Поле скоростей. Гравитационное поле. электрическое поле. магнитное поле. Характеристики полей.
методическая разработка по физике (10 класс)

ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОЛЕЙ. ЭНЕРГИЯ ПОЛЯ.

1. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ

Существует четыре фундаментальных взаимодействия: гравитационное, электромагнитное, сильное и слабое. Вся совокупность элементарных частиц с их взаимодействиями проявляет себя в форме вещества и поля. Поле в отличие от вещества обладает особыми свойствами. Оно распределено в пространстве и передаёт взаимодействие. Электромагнитное поле может существовать самостоятельно, например свет, радиоволны. Они имеют конечную скорость распространения. Гравитационное поле реально ощутимо вокруг массивных тел. Источником электромагнитного поля являются движущиеся заряженные частицы. Взаимодействие зарядов происходит по схеме частица – поле – частица. Схема гравитационного взаимодействия, вероятно, такая же. В некоторых условиях поле может оторваться от источника и свободно распространяться в пространстве. Такое поле носит волновой характер.

Состояние материальной точки задавалось её положением в пространстве и её скоростью. Такой способ описания непригоден для полей. Основное свойство полей - передача взаимодействия (силы). Поле определено, если для каждой точки пространства известны значения вектора напряжённости. Напряжённость поля – вектор численно равный силе действующей на тело, обладающего единицей величины, характеризующей данное взаимодействие. Линии, в каждой точке которой вектор напряжённости является касательным, называются силовыми линиями или линиями вектора напряжённости.

 Для описания векторных полей очень удобным оказываются понятия потока и циркуляции поля.

Элементарный поток векторного поля через поверхность ΔS  равен

ΔФ= , где ΔФ – элементарный поток вектора , Вn – проекция вектора  на нормаль к поверхности, ΔS – элементарная поверхность. Для того, что бы вычислить полный поток  вектора  через поверхность необходимо сложить элементарные потоки.

=  (Bn)1∙ΔS1+(Bn)2∙ΔS2+(Bn)3∙ΔS3+(Bn)4∙ΔS4+(Bn)5∙ΔS5+ ….+(Bn)n∙ΔSn

В короткой записи это выглядит так: Ф =

Элементарная циркуляция векторного поля  вдоль замкнутого контура равна

ΔГ=Вτ·Δℓ, где ΔГ – элементарная циркуляция вектора , Вτ – проекция вектора  на касательную к  точке контура, Δℓ - длина элементарного участка контура. Полную циркуляцию по замкнутому контуру можно вычислить, если сложить элементарные циркуляции.

Г = Вτ1∙ℓ+ Вτ2∙ℓ+ Вτ3∙ℓ+ Вτ3∙ℓ+… Вτn∙ℓ  или 

Г=

2. ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ

Движение жидкости и газа описывается векторным полем скоростей. Рассмотрим движение воды в ручье. Движение спокойное без водоворотов (ламинарное). У ручья есть исток и сток. Если для каждой точечной массы воды изобразить вектор скорости, то совокупность этих векторов будет являться векторным полем - полем скоростей. Траектории движения частиц - создадут линии тока.

В каждой точке линии тока скорость является касательной. Поверхность, образованная линиями тока, проведёнными через все точки малого замкнутого контура, называется трубкой тока. Часть жидкости или газа, заключённая в трубке тока называется струйкой.

Движение жидкости называется установившемся или стационарным, если поле её скоростей не изменяется.

 Пусть за одну секунду через поперечное сечение S1 проходит количество воды объёмом Ф=V/t. Ф – поток жидкости или объёмный расход.

.

Поток вектора скорости через поверхность S равен Ф=υScosα, где α – угол между вектором скорости и нормалью (перпендикуляр) к поверхности.

 Пусть каждая частица, поглощаясь поверхностью S1 действует на неё с силой   или   . Найдём силу, действующую со стороны всех частиц. Для этого необходимо умножить  обе части уравнения на  число частиц, падающих на площадку.

   или  ;.

 или :   – средняя скорость, которая равна  . Найдём давление, производимое на поверхность. Для этого разделим обе части уравнения на площадь S1.

Тогда получим  . За промежуток времени t значение скорости меняется от υ до 0. Δυ = υ.

Давление, производимое на поверхность, перпендикулярную скорости равно плотности кинетической энергии. Это давление называется гидродинамическим давлением или скоростным напором.

Посмотрим на это явление как на реактивное движение. Реактивная сила равна F=µυ. Разделим обе части на площадь удара частиц S. Получим давление равно  , – средняя скорость. Отсюда получаем

3. ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ. ВИХРЕВОЕ ПОЛЕ.

Турбулентное течение - форма течения жидкости или газа, при которой вследствие наличия в течении многочисленных вихрей различных размеров жидкие частицы совершают хаотическое неустановившиеся движения по сложным траекториям.  Рассмотрим вихревое поле скоростей. Примером вихревого поля скоростей может служить водный водоворот в ванне, когда мы начинаем спускать воду, воздушные вихри-смерчи. Идеальное вихревое поле – поле линии напряжённости которого являются замкнутыми.  Элементарная циркуляция вектора скорости частиц воды по участку контура ℓ равна ΔГ = υτ·Δℓ, если в качестве контура взять окружность, то из соображений симметрии, значение скорости в каждой точке будет одинаково по модулю и скорость тела будет являться касательной к каждой точке окружности. Тогда циркуляция вектора скорости равна

       Г=υ·2πr  , откуда

4. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ

Гравитационное поле – особый вид материи, передающий гравитационное взаимодействие. Это пространство вокруг массивных тел. Примером гравитационного взаимодействия является взаимодействие между Землёй и Луной, Солнцем и планетами, и т.д. Частный случай гравитационного взаимодействия – сила тяжести. Внесём в гравитационное поле Земли небольшое тело. В данной точке отношение силы тяжести к массе тела величина постоянная и зависит только от массы Земли. Это отношение называется напряжённостью гравитационного поля.

Напряжённость поля равна

  ,[ ]

Для изображения полей используют линии напряжённости. Линии напряжённости это линии в каждой точке которой вектор напряжённости является касательным. Напряжённость – как скорость в потоке воды, а линии напряжённости – линии тока.

Для описания полей используют понятия поток поля и циркуляция поля. 

Элементарный поток векторного поля равен произведению нормальной составляющей вектора на площадь поверхности, которую он пронизывает. 𝜟Ф=Вn·𝜟S  или dФ=В·dS·cos(,). Для вычисления полного потока через некоторую поверхность необходимо проинтегрировать данное выражение.

Представим сферу вокруг Земли. Поток напряжённости пронизывает сферу. Полный поток напряжённости гравитационного поля Земли равен

Ф=GS,

где S – площадь сферы, G- напряжённость гравитационного поля Земли.  

Поток напряжённости гравитационного поля Земли пропорционален источнику поля, т.е. массе Земли М. Ф = кМ (теорема Гаусса). Отсюда GS = кМ, откуда напряжённость гравитационного, поля образованного Землёй, или другим сферическим телом равна    или   

   , где γ – гравитационная постоянная

Найдём силу, действующую на тело массой m. 

F=Gm  или

 ,

Эта формула выражает закон всемирного тяготения.

Два сферических или точечных тела притягиваются с силой  прямо пропорциональной произведению масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между их центрами. 

γ = ( 6,670 ± 0,006 )х10-11Н  м / кг

Вблизи поверхности Земли ускорение, с которым движутся тела, можно считать постоянным и оно называется ускорением свободного падения . Силу можно вычислить по второму закону Ньютона. F=mg. Эта сила называется силой тяжести, но  F=Gm отсюда   = . Напряжённость гравитационного поля равна ускорению свободного падения.

 В свою очередь ускорение свободного падения можно вычислять по формуле 

 , или  

где R – радиус планеты,  h - высота над её поверхностью, а М – масса планеты.

5. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ

Из курса 8 класса известно, что все тела состоят из атомов. Атомы состоят из положительного  ядра и электронов. Возьмём положительно заряженное  тело зарядом Q (тело у которого не хватает некоторого количества электронов, Q = ne, где n – число потерянных электронов е – заряд одного электрона, а заряд мера электрического взаимодействия) и внесём в него небольшой пробный положительный заряд q. Заряженное тело Q будет отталкивать тело зарядом q, как будто из Q вытекает некая жидкость  и уносит тело q.  Вокруг заряженного тела Q создаётся электрическое поле, которое передаёт взаимодействие на тело q. Тогда напряжённость поля, созданного большим зарядом будет направлена от центра большого заряда и равна,   [ ]. 

где q – величина, характеризующая электрическое взаимодействие и называемая зарядом (измеряется в Кулонах). Линии напряжённости (линия, в каждой точке которой вектор напряжённости является касательным), будут выглядеть так, как на рисунке. Куда бы мы не поместили пробный заряд, на него будет действовать сила, направленная по линии, соединяющей центры тел. Положительный заряд, будет отталкиваться от положительного, вытекать из источника и притягиваться к отрицательному заряду, втекать в сток.

Представим вокруг сферического заряда Q - сферу. Тогда поток вектора напряжённости электрического поля  равен Ф=EScosα. Косинус примем равным 1.  Понятно, что поток напряжённости пропорционален источнику поля - заряду Q. Ф=кQ.  ЕS = kQ. к- примем за 1/εεо. Площадь шара 4πR2. Тогда  поток вектора напряжённости электрического поля пропорционален сумме зарядов, находящихся внутри замкнутой поверхности Q.    ( теорема Остроградского-Гаусса), а напряжённость электрического поля равна Е=  , и сила, действующая на заряд q равна F=qE или   

 F=

Где ε - относительная диэлектрическая проницаемость среды, εо – электрическая постоянная.

Эта формула выражает закон Кулона

Сила взаимодействия между покоящимися точечными заряженными телами прямо пропорциональна произведению зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Электрическое взаимодействие осуществляется по схеме тело-поле-тело.

Электромагнитное взаимодействие – это взаимодействие электронов и протонов. Классическое представление о строении атома (планетарная модель) таково: в центре атома находится ядро, состоящее из протонов и нейтронов (частиц, не имеющих заряда), а вокруг ядра подобно планетам движутся электроны по своим орбитам. Положительный заряд ядра равен отрицательному заряду всех электронов и в сумме заряд равен нулю,  т.е. атом нейтрален. Сумма протонов и нейтронов приблизительно равна массе ядра, выраженной в атомных единицах массы, и называется массовым числом. Сумма протонов называется зарядовым числом.

Проведём аналогии между полем скоростей и электрическим полем. С точки зрения математики всё, что написано ниже одно и то же, только буквы разные.

   скорость –это сила и напряжённость электростатического поля - сила, поэтому

Ф=υS;                 Ф=;                 

Если считать, что источником электрического поля является заряд, а  аналогична  , то  

Ф=ЕS;                Ф=;                 p=ω= 

Поэтому, если для потока жидкости давление равно плотности кинетической энергии, то для электрического поля давление, оказываемое на заряженную плоскость, находящуюся в электрическом поле равно плотности энергии электрического поля.

Найдём энергию электрического поля, образованного двумя разноимённо заряженными параллельными пластинами (конденсатор). Плотность энергии электрического поля равна

Где ω – плотность энергии, W – энергия электрического поля, V – объём поля. Отсюда W=ωV. Объём между пластинами равен V=dS, где d – расстояние между пластинами,S – площадь пластины.

. Из курса физики 8класса известно, что напряжение между пластинами конденсатора U, это работа по перемещению единичного положительного заряда. Работа по определению это сила, умноженная на перемещение. Тогда для единичного заряда имеем qU = qEd, U=Ed, где d – перемещение заряда вдоль силовой линии. Подставляя в формулу для энергии электрического поля  получаем , или , или

 , где   - электрическая ёмкость плоского конденсатора.

Вспомним, что работа по перемещению заряда в однородном поле равна , а если напряжение уменьшается при разряде конденсатора, то возмём среднее значение напряжения и тогда .  Поэтому . Отсюда q=cU или

6. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

При движении одноимённых зарядов в одном направлении сила взаимодействия (отталкивания) уменьшается, а в разных – увеличивается. Силу взаимодействия можно представить как

 F = Fэ – Fм (υ), где

F – сила электромагнитного взаимодействия, Fэ - сила электрического взаимодействия между покоящимися зарядами, – сила электрическая, электростатическая, кулоновская, электрическая составляющая электромагнитного взаимодействия. Fм(υ) - сила магнитного взаимодействия. В чистом виде магнитное взаимодействие наблюдается между проводниками с током, когда электрическое взаимодействие компенсируется. Вокруг проводника с током возникает магнитное поле, которое передаёт взаимодействие второму проводнику с током и наоборот. Характеристикой магнитного поля является напряжённость магнитного поля. За направление напряжённости магнитного поля берётся направление свободно установившейся магнитной стрелки или направление определяется по правилу буравчика или правилом правой руки.  Рассмотрим магнитное поле прямого тока.   Магнитные стрелки (компасы) выстраиваются перпендикулярно проводнику (опыт Эрстеда). Линии напряжённости будут представлять собой окружности.  Магнитное поле, образованное проводником с током  является вихревым и описывается циркуляцией вектора  , но чаще пользуются другой характеристикой магнитного поля вектором магнитной индукции поля . Вектор магнитной индукции аналогичен напряжённости магнитного поля .  и численно равен силе, действующей на проводник с током длиной 1 метр, находящийся в магнитном поле по которому протекает ток 1 ампер.

μμо – соответственно относительная магнитная проницаемость среды и магнитная постоянная.

.

За направление вектора магнитной индукции берётся направление свободно установившейся магнитной стрелки. Куда бы мы ни поставили компас (магнитную стрелку) около провода с током, всегда она будет располагаться, перпендикулярно проводу (опыт Эрстеда). Из опыта Эрстеда следует, что линии вектора магнитной индукции – концентрические окружности.

Циркуляция вектора магнитной индукции вдоль окружности равна:

.

Исходя из симметрии окружности и однородности пространства - В – постоянная величина. Тогда Г=В(∆ℓ1+∆ℓ2+∆ℓ3+∆ℓ4+…). Г=Вℓ,  Г=В·2πR. Источником магнитного поля являются токи. Очевидно, что циркуляция вектора магнитной индукции пропорциональна источнику магнитного поля, т.е. силе тока. Закон полного тока гласит: циркуляция индукции магнитного поля пропорциональна сумме токов охваченных контуром 

Г=μμ0I, отсюда В·2πR= μμ0I, а индукция магнитного поля прямого тока равна

  Из формулы , следует, что сила, действующая на проводник с током в однородном магнитном поле равна F=ВℓI. С учётом  того, что  – векторное произведение,  модуль силы равен

F=ВℓIsinα.

Это сила Ампера. Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле. Очевидно, что если сила Ампера действует на проводник с током (движущимися зарядами), то на каждый движущийся заряд действует сила.

 Сила тока – это заряд, проходящий по проводнику за единицу времени.I=Q/t,

 Тогда , где q заряд одной частицы, а N – число частиц, а если разделить обе части уравнения  на число частиц, находящихся в проводнике, то получим силу, действующую на один заряд – силу Лоренца.

,

где α – угол между скоростью и вектором магнитной индукции. Направление силы (сила Лоренца) и силы Ампера определяется по правилу левой руки. П

Линии магнитной индукции входят в ладонь. Четыре пальца по направлению силы тока или по направлению движения положительного заряда, против отрицательного. Большой отогнутый палец даёт направление силы Ампера и силы Лоренца.

Магнитное поле изображается линиями магнитной индукции. Линия  магнитной индукции – это линия в каждой точке которой, вектор индукции магнитного поля является касательным.  Линии индукции магнитного поля являются замкнутыми линиями, а магнитное поле, называется вихревым полем.

Направление линий определяется по северному концу магнитной стрелки. Направление линий магнитной индукции определяется так же по правилу «буравчика»: Если направление поступательного движения буравчика (правого винта) совпадает с направлением тока в проводнике, то направление вращения ручки буравчика совпадает с направлением линии магнитной индукции и наоборот, если направление вращения ручки буравчика совпадает с направлением электрического тока в катушке, то поступательное движение буравчика совпадает с направлением линий магнитной индукции.

Если длина соленоида (электрической катушки) много больше её диаметра, то магнитное поле внутри можно считать однородным. Линии магнитной индукции параллельны, а величина вектора магнитной индукции одинакова во всех  точках.

Рисунок 1 правило правой руки и правило "буравчика"

Определим индукцию магнитного поля внутри длинной катушки (соленоид). Выберем замкнутый контур (линия красного цвета). Циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру равна:

 Г=. Г = Ввнутр(∆ℓ1+∆ℓ2+∆ℓ3+∆ℓ4+…)+ Ввнеш(∆ℓ1+∆ℓ2+∆ℓ3+∆ℓ4+…).

Поле вне катушки приравняем к нулю, в данный момент оно нас не интересует. Тогда Г=Вℓ, где ℓ - длина катушки. По закону полного тока  В·ℓ= μμ0IW, где N – число витков катушки. Отсюда

Магнитное поле также обладает энергией. Плотность энергии рассчитывается по формуле, аналогичной плотности энергии векторных полей (поля гравитационного, скоростей и поля электростатического)., где к коэффициент пропорциональности, а Е – вектор напряжённости поля.

ωэлектрич=   

 ω=   

     Или используя вектор магнитной индукции. 

Определим энергию магнитного поля катушки с током.

W=ωV,

Где L=  - индуктивность катушки.