₂΄ + t₁΄ = 11 мин
S₁/S₂ − ?
Составим систему уравнений (V – скорость лодки в стоячей воде, Vᵨ – скорость течения реки)
{ V = S₁/t₁ = S₁/6                    { V = S₁/6
{ V-Vᵨ = S₂/t₂ = S₂/10   или   { V-Vᵨ = S₂/10  
{ V+Vᵨ = S₂/t₂΄                       { V+Vᵨ = S₂/t₂΄
{ t₂΄ + t₁΄ = 11.                       { t₂΄ + 6 = 11.
Чтобы исключить скорость реки Vᵨ, сложим второе и третье уравнения. Получим
{ V = S₁/6                              { V = S₁/6                               { V = S₁/6
{ 2V = S₂/10 + S₂/t₂΄    или   { 2V = S₂/10 + S₂/5    или      { 2V = 3S₂/10.
{ t₂΄ = 5
Подставим V из первого уравнения во второе
2S₁/6 = 3S₂/10, отсюда
Ответ:  S₁/S₂ = 0,9.

1.1-13. Поезд идёт со скоростью 54 км/ч. Перпендикулярно его движению летит пуля и пробивает две стенки вагона насквозь. Вычислить скорость пули, если ширина вагона 2,4 метра, а расстояние между дырками 6 см.

Решение:
V₂ = 54 км/ч = 15 м/с
d = 2,4 м
x = 0,06 м
V − ?
По закону сложения скоростей имеем (см. рис.)
V = V₁ + V₂ , 
где V – скорость пули относительно земли; V₁ − скорость пули относительно вагона; V₂ − скорость вагона.
Из подобия малого и большого треугольников имеем:
V₂/V = x/d отсюда
V = V₂d/x.
V = 15·2,4/0,06 = 600 м/с.
Ответ: 600 м/с.

1.1-14. Заметив автоинспектора, водитель резко тормозит. Точку А автомобиль прошёл со скоростью 144 км/ч, а точку В - уже со скоростью 72 км/ч. С какой скоростью двигался автомобиль в середине отрезка АВ?

Решение:
V₀ = 144 км/ч
V = 72 км/ч
V₁ − ?
Направим ось X по направлению движения автомобиля. Пусть S – длина участка АВ, а точка С – его середина. При торможении проекция ускорения aₓ = - а. Воспользуемся формулой
Sₓ = (Vₓ² - V₀ₓ²)/(2aₓ).                                                (1)
В точке В: Sₓ = S, Vₓ = V, V₀ₓ = V₀. Тогда (1) примет вид
S = (V² - V₀²)/(-2a).                                                    (2)
В точке С: Sₓ = S/2, Vₓ = V₁ , V₀ₓ = V₀. Тогда (1) примет вид
S/2 = (V₁² - V₀²)/(-2a).                                                (3)
Разделим (2) на (3)
S/(S/2) = ( (V² - V₀²)/(-2a) )/( (V₁² - V₀²)/(-2a) ) или
2 = (V² - V₀²)/(V₁² - V₀²), отсюда
V₁ = √( (V₀² + V²)/2 ).
V₁ = √( (144² + 72²)/2 ) = 114 км/ч.
Ответ: V₁ = √( (V₀² + V²)/2 ) = 114 км/ч.

1.1-15. Как из уравнения движения тела найти зависимость v(t) (график скорости). Дано, например, уравнение x(t) = 6 + 7t² . Как отсюда найти v(t) ?

Решение:
X(t) = 6 + 7t².                                                                            (1)
Можно обойтись и без производных (если Вы не умеете дифференцировать функции).
Зависимость координаты X(t) от времени при равноускоренном движении:
X(t) = X₀ + V₀ₓt + aₓt²/2,                                                            (2)
где X₀ − начальная координата тела, V₀ₓ − проекция на ось X начальной скорости, aₓ − проекция на ось X ускорения.
Сопоставляя общее уравнение (2) и частное для нашей задачи уравнение (1), находим
X₀ = 6, V₀ₓ = 0, aₓ/2 = 7 или aₓ = 14.                                       (3)
Зависимость от времени проекции на ось X скорости Vₓ(t) при равноускоренном движении:
Vₓ(t) = V₀ₓ + aₓt.                                                                       (4)
С учётом (3) по (4) находим Vₓ(t) = 0 + 14t или Vₓ(t) = 14t.
График Vₓ(t) = 14t представлен на рисунке.
Ответ: Vₓ(t) = 14t.

1.1-16. Человек переплывает реку, скорость течения которой 3 м/с. Скорость человека относительно берега направлена перпендикулярно берегу и равна 4 м/с. Чему равна скорость человека относительно реки и как она направлена?

Решение:
V₂ = 3 м/с
V = 4 м/с
V₁ − ?
ϕ − ?
V₁ – скорость пловца относительно воды,
V₂ – скорость течения реки,
V – скорость пловца относительно берега.
По формуле сложения скоростей (см. рис.) и теореме Пифагора имеем V₁² = V₂² + V² , отсюда
V₁ = √(V₂² + V²).
V₁ = √(3²+4²) = 5 м/с.
Тангенс угла ϕ равен (см. рис.)
tgϕ = V₂/V, отсюда ϕ = arctg(V₂/V),  ϕ = arctg(3/4) ≈ 37⁰.
Ответ: V₁ = √(V₂² + V²) = 5 м/с; ϕ = arctg(V₂/V) ≈ 37⁰.

1.1-17. Две материальные точки одновременно начинают движение по окружности из одного положения в противоположенных направлениях. Через какое время от начала движения они встретятся, если период обращения одной точки 3 с, а второй - 6 с.

Решение:
Т₁ = 3 с
Т₂ = 6 с
t − ? (время встречи)
Пусть L − длина окружности.
Скорость 1-й точки:
v₁ = L/Т₁ .                                                    (1)
Скорость 2-й точки:
v₂ = L/Т₂ .                                                    (2)
Первая точка движется быстрее второй: v₁ > v₂ .
В системе отсчёта, связанной со 2-й точкой, скорость 1-й точки
v₁₂ = v₁ + v₂ .                                                (3)
В этой системе отсчёта, 1-я точка совершит один оборот за время t. Имеем
v₁₂ = L/t или, с учётом (3),
v₁ + v₂ = L/t.
Подставим сюда v₁ и v₂ из (1) и (2)
L/Т₁ + L/Т₂ = L/t.
Отсюда, после упрощения, получим
t = Т₁·Т₂/(Т₁ + Т₂).
t = 3·6/(3 + 6) = 2 с.
Ответ: t = Т₁·Т₂/(Т₁ + Т₂) = 2 с.

1.1-18. С какой скоростью надо бросить камень вдоль горизонтальной поверхности катка, чтобы он, скользя с ускорением 0,5 м/с², остановился на расстоянии 100 м от начального положения?

Решение:
aₓ = - 0,5 м/с²
Vₓ = 0
Sₓ = 100 м
V₀ₓ − ?
Применим формулу
Sₓ = (Vₓ² - V₀ₓ²)/(2aₓ).
Отсюда V₀ₓ² = Vₓ² - 2aₓSₓ.
V₀ₓ² = 0² - 2·(-0,5)·100 = 100. Тогда V₀ₓ = 10 м/с.
Ответ: V₀ₓ = 10 м/с.

1.1-19. Начальная скорость 1 метр в секунду, конечная скорость 1 сантиметр в секунду, между двумя этими точками объект проходит 3 см пути, какое ускорение?

Решение:
V₀ₓ = 1 м/с
Vₓ = 0,01 м/с
Sₓ = 0,03 м.
Направим ось Х по направлению движения тела. Воспользуемся формулой:
Sₓ = (Vₓ² - V₀ₓ²)/(2aₓ),
отсюда
aₓ = (Vₓ² - V₀ₓ²)/(2Sₓ).
aₓ = (0,01² - 1²)/(2·0,03) = - 16,665 м/с².
Так как проекция ускорения на ось Х отрицательна (aₓ <0), то движение равнозамедленное. Ответ: aₓ = (Vₓ² - V₀ₓ²)/(2Sₓ) = - 16,665 м/с².

_______________________________________________________________________________________________

     1.2. Динамика.

1.2-1. Две звезды движутся вокруг общего центра масс с постоянными по модулю скоростями V₁
и V₂ и периодом Т. Найти массы звезд и расстояние между ними.

Решение:
V₁, V₂, T
G – гравитационная постоянная
M₁ − ?
M₂ − ?
R − ?
Звёзды движутся по окружностям радиуса R₁ и R₂ с общим центром С – центр масс (см. рис.). Скорости звёзд
V₁ = 2πR₁/T и V₂ = 2πR₂/T, отсюда радиусы окружностей
R₁ = TV₁/2π и R₂ = TV₂/2π.                     (1)
С учётом (1), расстояние R между звёздами
R = R₁ + R₂ = TV₁/2π + TV₂/2π = T(V₁+V₂)/2π. Итак,
R = T(V₁+V₂)/2π.                                     (2)
Второй закон Ньютона соответственно для первой и второй звезды
F = M₁a₁ , F = M₂a₂ ,                                (3)
где F = GM₁M₂/R² − сила гравитационного притяжения звёзд;
a₁ = V₁²/R₁ и a₂ = V₂²/R₂ − центростремительное ускорение первой и второй звезды.
Тогда уравнения (3) примут вид
GM₁M₂/R² = M₁V₁²/R₁ и GM₁M₂/R² = M₂V₂²/R₂ .
Подставим в эти уравнения R₁ и R₂ из (1) и R из (2), получим
GM₂/( T(V₁+V₂)/2π )² = V₁²/( TV₁/2π ) и GM₁/( T(V₁+V₂)/2π )² = V₂²/( TV₂/2π ).
Отсюда, после упрощения, находим массы звёзд
M₂ = TV₁(V₁+V₂)²/(2πG) и M₁ = TV₂(V₁+V₂)²/(2πG).
Ответ: R = T(V₁+V₂)/2π;   M₁ = TV₂(V₁+V₂)²/(2πG);   M₂ = TV₁(V₁+V₂)²/(2πG).

1.2-2. К телу массой m = 1кг, находящемуся на наклонной плоскости с углом наклона α =30⁰, приложена сила F = 2,5 H, направленная вниз вдоль плоскости. Коэффициент трения = 0,4. С каким ускорением тело движется вниз по плоскости ?

Решение:
m = 1 кг
α = 30°
F = 2,5 H
µ = 0,4
a – ?
Направим ось Х вдоль плоскости вниз, ось Y перпендикулярно плоскости вверх. На тело действуют силы: реакция плоскости N, сила F, сила тяжести mg, сила трения Fтр(см. рис) .
Второй закон Ньютона в векторном виде:
N + F + mg + Fтр =ma
или в проекциях на оси Х и Y:
X:      F + mgsinα – Fтр = ma    (1)
Y:      N - mgcosα  = 0               (2)
         Fтр = µN.                          (3)
Из (2)   N = mgcosα  и подставим в (3)
Fтр = µmgcosα , подставим в (1)
F + mgsinα – µmgcosα  = ma, отсюда ускорение движения тела
a = F/m + g(sinα – µcosα).
a = 2,5/1 + 10( 0,5 – 0,4√(3)/2 ) = 4,04 м/c².
Ответ: a = 4,04 м/c².

1.2-3. На горизонтальном полу стоит ящик массой 10 кг. Кэффициент трения между полом и ящиком равен 0.25. К ящику в горизонтальном направлении прикладывают силу 16 Н. Какова сила трения между ящиком и полом?

Решение:
m = 10 кг
µ = 0,25
F = 16 Н
F тр – ?
График зависимости силы трения Fтр от внешней силы F (см. рис.). Участок ОА – сила трения покоя, участок AB – сила трения скольжения. Точка А (25; 25) соответствует  значению силы трения скольжения µN = µmg = 0,25·10·10 = 25 Н.
Внешней силе F = 16 Н на графике соответствует сила трения покоя F тр.покоя = 16 Н.
Ответ: F тр.покоя = 16 Н.

1.2-4. Две звезды массы M₁ и M₂ образуют двойную систему с неизменным расстоянием между звёздами R. Каков период обращения звёзд вокруг общего центра масс?

Решение:
M₁ , M₂ , R
T − ?
Звёзды движутся по окружностям радиуса R₁ и R₂ с общим центром С – центр масс (см. рис. к задаче 1.2-1).
Второй закон Ньютона соответственно для первой и второй звезды
F = M₁a₁ ,    F = M₂a₂ ,                                       (1)
где F = GM₁M₂/R² − сила гравитационного притяжения звёзд;
a₁ = 4π²R₁/T² и a₂ = 4π²R₂/T² − центростремительное ускорение первой и второй звезды.
Тогда уравнения (1) примут вид
GM₁M₂/R² = M₁4π²R₁/T² и GM₁M₂/R² = M₂4π²R₂/T². Отсюда
R₁ = GM₂T²/(4π²R²) и R₂ = GM₁T²/(4π²R²).         (2)
Расстояние R между звёздами
R = R₁ + R₂ .
В последнее равенство подставим R₁ и R₂ из (2)
R = GM₂T²/(4π²R²) + GM₁T²/(4π²R²),
отсюда находим период T
Ответ: T = 4π√( R³/(G(M₁+M₂)) ).

1.2-5. Общая жесткость нескольких одинаковых пружин, соединенных параллельно, в 16 раз больше общей жесткости этих же пружин, соединенных последовательно. Вычислите количество пружин.

Решение:
Кпар = 16Кпсл                                       (1)
n − ? (число пружин)
Пусть к − жёсткость одной пружины. Общая жесткость Кпар при параллельном соединении n пружин с жёсткостями к₁, к₂, к₃, …, кn:
Кпар = к₁ + к₂ + к₃ + … + кn ,
отсюда, т.к. у одинаковых пружин жёсткости равны к₁ = к₂ = к₃ = … = кn = к, имеем
Кпар = кn.                                              (2)
Общая жесткость Кпсл при последовательном соединении n пружин с жёсткостями к₁, к₂, к₃, …, кn:
1/Кпсл = 1/к₁ + 1/к₂ + 1/к₃ + … + 1/кn ,
отсюда, при к₁ = к₂ = к₃ = … = кn = к, имеем 1/Кпсл = n/к или
Кпсл = к/n.                                              (3)

Подставляя Кпар и Кпсл из (2) и (3) в (1), получим

кn = 16(к/n), отсюда n2 = 16 и n = 4.
Ответ: n = 4.

1.2-6. Определите силу натяжения троса, связывающего два спутника массой m, которые обращаются вокруг Земли на расстояниях r₁ и r₂ от её центра так, что трос всегда направлен вертикально. Масса Земли М.

Решение:
m₁ = m₂ = m
r₁ , r₂ , М
N − ?
Спутники с массами m₁ и m₂ движутся по круговым орбитам с радиусами r₁ и r₂ соответственно (см. рис.).
1-й спутник с массой m₁ находится под действием сил, изображенных на рисунке, где F₁ = GMm₁/r₁² – сила притяжения к Земле, N₁ – сила натяжения троса; G − гравитационная постоянная. 2-й спутник с массой m₂ находится под действием сил, изображенных на рисунке, где F₂ = GMm₂/r₂² – сила притяжения к Земле, N₂ – сила натяжения троса.
В проекции на координатную ось Х, направленную влево, уравнения движения спутников имеют вид:
{ F₁ - N₁ = m₁a₁                              (1)
{ F₂ + N₂ = m₂a₂ ,
где a₁ = ω²r₁ и a₂ = ω²r₂ − центростремительное ускорение 1-го и 2-го спутников соответственно; ω − угловая скорость вращения спутников. Учтём, что силы натяжения троса равны N₁ = N₂ = N и m₁ = m₂ = m. Тогда система уравнений (1) примет вид
{ GMm/r₁² - N = mω²r₁                  (1*)
{ GMm/r₂² + N = mω²r₂ .
Для того, чтобы исключить неизвестную угловую скорость ω, разделим 1-е уравнение на 2-е в системе (1*)
GMm/r₁² - N           mω²r₁              GMm/r₁² - N         r₁
–––––––––––– = –––––––  или  –––––––––––– = ––– .
GMm/r₂² + N          mω²r₂              GMm/r₂² + N        r₂
Из последнего уравнения выражаем силу натяжения троса N:
       GMm(r₂³ - r₁³)
N = –––––––––––– .
        (r₁ + r₂)r₁²r₂²
                               GMm(r₂³ - r₁³)
Ответ:            N = –––––––––––– .
                                (r₁ + r₂)r₁²r₂²

1.2-7. При параллельном соединении трех одинаковых пружин, жесткость системы пружин равна К₁, а при последовательном соединении − К₂. Вычислите отношение К₁/К₂.

Решение:
n = 3 (число пружин)
Кпар = К₁ (жёсткость системы при параллельном соединении пружин)
Кпсл = К₂ (жёсткость системы при последовательном соединении пружин)
К₁/К₂ − ?
Пусть к - жёсткость одной пружины. Общая жесткость Кпар при параллельном соединении n пружин с жёсткостями к₁, к₂, к₃, …, кn:
Кпар = к₁ + к₂ + к₃ + … + кn ,
отсюда, т.к. у одинаковых пружин жёсткости равны к₁ = к₂ = к₃ = … = кn = к и Кпар = К₁ , имеем
К₁ = кn.                                              (1)
Общая жесткость Кпсл при последовательном соединении n пружин с жёсткостями к₁, к₂, к₃, …, кn:
1/Кпсл = 1/к₁ + 1/к₂ + 1/к₃ + … + 1/кn ,
отсюда, при к₁ = к₂ = к₃ = … = кn = к и Кпсл = К₂ , имеем 1/К₂ = n/к или
К₂ = к/n.                                             (2)
Из (1) и (2) получаем
К₁/К₂ = кn/(к/n) или
К₁/К₂ = n².
К₁/К₂ = 3² = 9.
Ответ: К₁/К₂ = n² = 9.

_______________________________________________________________________________________________

     1.3. Законы сохранения в механике.

1.3-1. Тело скользит без трения по наклонному желобу с высоты h=2R из состояния покоя и затем описывает мертвую петлю радиуса R. На какой высоте тело оторвется от желоба.

Решение:  
h = 2R 
H − ? (отрыв)
Пусть m масса тела. Закон сохранения механической энергии для начального и конечного положений
тела:
mgh = mgH + mv²/2, отсюда
v² = 2gh - 2gH.         (1)
Второй закон Ньютона (в проекции на ось X) для конечного положения:
N + mgcosα = ma,   (*)
где а = v²/R – центростремительное ускорение тела. В момент отрыва реакция опоры N = 0 и (*) примет вид
mgcosα = mv²/R или
v² = Rgcosα.            (2)
Так как H = R + BC, но BC = OBcosα = Rcosα, то H = R + Rcosα. Отсюда
cosα = (H-R)/R.        (3)
Приравняем правые части (1) и (2):
2gh - 2gH = Rgcosα. Подставим сюда cosα из (3):
2gh - 2gH = Rg(H-R)/R, отсюда, после упрощения, получим H = (2h + R)/3 = (2·2R + R)/3 = 5R/3.

Ответ: H = 5R/3.

1.3-2. На гладкой горизонтальной плоскости стоит гладкая горка высотой H = 24 см и массой М = 1 кг, а на её вершине лежит небольшая шайба массой m = 200 г. После легкого толчка шайба соскальзывает с горки и движется перпендикулярно стенке, закрепленной в вертикальном положении на плоскости. С какой скоростью V шайба приближается к стенке по плоскости ?

Решение:
g = 9,8 м/c² (ускорение свободного падения)
H = 0,24 м
M = 1 кг
m = 0,2 кг
V₂ - ?
Направим ось X по направлению скорости V₂ шайбы после её соскальзывания с горки. Закон сохранения импульса для системы горка-шайба в проекции на ось X:
0 = MV₁x+mV₂ ,                     (1)
где  V₁x – проекция на X скорости горки после соскальзывания с неё шайбы.
В левой части (1) суммарный импульс системы горка-шайба до начала движения шайбы, в правой части – суммарный импульс системы после соскальзывания шайбы с горки.
Т.к. силы трения отсутствуют, то для системы горка-шайба справедлив закон сохранения механической энергии:
Eκ₁ + Eп₁ = Eк₂ + Eп₂,           (2*)
где
  Eκ₁ = 0 – начальная кинетическая энергия системы;
  Eп₁ = mgH – начальная потенциальная энергия системы;
  Eк₂ = M(V₁x)²/2 + m(V₂)²/2 – конечная кинетическая энергия системы;
  Eп₂ = 0 – конечная потенциальная энергия системы.
Тогда (2*) примет вид:
mgH = M(V₁x)²/2 + m(V₂)²/2;     (2)
Решаем систему (1),(2). Из (1) выразим V₁x:
V₁x = - mV₂/M   (знак “-” указывает на то, что горка после соскальзывания шайбы движется против оси X)
и подставим в (2):
mgH = (M/2)(-mV₂/M)² + m(V₂)²/2.
Отсюда
V₂ = ( 2gHM/(m(1+M)) )⁰·⁵.    Здесь ()⁰·⁵– квадратный корень из выражения в скобках.
V₂ = ( 2·9,8·0,24·1/(0,2·(1+1)) )⁰·⁵ = 3,43 м/c. 
Ответ: V₂ = 3,43 м/c.

1.3-3. Деревянный шар массой М = 1,99 кг висит на невесомой нерастяжимой нити. В него попадает (и застревает в его центре) пуля, летящая горизонтально со скоростью v = 600 м/с. Масса пули m = 10 г. Найти максимальную высоту, на которую поднимается шар.

Решение:
g = 9,8 м/с²
М = 1,99 кг
V = 600 м/с
m = 0,01 кг
h - ?
Пусть V₀ – скорость шара с застрявшей пулей сразу после застревания.
Закон сохранения импульса для системы пуля-шар:
m•V = (m + М)V₀.
Отсюда
V₀ =  m•V/(m + М).                  (1)
Закон сохранения механической энергии:
Eκ₁ + Eп₁ = Eк₂ + Eп₂,             (2)
где
   Eκ₁ = (m + М)V₀²/2 – начальная кинетическая энергия системы;
   Eп₁ = 0 – начальная потенциальная энергия системы;
   Eк₂ = 0 – конечная кинетическая энергия системы;
   Eп₂ = (m + М)gh – конечная потенциальная энергия системы.
Тогда (2) примет вид:
(m + М)V₀²/2 = (m + М)gh  или
V₀²/2 = gh, отсюда
h = V₀²/(2g). Тогда, с учётом (1), получим
h = ( 1/(2g) )( m•V/(m + М) )².
h = ( 1/(2•9,8) )( 0,01•600/(0,01+1,99) )² = 0,46 м.
Ответ: h = 0,46 м.

1.3-4. Тело находится на наклонной плоскости высотой 12 м. длиной 15 м. в состоянии покоя. Какую скорость он будет иметь в конце спуска, если его масса 10 кг., трением пренебреч.

Решение:
m = 10 кг
h = 12 м
L = 15 м
g = 10 м/с
V₀ = 0
V - ?
Закон сохранения механической энергии:
mgh = mV²/2.
Отсюда V = √(2gh),  где  √() – корень квадратный из выражения в скобках.
V = √(2•10•12) = √(240) = 15,49 м/c.
Ответ: V = 15,49 м/c.

1.3-5. Граната, летевшая горизонтально со скоростью 150 м/с, разорвалась на 2 равных осколка,которые разлетаются после взрыва под прямым углом. Один из осколков полетел под углом 30 градусов к первоначальному направлению движения гранаты.Найти скорость этого осколка

Решение:
V₀ = 150 м/с
V₁

  V₂
(здесь V –  обозначение вектора)
α  = 30°
V₁ – ?
Запишем закон сохранения импульса в векторном виде:
mV₀ = (m/2)V₁ + (m/2)V₂ ,  отсюда  
V₁ + V₂ = 2V₀    (1)
Изобразим равенство (1) (см. рисунок).
Из прямоугольного треугольника (на рис.) получим:
V₁ = 2V₀cosα.
V₁ = 2•150•cos30° = 2•150•(√3)/2 = 259,8 м/с.
Ответ: V₁ = 259,8 м/с.

1.3-6. Однородный стержень длиной 1 м подвешен на горизонтальной оси в точке, отстоящей на 20 см от его
верхнего конца. Найдите наименьшую линейную скорость, которую надо сообщить нижнему концу
стержня, чтобы он сделал полный оборот вокруг оси.

Решение:
АВ = L = 1 м
АО = d = 0,2 м
V₀ − ?
Минимальная скорость V₀ должна быть такой, чтобы стержень, сделав пол-оборота, остановился. На рисунке слева стержень в начальном положении, справа – стержень в конечном положении. Точка подвеса – О, центр тяжести С находится в середине стержня.
СО = L/2 – d.
Начальная h₁ и конечная h₂ высоты центра тяжести С над нулевым уровнем:  
h₁ = L/2                                        (1)
h₂ = h₁ + 2CO = 1,5L – 2d.           (2)
Связь линейной скорости V точки стержня и её угловой скорости ω:
V = ωR,                                         (*)
где R – расстояние от точки на стержне до точки  подвеса О.
Из (*) начальные скорости точки B (V₀) и точки С (Vc)
V₀ = ω·ОВ = ω·(L-d)  и Vc = ω·(L/2–d), отсюда Vc/V₀ = (L/2–d)/(L-d) отсюда
Vc = V₀(L/2–d)/(L-d).                   (3)
Пусть m – масса стержня. Закон сохранения механической энергии для начального и конечного положений стержня:
m(Vc)²/2 + mgh₁ = mgh₂.             (4)
Подставим в (4) h₁, h₂ и Vc из (1), (2), (3) и, после упрощения, находим V₀
V₀ = 2(L-d)√( 2g/(L-2d) ),
здесь √() – корень квадратный из выражения в скобках.  
V₀ = 2(1-0,2)√( 2·9,8/(1-2·0,2) ) = 9,15 м/с.
Ответ: V₀ = 9,15 м/с.

1.3-7. На одном конце тележки стоит человек массой 50 кг. Масса тележки 50 кг. На какое расстояние относительно пола передвинется тележка, если человек пройдет от одного конца телеги к другому( V-const) длина телеги 3м.

Решение:
M = m = 50 кг
L = 3 м
d − ?
Начальный импульс системы тележка-человек равен нулю.
Пусть человек (массой m) начал двигаться со скоростью V₁ относительно пола в направлении оси X (см. рис.). Пусть проекция скорости тележки (массой M) на ось X равна V₂ₓ. Закон сохранения импульса для системы тележка-человек в проекции на ось X:
0 = mV₁ + MV₂ₓ ,
отсюда
V₂ₓ = - mV₁/M .                                          (*)
Знак “минус” в (*) указывает на то, что вектор скорости V₂ тележки направлен против оси X (см. рис.). С учётом (*), модуль скорости тележки V₂
V₂ = mV₁/M .                                              (1)
За время t движения человек прошёл путь L – d, а тележка − d. Скорости человека и тележки
V₁ = (L – d)/t  и  V₂ = d/t.
Подставим V₁ и V₂ в (1)
d/t = m(L – d)/(tM),
отсюда, после упрощения, находим d
d = mL/(m + M).
d = 50·3/(50 + 50) = 1,5 м.
Ответ: 1,5 м.

1.3-8. Какую силу надо приложить к пружине, чтобы растянуть ее на 5 см, если при растяжении на 20 см её потенциальная энергия равна 60 Дж?

Решение:
x₁ = 0,05 м
x₂ = 0,2 м
Eп = 60 Дж
F − ?
Чтобы растянуть пружину на x₁ надо приложить силу F по модулю равную силе упругости Fупр = kx₁ , т.е.
F = kx₁ ,                                       (1)
где k – коэффициент упругости пружины.
Потенциальная энергия Еп пружины, растянутой на x₂
Еп = kx₂²/2.                                  (2)
Разделим (1) на (2)
F/Еп = kx₁/(kx₂²/2), отсюда
F = 2Еп·x₁/x₂².
F = 2·60·0,05/0,2² = 150 Н.
Ответ: F = 150 Н.

1.3-9. Два пластилиновых шарика, двигающихся со скоростью V₁ = 3 м/с и V₂ = 5м/с навстречу друг другу, испытывают абсолютно неупругий удар. Чему равна скорость шарика после удара, если кинетическая энергия первого шарика до удара была в n = 1,6 раза больше, чем кинетическая энергия второго?

Решение:
V₁ = 3 м/с
V₂ = 5 м/с
W₁ = nW₂                                                         (1)
n = 1,6
V −?
Пусть m₁ , m₂ − масса 1-го и 2-го шарика соответственно. Направим ось X по направлению движения 1-го шарика. При абсолютно неупругом ударе шарики слипнутся. Тогда закон сохранения импульса в проекции на ось X:
m₁V₁ - m₂V₂ = Vx(m₁ + m₂), отсюда проекция на ось X скорости Vx слипшихся шариков
Vx = (m₁V₁ - m₂V₂)/(m₁ + m₂).                           (2)
Из условия (1) запишем связь между кинетическими энергиями шаров до удара
m₁V₁²/2 = nm₂V₂²/2 отсюда m₁ = nm₂(V₂/V₁)² и подставим в (2)
Vx = ( nm₂(V₂/V₁)²V₁ - m₂V₂ )/( nm₂(V₂/V₁)² + m₂ ) = V₁V₂(nV₂ - V₁)/(V₁² + nV₂²).
Так как nV₂ - V₁ >0, то Vx >0 и модуль скорости V шаров после удара
V = Vx = V₁V₂(nV₂ - V₁)/(V₁² + nV₂²).
V = 3·5·(n·5 - 3)/(3² + 1,6·5²) = 1,53 м/с.
Ответ: V = V₁V₂(nV₂ - V₁)/(V₁² + nV₂²) = 1,53 м/с.

1.3-10. На гладком горизонтальном столе покоится шар. С ним сталкивается другой такой же шар. Удар абсолютно упругий и нецентральный. Под каким углом разлетятся шары?

Решение:
m₁ = m₂
V₁ ≠ 0
V₂ = 0
ϕ − ?
Обозначим: массы шаров m₁ = m₂ = m; модуль скорости 1-го шара до удара V₁ = V; модули скоростей 1-го и 2-го шаров после удара соответственно u₁ и u₂.
Закон сохранения импульса в векторном виде:
m₁V₁ + m₂V₂ = m₁u₁ + m₂u₂ или mV + m·0 = mu₁ + mu₂, отсюда
V = u₁ + u₂.                                                               (1)
Так как удар абсолютно упругий, то справедлив закон сохранения механической энергии (в данной задаче – кинетической энергии)
m₁V₁²/2 + m₂V₂²/2 = m₁u₁²/2 + m₂u₂²/2 или mV²/2 = mu₁²/2 + mu₂²/2 или
V² = u₁² + u₂².                                                            (2)
Условие (1) − это сложение векторов u₁ и u₂ (см. рис.). Условие (2) – это теорема Пифагора для треугольника на рисунке, где u₁ и u₂ − катеты, а V – гипотенуза. Следовательно, построенный треугольник – прямоугольный и угол между векторами u₁ и u₂ (угол разлёта шаров) ϕ = 90⁰.
Ответ: ϕ = 90⁰.

1.3-11. На идеально гладкой горизонтальной поверхности лежат два тела разной массы, соединенные между собой сжатой пружиной. Потенциальная энергия сжатой пружины составляет 80 Дж. После того как пружину отпустили, кинетическая энергия тела меньшей массы достигла значения 60 Дж. Определить соотношение масс тел.

Решение:
W = 80 Дж
W₁ = 60 Дж
m₂/m₁ − ?
Пусть m₁ W = W₁ + m₂V₂²/2,                                                         (1)
где W₁ = m₁V₁²/2                                                           (2)
− кинетическая энергия 1-го тела; m₂V₂²/2 − кинетическая энергия 2-го тела.
Закон сохранения импульса в проекции на ось Х:
0 = m₁V₁ + m₂V₂ₓ ,                                                          (3)
где V₂ₓ − проекция на ось Х скорости 2-го тела.
Из (3) выразим V₂ₓ = - m₁V₁/m₂ (знак ”минус” указывает на то, что скорость 2-го тела направлена против оси Х) и подставим в (1). Тогда (1) примет вид
W = W₁ + m₂(-m₁V₁/m₂)²/2 или
W - W₁ = m₁²V₁²/(2m₂).                                                  (1*)
Разделим (2) на (1*)
W₁/(W - W₁) = ( m₁V₁²/2 )/( m₁²V₁²/(2m₂) ). Отсюда находим
m₂/m₁ = W₁/(W - W₁).
m₂/m₁ = 60/(80 - 60) = 3.
Ответ: m₂/m₁ = W₁/(W - W₁) = 3.

1.3-12. Тепловоз мощностью 6000 л.с. ведет грузовой состав. Определить потребление дизельного топлива за 2 часа, если КПД тепловоза 30%  (1 л.с. = 736 Вт).

Решение:
P = 6000 л.с. = 6000·736 = 4416000 Вт
t = 2 ч = 7200 с
η = 0,3
q = 42·10⁶ Дж/кг (удельная теплота сгорания дизельного топлива)
m − ? (масса сгоревшего дизельного топлива)
КПД тепловоза η:
η = Aпол/Qзатр ,                             (1)
где Aпол = Pt − полезная работа двигателя тепловоза; Qзатр = mq − затраченная теплота при сжигании дизельного топлива.
Тогда (1) примет вид
η = Pt/mq, отсюда
m = Pt/(ηq).
m = 4416000·7200/(0,3·42·10⁶) = 2523 кг.
Ответ: m = Pt/(ηq) = 2523 кг.

1.3-13. Шайбу пускают вверх вдоль горы со скоростью V₀ = 6,12 м/с у основания горы. С какой скоростью шайба вернется в нижнюю точку? Коэффициент трения k = 0,116. Угол наклона горы α = 30⁰.

Решение:
V₀ = 6,12 м/с
k = 0,116
α = 30⁰
V − ?
Шайба массой m, движущаяся вверх по наклонному участку горы (см. рис.), находится под действием сил, изображенных на рисунке, где mg – сила тяжести, N – нормальная составляющая силы реакции склона, Fтр = kN – сила трения.
Уравнение движения шайбы в векторном виде:
N + mg + Fтр = ma,                                            (1)
где а – вектор ускорения шайбы.
В проекции на ось Y уравнение движения шайбы имеет вид:
N - mgcosα = 0 отсюда N = mgcosα. Тогда
Fтр = kmg·cosα.                                                  (2)
Теорема о кинетической энергии:
Атр + АN + Аmg = mV²/2 - mV₀²/2,                     (*)
где Атр , АN , Аmg − работа силы трения, силы реакции склона, силы тяжести соответственно; mV²/2, mV₀²/2 − конечная и начальная кинетическая энергия шайбы.
Движение шайбы состоит из двух частей: подъёма и спуска. В обоих случаях сила реакции склона N перпендикулярна перемещению шайбы, поэтому работа этой силы равна нулю: АN = 0. Тогда (*) примет вид:
Атр + Аmg = mV²/2 - mV₀²/2,                               (3)

1) Подъём.
При подъёме начальная скорость шайбы V₀, а конечная − V = 0. Пусть S − путь , пройденный шайбой до остановки, h = S·sinα − высота подъёма шайбы. Тогда работа силы трения с учётом (2)
Атр = FтрS·cos180⁰ = - FтрS = - kmg·cosα·S.       (**)
Работа силы тяжести
Аmg = - mgh = - mgS·sinα.
Подставляя всё в (3), получим
- kmg·cosα·S - mgS·sinα = - mV₀²/2, отсюда
S = V₀²/( 2g(sinα + kcosα) ).                                  (4)

2) Подъём и спуск.
Теперь применим (3) на всёй траектории движения, т.е. на подъёме и спуске. При этом начальная скорость шайбы V₀, а конечная − V. Работа силы тяжести на замкнутой траектории равна нулю т. е.
Аmg = 0.
Работа силы трения при спуске также определяется формулой (**). Поэтому работа силы трения при подъёме и спуске
Атр = - kmg·cosα·S + (- kmg·cosα·S) = - 2Skmg·cosα. Тогда (3) примет вид
- 2Skmg·cosα = mV²/2 - mV₀²/2, отсюда
V = √(V₀² - 4kgS·cosα).
Подставим сюда S из (4) и, после упрощения, получим
V = V₀√( (sinα - k·cosα)/(sinα + k·cosα) ) = (под квадратным корнем разделим числитель и знаменатель дроби на cosα) = V₀√( (tgα - k)/(tgα + k) ).
V = V₀√( (tgα - k)/(tgα + k) ).
V = 6,12·√( (tg30⁰ - 0,116)/(tg30⁰ + 0,116) ) = 6,12·√( (0,5774 - 0,116)/(0,5774 + 0,116) ) =
= 4,99 м/с.
Ответ: V = V₀√( (tgα - k)/(tgα + k) ) = 4,99 м/с.

_______________________________________________________________________________________________

     1.4. Элементы статики. Жидкости и газы.

1.4-1. При равновесии поршень в одном из сообщающихся сосудов устанавливается на h1=20см выше,чем во втором. Массы поршней m1=2 кг и m2=4 кг. Если на первый поршень установить гирю массой m3=3кг, то поршни установятся на одинаковой высоте. Как расположатся поршни, если гирю переставить на второй поршень?

Решение:
m₁ = 2 кг
m₂ = 4 кг
m₃ = 3 кг
h₁ = 0,2 кг
H – ?   (H – разность высот поршней с гирей на втором поршне).
Пусть ρ – плотность жидкости в гидравлическом прессе, S₁ ,S₂ – площади 1-го и 2-го поршней соответственно. Условия равенства давлений:
(без гирь)                          m₁g/S₁ + ρgh₁ = m₂g/S₂ ,
(гиря на 1-ом поршне)       (m₁+m₃)g/S₁ = m₂g/S₂ ,
(гиря на 2-ом поршне)       m₁g/S₁ + ρgH = (m₂+m₃)g/S₂ .
Сократим на g во всех трёх равенствах и, выражая из первого равенства
1/S₁ = (1/m₁)(m₂/S₂ - ρh₁), подставим во 2-е и 3-е. После упрощения последних, получим:
m₃/S₂ = ( (m₁+m₃)ρh₁ )/m₂ ,   (1)
ρH = ρh₁ + m₃/S₂  .                 (2)
Подставим выражение для m₃/S₂ из (1) в (2)
ρH = ρh₁ + ( (m₁+m₃)ρh₁ )/m₂ . Отсюда, после сокращения на ρ и упрощения, находим H:
H = h₁( (m₁+m₂+m₃)/m₂ ).
H = 0,2·( (2+4+3)/4 ) = 0,45 м.
Ответ: H = 0,45 м.

1.4-2. Какая требуется сила, чтобы удержать в воде металлический брусок массой 226 г и объемом 20 см3.

Решение:
m = 0,226 кг (масса бруска)
V = 20·10-6 м3 (объём бруска)
F − ?
Модуль этой силы F равен весу бруска в воде:
F = mg - FA,                                                  (*)
где FA = ρgV - сила Архимеда; ρ = 1000 кг/см³ - плотность воды; g = 10 м/c²- ускорение свободного падения. Тогда по (*) имеем
F = mg - ρgV или
F = g(m - ρV).
F = 10(0,226 - 1000·20·10-6) = 2,06 Н.
Ответ: F = g(m - ρV)= 2,06 Н.

1.4-3. Брусок массой 400 г плавает в жидкости так, что под ее поверхностью находится часть бруска, равная по объему 250 см³. Найти плотность жидкости.

Решение:
m = 0,4 кг
V = 250·10¯⁶ м³
ρ –  ?  (плотность жидкости)
Сила Архимеда Fa(направлена вверх) уравновешена силой тяжести mg (направленной вниз)
Fa = mg.    (1)
Fa = ρgV  и подставим в (1), получим
ρgV = mg отсюда
ρ = m/V.
ρ = 0,4/(250·10¯⁶) = 1600 кг/м³.
Ответ: ρ = 1600 кг/м³.

1.4-4. Сила Архимеда при двух известных плотностях равна. Плотности нужно сложить, разделить или отнять?

Решение:
Если тело плавает на границе раздела двух жидких сред с плотностями ρ₁ и ρ₂, то сила Архимеда
Fарх =ρ₁gV₁ + ρ₂gV₂ ,
где V₁ и V₂ – объёмы погружения тела соответственно в первую и вторую жидкость.

1.4-5. Труба расположена горизонтально. В широкой части трубы диаметром D расположен поршень и на него действует постоянная сила F. Узкая часть трубы имеет диаметр d, и из неё вытекает струя воды. Найдите скорость V перемещения поршня. Трение не учитывать.

Решение:
D, F, d
ρ − плотность воды
V − ?
Площади широкой S и узкой s части трубы
S = πD²/4; s = πd²/4.                         (*)
Пусть за время ∆t поршень переместится на расстояние L = V∆t (см. рис.). Работа A силы F за время ∆t:
A = FL = FV∆t.                                   (1)
За время ∆t из трубы вытекает вода массой m (SL − объём воды, выталкиваемый поршнем за время ∆t):
m = ρ·SL = ρSV∆t.                             (2)
По теореме о кинетической энергии, работа внешней силы F равна изменению кинетической энергии жидкости (V₂ − скорость вытекания струи воды из узкой части трубы)
A = mV₂²/2 - mV²/2 или, с учётом (1) и (2),
FV∆t = ρSV∆t(V₂²/2 - V²/2), отсюда, с учётом (*)
F = ρπD²(V₂² - V²)/8.                         (3)
Согласно теореме о неразрывности струи для несжимаемой жидкости
SV = sV₂ или, с учётом (*),
(πD²/4)V = (πd²/4)V₂ отсюда V₂ = D²V/d² и подставим в (3)
F = ρπD²( D⁴V²/d⁴ - V²)/8, отсюда