Главные вкладки

    Векторный метод и его применение к решению задач школьного курса геометрии
    методическая разработка по геометрии (9 класс) по теме

    Колесникова Елена Владимировна

    Выпускная квалификационная работа по специальности "Математика"

    Скачать:

    ВложениеРазмер
    Файл diplomnaya_rabota.docx587.55 КБ
    Файл prilozhenie.docx363.55 КБ

    Предварительный просмотр:

    Содержание

    Введение                                                                                                3

    Глава 1 Векторная алгебра                                                                                5

    1.1. Понятие вектора; сложение и вычитание векторов                                         

     1.1.1. Понятие вектора                                                                        5

     1.1.2. Нуль-вектор                                                                         6

     1.1.3. Коллинеарные векторы                                                                6

     1.1.4. Модуль вектора                                                                        7

     1.1.5. Равенство векторов                                                                        7

     1.1.6. Перенос вектора в данную точку                                                        8

     1.1.7. Сумма двух векторов                                                                8

     1.1.8. Основные свойства сложения векторов                                                 9

     1.1.9. Сложение нескольких векторов                                                        10

     1.1.10. Вычитание векторов                                                                11

     1.1.11. Модули сумм и разностей векторов                                                 12

    1.2. Умножение вектора на число                                                                

     1.2.1. Умножение вектора на число                                                        13

     1.2.2. Основные свойства произведения вектора на число                                13

    1.3. Линейная зависимость                 

     1.3.1. Линейная комбинация векторов                                                        16

     1.3.2. Линейная зависимость векторов                                                        16

     1.3.3. Система коллинеарных векторов                                                         17

     1.3.4. Система компланарных векторов                                                        18

     1.3.5. Базис системы компланарных векторов                                                18

    Глава 2 Методические рекомендации                                                                 21

    2.1. Векторы в школьном курсе геометрии                                                        21

    2.2. Методика решения задач аффинной геометрии векторным методом                        24

     2.2.1. Цели изучения векторного метода в средней школе                                24

     2.2.2. Основные компоненты векторного метода решения задач                        25

     2.2.3. Понятийный аппарат                                                                25

     2.2.4. Типовые задачи аффинной геометрии, решаемые векторным методом        26

    2.3. Решение типовых задач элементарной геометрии векторным методом                30

     2.3.1. Задачи, связанные с доказательством параллельности                                 прямых и отрезков, прямых и плоскости.                                                30

     2.3.2. Задачи на доказательство деления некоторого отрезка в заданном                         отношении или на нахождение отношения, в котором делится отрезок         33

    п 2.3.3. Задачи на доказательство или использование принадлежности                 трёх точек прямой                                                                        38

    Заключение                                                                                                40

    Библиография                                                                                        42

    Приложения                                                                                                44

    Введение

    Актуальность темы исследования: традиционно одной из самых сложных тем школьного курса геометрии является тема “Применение векторов к  решению задач”. В то же время понятие вектора является одним из фундаментальных понятий современной математики, а векторный метод является одним из широко употребляемых, красивых и современных методов решения задач.

    Гипотеза: успешность овладения учащимися векторным методом решения геометрических задач зависит от умения переходить от геометрического языка к векторному и обратно.

    Основные цели данного исследования:

    1.рассмотреть цели изучения векторного метода в школе;

    2.выделить основные компоненты решения задач этим методом;

    3.рассмотреть понятийный аппарат векторного метода решения задач;

    4.классифицировать задачи аффинной геометрии, решаемые векторным методом

    Для достижения поставленной цели решались следующие задачи: изучить  психолого-педагогическую и научно-методическую литературу по данной проблеме, выявить наиболее эффективную методику формирования векторного метода решения задач аффинной геометрии в школе.

    Объектом исследования выступает векторный метод решения задач аффинной геометрии.

    Предмет исследования - методика формирования векторного метода решения задач аффинной геометрии в школе.

    В процессе работы над исследованием были использованы следующие методы и приёмы:

    1. анализ научной и методической литературы
    2. изучение и обобщение опыта передовых учителей
    3. анализ школьных учебников

    Новизна исследования заключается в том, что в результате работы по данной проблеме был отобран и систематизирован методический материал, соотнесены геометрические и векторные интерпретации аффинных задач, разработаны опорные таблицы по теме «Векторы», а также разработаны конспекты уроков 9 классе по данной теме.

    Практическая значимость: знание векторных интерпретаций задач аффинной геометрии способствует эффективному формированию навыка решения задач векторным методом.

    Структура ВКР: работа состоит из введения, двух глав, заключения, библиографического списка, приложения.

    В первой главе рассмотрен теоретический материал о линейных операциях над векторами, а также коллинеарных и компланарных векторах.

    Во второй главе рассмотрены место и цели изучения темы «Векторы» в школьном курсе геометрии, методика решения задач аффинной геометрии векторным методом, приведена классификация задач аффинной геометрии, решаемых векторным методом и решены некоторые задачи каждого типа

    В заключении делаются выводы и обобщения.

    ГЛАВА 1.ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

    1.1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА, СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ.

    1.1.1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА

    Многие геометрические и физические  величины полностью определяются, если задана их числовая характеристика. Такими величинами являются длина линии, объем тела, масса, работа, температура и т. д. Число, характеризующее ту или иную  величину, получается в результате сравнения ее с выбранным эталоном,  принятым за единицу измерения. Такие величины в математике  называются скалярными величинами или просто скалярами.

    Однако иногда встречаются величины более сложной природы, которые не могут быть полностью охарактеризованы их числовым значением. К подобным величинам относятся сила, скорость,  ускорение и т. д. Для полной характеристики указанных величин, кроме числового значения, необходимо указать их направление. Такие величины в математике называются векторными величинами или  векторами.

    Для графического изображения векторов пользуются  направленными отрезками прямой. В элементарной геометрии, как известно, отрезком называется совокупность двух различных точек А и В вместе со всеми точками прямой, лежащими между ними. Точки А и В называются концами отрезка, при этом порядок, в котором они берутся, не существен. Однако если отрезок АВ используется для  графического изображения векторной величины, то порядок, в котором указаны концы отрезка, становится существенным. Пары точек АВ и В А задают один и тот же отрезок, но различные векторные величины.

    В геометрии вектором называется направленный отрезок, т. е. отрезок, для которого указано, какая из концевых его точек  считается первой, какая — второй. Первая точка направленного отрезка называется началом вектора, а вторая точка — концом.

    Направление вектора на чертеже отмечается стрелкой, обращенной острием к концу вектора.

    В тексте вектор записывается двумя заглавными буквами латинского алфавита со стрелкой наверху. Так, на рисунке 1,а изображены векторы АВ  , CD , EF, GH, причем А, С, Е, G —  соответственно начала, а В, D, F, Н — концы данных векторов. В некоторых случаях вектор обозначается также - одной строчной буквой, например,  a, b, c (рис. 1,б)

    1.1.2. НУЛЬ-ВЕКТОР

    При определении вектора мы предполагали, что начало вектора не совпадает с его концом. Однако в целях общности будем рассматривать и такие «векторы», у которых начало совпадает с концом. Они называются нулевыми векторами или нуль-векторами и обозначаются символом 0. На чертеже нуль-вектор изображается одной точкой. Если эта точка  обозначена, например, буквой К, то нуль-вектор может быть обозначен также через КК.

    1.1.3. КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ

    Два вектора АВ и CD называются коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой или на параллельных прямых.

    Нуль-вектор считается коллинеарным любому вектору.

    На рисунке 1,а векторы АВ, CD, EF, GH попарно коллинеарны. На рисунке 2 векторы ЕС и DA коллинеарны, а АВ и ВС не коллинеарны.

    Если ненулевые векторы АВ и CD  коллинеарны, то они могут иметь одно и то же или противоположные направления. В первом  случае их называют сонаправленными, во втором случае — противоположно направленными.

    На рисунке 1,а векторы АВ и EF сонаправлены, а АВ и CD или АВ и GH противоположно направлены. В дальнейшем мы будем пользоваться следующими обозначениями: запись АВ || CD (или CD || АВ) будет означать, что векторы АВ и CD коллинеарны; запись АВ ↓↓ CD (или АВ ↑↑ CD) будет означать, что векторы АВ  и CD  сонаправлены, а запись АВ ↑↓ CD  — что они имеют противоположные направления. Например, для векторов,  изображенных на рисунке 1, а, имеют место соотношения: АВ ↓↓EF, АВ ↑↓ CD, GH ↓↓ CD, EF || GH, EF ↑↓ GH.

    1.1.4. МОДУЛЬ ВЕКТОРА

    Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка, изображающего данный вектор. Длиной нулевого вектора называется число нуль. Длина вектора АВ обозначается символом |АВ|, или просто АВ (без стрелки наверху!). Длина вектора a обозначается так: | а | Очевидно, длина вектора a равна нулю тогда и только тогда, когда a  — нулевой вектор. Вектор называется единичным, если его модуль равен единице.

    1.1.5. РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ

    Два вектора a и b называются равными, если выполнены  следующие условия: а) модули векторов a и b равны; б) если векторы a и b ненулевые, то они сонаправлены.

    Из этого определения следует, что два нулевых вектора всегда равны; если же один вектор нулевой, а другой отличен от нуля, то они не равны.

    Равенство векторов a и b обозначается так: a = b.

    Понятие равенства векторов обладает свойствами, которые аналогичны свойствам равенства чисел.

    Теорема [1.1.] Равенство векторов удовлетворяет следующим условиям:

    а) каждый вектор равен самому себе (условие рефлексивности);

    б) если вектор a  равен вектору b, то вектор b равен вектору a (условие симметричности);

    в) если вектор a  равен вектору b, а b равен вектору с , то a равен с (условие транзитивности).

    1.1.6. ПЕРЕНОС ВЕКТОРА В ДАННУЮ ТОЧКУ

    Пусть дан некоторый вектор a  = EF и произвольная точка А. Построим вектор a, равный вектору a, так, чтобы его начало совпало с точкой А. Для этого достаточно провести через точку А прямую l, параллельную прямой EF, и отложить на ней от точки А отрезок AВ, равный  отрезку EF. При этом точку В на прямой l следует выбрать так, чтобы  векторы EF и АВ были сонаправлены. Очевидно, АВ есть искомый  вектор a'.

    1.1.7. СУММА ДВУХ ВЕКТОРОВ

    Суммой двух произвольных векторов a и b называется третий вектор р, который получается следующим образом: от произвольной точки О откладывается вектор a, от его конца А откладывается вектор b. Получившийся в результате этого построения вектор ОВ есть вектор р (рис. 3).

    На рисунке 4 изображено построение суммы двух коллинеарных векторов: а) сонаправленных, б) противоположно направленных, в) векторов, из которых один нулевой, г) равных по модулю, но противоположно направленных (в этом случае, очевидно, сумма векторов равна нуль-вектору).

    Легко видеть, что сумма двух векторов не зависит от выбора исходной точки О.  В самом деле, если за исходную точку построения взять точку О', то, как  видно из рисунка 3, построение по указанному выше правилу дает вектор р', равный вектору р.

    Очевидно также, что если a=a, и b=b,, то a+b=a,+b,    

    Из правила треугольника для сложения двух векторов вытекает простое и очень полезное для решения задач правило: каковы бы ни были три точки A, В и С, имеет место соотношение: АВ + ВС = АС.

    Если слагаемые векторы не коллинеарны, то для получения их суммы можно пользоваться другим способом — правилом  параллелограмма. На рисунке 5 дано построение суммы векторов a и b по этому правилу.

    1.1.8. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ ВЕКТОРОВ

    Теорема [1.2.] Понятие суммы векторов удовлетворяет следующим условиям:

    а) для любых трех векторов a, b и c имеет место соотношение:

    (a+ b) + c=  a+ (b + c) (ассоциативный закон);

    б) для любых двух векторов a и b имеет место соотношение: a + b=b + a,  т. е. сумма двух векторов не зависит от порядка слагаемых (коммутативный закон);

    в) для любого вектора a,  имеем: a+0=a

    г) для каждого вектора a существует противоположный вектор a,, т. е. вектор, удовлетворяющий условию: a  + a, = . Все векторы, противоположные данному, равны между собой.

    Доказательство.

    а) Пусть О — начало, а A —конец вектора a. Перенесем вектор b в точку A и от его конца В отложим вектор c, конец которого обозначим через С (рис.6). Из нашего построения следует, что OA=a , AB=b , BC=c (1).

    Из правила треугольника имеем:ОС=ОВ+ВС и ОВ = ОА + АВ,  поэтому ОС=(ОА + АВ)+ ВС. Подставив сюда значения слагаемых из (1), получаем: ОС = (a+ b) + c

    С другой стороны, ОС = ОА + АС и АС = АВ + ВС, поэтому ОС = ОА + (АВ + ВС). Подставив сюда значения слагаемых из (1), получаем: ОС = a+ (b + c).

    Из этого следует, что векторы (a+ b) + c  и  a+ (b + c) равны одному и тому же вектору ОС, поэтому они равны между собой.

    г) Пусть a = ОА — данный вектор. Из правила треугольника следует, что ОА + АО = ОО = 0. Отсюда вытекает, что АО есть вектор, противоположный вектору a. Все векторы, противоположные вектору a = ОА, равны вектору АО, так как если каждый из них перенести в точку А, то концы их должны совпадать с точкой О в силу того, что a  + a, = .  Теорема доказана.

    Вектор, противоположный вектору a , обозначается -a .

    Из Теоремы [1.2.] следует, что если a   0, то -a  =a   и -a↓↑a. Также очевидно, что для любого вектора a   имеем: -(-a  )= a  .

    1.1.9. СЛОЖЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ ВЕКТОРОВ

    Суммой трех векторов a, b и c будем считать вектор р = (a+ b) + c. На основании ассоциативного закона (теорема[1.2]) сложения векторов р=a+ (b + c), поэтому при записи суммы трех векторов мы можем опустить скобки и записать ее в виде a+ b + c. Больше того, из теоремы [1.2] следует, что сумма трех векторов не зависит от порядка слагаемых.

    Пользуясь доказательством теоремы [1.2], можно указать следующий способ построения суммы трех векторов a, b и c. Пусть О —  начало вектора a. Перенесем вектор b в конечную точку вектора a, а  вектор с— в конечную точку вектора b. Если С — конечная точка вектора с, то a+ b + c = ОС (рис. 8).

    Обобщая правило, данное для построения суммы трех векторов, можно указать следующее общее правило сложения  нескольких векторов. Чтобы построить сумму векторов a1, a2,…an, достаточно вектор a2 перенести в конечную точку вектора a1, затем вектор a3 перенести в конечную точку вектора a2 и т. д. Суммой данных векторов будет вектор, начало которого совпадает с началом  вектора a1, а конец — с концом an.

    Сумма векторов a1, a2,…an обозначается: a1,+a2+…+ an. На рисунке 9 дано построение суммы векторов  a1, a2,a3, a4 ,a5:

    ОА5 = a1,+a2+a3+ a4+a5.

    Указанное выше правило построения суммы нескольких векторов называется правилом многоугольника.

    1.1.10. ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ

    Вычитание вводится как операция, обратная сложению. Разностью векторов a и b называется такой вектор q, что q + b = a.

    Разность векторов a и b  обозначается так: a - b.

    Таким образом, выражение q = a - b означает, что q + b = a.

    Вектор a называется  уменьшаемым, а вектор b — вычитаемым.

    Теорема [1.3] Каковы бы ни были векторы a и b, всегда существует и единственным образом определяется разность a - b.

    Доказательство. Возьмем произвольную точку О и перенесем векторы a и b, в эту точку. Если ОА = a и ОВ = b, то вектор ВА есть искомая разность, так как ОВ + ВА = ОА, или b + ВА =a. Данное построение выполнимо при любых векторах a и b, поэтому разность a - b всегда существует.

    Теперь докажем, что разность определяется единственным  образом. Пусть b + q = a и b  + q' = a. К обеим частям этих равенств прибавим вектор -b

    b + q +(-b)= a +(-b),

    b + q' +(-b)= a+(-b).

    Пользуясь теоремой [1.2], после элементарных преобразований получаем: q= a +(-b),  q' = a+(-b), поэтому q= q'. Теорема доказана.

    Следствия. 1°.Для построения разности двух векторов  нужно эти векторы перенести в некоторую точку пространства. Тогда вектор, идущий от конца вычитаемого к концу уменьшаемого, есть искомый вектор.

    2°. Для любых двух векторов a и b имеем: a - b = a +(- b), т. е. разность двух векторов равна сумме уменьшаемого вектора и вектора, противоположного вычитаемому.

    1.1.11. МОДУЛИ СУММ И РАЗНОСТЕЙ ВЕКТОРОВ

    Для  произвольных векторов a и b имеют место следующие соотношения:

    а) a + b≤a+b

    б) a- b≤a+b.

    В соотношении а) знак равенства имеет место только в случае, если a↑↑b или если хотя бы один из векторов a и b нулевой.

    В соотношении б) знак равенства имеет место только в случае, если a↑↓b или если хотя бы один из векторов a и b нулевой.

    1.2. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

    1.2.1. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

    Произведением ненулевого вектора a на действительное число α≠0  называется вектор р, удовлетворяющий следующим условиям:

    а) | р | = | α |  | a |, где | α| — модуль числа α;

    б) если α > 0, то р и a сонаправлены; если α < 0, то р и a  противоположно направлены.

    Произведение нулевого вектора на произвольное число или  произвольного вектора на число 0 равно нуль-вектору.

    Произведение вектора a  на число α обозначают так: αa или .

    Легко видеть, что, каковы бы ни были α и a, их произведение есть вполне определенный вектор.

    Лемма [2.1]. Для того чтобы вектор a был коллинеарен  ненулевому вектору b, необходимо и достаточно, чтобы существовало число α, удовлетворяющее условию a = αb.

    Доказательство. Пусть a коллинеарен ненулевому  вектору b. Возможны следующие три случая: 1) a↑↑b, 2) a↑↓b, 3) a = 0.

    Покажем, что в каждом из этих случаев существует число α,  удовлетворяющее условию a =αb,. В самом деле, в первом случае a=ab∙ b, т. е. α=ab. Во втором случае a=-ab∙b,, поэтому α=-ab. В третьем случае a = 0 • b, α=0. Необходимость доказана.

    Достаточность условия непосредственно следует из  определения произведения вектора на число.

    1.2.2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА

    ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

    Теорема [2.2]. Для произвольных чисел α, β и векторов a,  b имеют место следующие свойства:

    а) 1 • a = a; (-1) a = - a, где - a вектор,  противоположный a;

    б) αβa=(αβ)a;

    в) α+βa=αa+βa;

    г) αa + b=αa +αb.

    Свойство а) непосредственно следует из данного выше определения. Если хотя бы одно из чисел α,β равно нулю или хотя бы один из векторов a, b равен нулю, то справедливость остальных свойств  очевидна, поэтому достаточно рассмотреть случай, когда α≠0,β≠0, a ≠0, b≠0. Докажем свойства б) и г).  

    Доказательство.

    б). Пусть αβa= p1 и (αβ)a=р2. Докажем, что p1=р2. Для этого необходимо убедиться в том, что векторы p1 и р2 имеют равные модули и сонаправлены.  

    Вычислим модули этих векторов:

    |p1|=|α||βa|=|α|(|β||a|) = |α||β||a|;

    |р2|=|αβ||a|==(|α||β|)|a|=|α||β||a|.

    Таким образом, p1=р2. Векторы p1 и р2 по определению коллинеарны вектору a, поэтому они коллинеарны между собой.  

    Остается доказать, что p1 и р2 имеют одно и то же направление.  

    Возможны четыре случая:

    1) α>0, β>0;        3) α<0, β>0;

    2) α>0, β<0;         4) α<0, β<0.

    Рассмотрим доказательства случаев 1) и 2).

    1) α>0, β>0. В этом случае по определению: a↑↑βa  и βa↑↑p1 p1=αβa, поэтому a↑↑α(βa)  . С другой стороны, так как αβ>0, то a↑↑αβa=р2. Таким образом, p1 ↑↑ р2, и в силу  равенства их модулей p1=р2.

    2) α>0, β<0. В этом случае a↓↑βa,  βa ↑↑α(βa)= p1,  поэтому a↑↓ p1. С другой стороны, так как αβ<0, то a↑↓(αβ)a=р2. Итак, p1 ↑↑ р2, поэтому p1=р2.

    Доказательство свойства г). Пусть αa + b=p1 и αa +αb = р2.  Докажем, что p1=р2. Возможны два случая: 1)векторы a и b не коллинеарны; 2) векторы a и b коллинеарны. Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.

    1) Сначала предположим, что α>0. Пользуясь правилом треугольника, построим сумму a + b. Пусть ОА = a , АВ = b, тогда ОВ = a + b (рис. 10). Пусть далее OP = p1. Так как α>0, то точка Р лежит на луче ОВ. Проведем в плоскости ОАВ через точку Р прямую, параллельную АВ, и обозначим через Q точку пересечения этой прямой с прямой ОА. Так как треугольники ОАВ и OQP подобны, то α=OPOB=OQOA=QPAB.

    Отсюда следует, что OQ = αa и QP = αb. Но OP = OQ + QP, поэтому p1=αa +αb=р2.

    Случай, когда α < 0, рассматривается аналогично.

    2) Так как a и b коллинеарны, то из леммы [2.1] следует, что существует некоторое число λ, удовлетворяющее условию: a=λb, поэтому p1=αa +αb= α[(λb + b)] = α [(λ + 1) b] = [α (λ + 1)] b. Здесь мы воспользовались свойствами б) и в).

    Точно так же р2=αa +αb =  α (λb) + αb = (αλ)b + αb =αλ+αb= [α (λ + 1)] b.

    Поэтому p1=р2. Теорема доказана полностью.

    1.3. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ

    1.3.1. ЛИНЕЙНАЯ КОМБИНАЦИЯ ВЕКТОРОВ

    Пусть на плоскости даны векторы a1, a2,…ak. Линейной комбинацией этих векторов называется всякий вектор вида α1a1+α2a2+…+ αkak, где α1, α2,…αk— произвольные числа.

    Если все коэффициенты линейной комбинации равны нулю, то такая линейная комбинация называется тривиальной, в  противном случае она называется нетривиальной. Легко видеть, что тривиальная линейная комбинация любого числа векторов есть нуль-вектор.

    1.3.2. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ

    В векторной алгебре всякое множество векторов, конечное или бесконечное, принято называть системой векторов. Система векторов a1, a2,…ak (1) называется линейно зависимой, если существуют такие числа λ1, λ2,…λk не равные нулю одновременно, что λ1a1+λ2a2+…+ λkak=0, (2)

    В противном случае система векторов называется линейно независимой. Другими словами, система (1) линейно  независима, если из соотношения (2) следует, что λ1= λ2=…=λk = 0.

    Определение линейной зависимости применимо также и в том случае, когда система состоит из одного вектора, т. е. когда k = 1. В этом случае, как легко видеть, система будет линейно зависимой тогда и только тогда, когда вектор системы нулевой.

    Если система (1) линейно зависима, то в соотношении (2) по  крайней мере один из коэффициентов не равен нулю. Пусть, например, λk  0. Разделив соотношение (2) на λk, получаем: ak=-λ1λka1-λ2λka2-…-λk-1λk ak-1

     В этом случае вектор ak является линейной комбинацией векторов a1, a2,…ak-1. Говорят также, что вектор ak  линейно выражается через векторы a1, a2,…ak-1. Итак, если система линейно зависима, то хотя бы один из векторов этой системы линейно выражается через другие.

    Докажем вспомогательное предложение.  

    Лемма [3.1]. Если часть данной системы линейно зависима, то вся система также линейно зависима.

    Доказательство. Пусть (1) — данная система. Допустим, например, что система векторов a1, a2,…al, где l, линейно  зависима α1a1+α2a2+…+ αlal=0. По определению хотя бы один из коэффициентов α1, α2,…αl не равен нулю. Это соотношение можно переписать так: α1a1+α2a2+…+αlal+0∙al+1+…+ 0∙ak = 0. Мы видим, что система (1) также линейно зависима.

    1.3.3. СИСТЕМА КОЛЛИНЕАРНЫХ ВЕКТОРОВ

    Конечная или бесконечная система векторов называется коллинеарной, если любые два вектора этой системы коллинеарны. Например, векторы АВ, CD, EF, GH на рисунке 1, а (стр. 4) образуют коллинеарную систему, а векторы BE, ВС, AD, DC на рисунке 2 не образуют коллинеарной системы.

    Отметим, что если система коллинеарна, то всякая ее часть также коллинеарна. В частности, если бесконечная система векторов  коллинеарна, то всякая ее конечная часть коллинеарна.

    Рассмотрим один частный, но весьма важный случай бесконечной системы коллинеарных векторов. Возьмем в пространстве прямую и рассмотрим множество всех векторов пространства,  параллельных этой прямой. Это множество, очевидно, образует коллинеарную бесконечную систему векторов. Эта система называется одномерным векторным подпространством.

    Итак, одномерное векторное подпространство — это совокупность всех векторов пространства, параллельных некоторой прямой l. Следует подчеркнуть, что любое одномерное векторное  подпространство содержит нуль-вектор. Очевидно, каждое одномерное векторное подпространство имеет хотя бы один ненулевой вектор е, через который линейно выражается любой вектор подпространства. В случае подпространства, в отличие от общего случая системы коллинеарных векторов, для любого действительного числа α вектор р=αе, принадлежит подпространству.

    Таким образом, одномерное векторное подпространство есть множество векторов вида αе при всевозможных значениях α.

    1.3.4. СИСТЕМА КОМПЛАНАРНЫХ ВЕКТОРОВ

    Рис.11.

    По аналогии с предыдущим введем следующее определение: конечная или бесконечная система векторов называется компланарной, если в пространстве  существует плоскость, которой параллельны все векторы системы (2). На рисунке 11 векторы ОА1, ОА2, А3А, А2В образуют  компланарную систему. Векторы ОЕ1, ОЕ2, ОЕ3 не образуют компланарной  системы. Легко видеть, что любая система, состоящая из двух векторов, всегда компланарна. Далее, если некоторая система компланарна, то любая ее часть также компланарна. Если все векторы  компланарной системы перенести в одну точку О пространства, то, очевидно, их концы А вместе с точкой О будут лежать в одной плоскости. Этим по существу объясняется термин «компланарность», что означает принадлежность одной и той же плоскости.

    Рассмотрим один частный, но весьма важный случай бесконечной системы  компланарных векторов. Возьмем в  пространстве некоторую плоскость π и рассмотрим множество всех векторов пространства, параллельных этой  плоскости. Это множество, очевидно, образует компланарную систему векторов, которая называется двумерным векторным  подпространством. Итак, двумерное векторное подпространство — это совокупность всех векторов пространства, параллельных некоторой плоскости π. Отметим, что любое двумерное подпространство, так же как и  одномерное, содержит нуль-вектор.

    1.3.5. БАЗИС СИСТЕМЫ КОМПЛАНАРНЫХ ВЕКТОРОВ

    Теорема [3.2]. Если конечная или бесконечная система компланарных векторов содержит хотя бы два неколлинеарных вектора е1 и е2, то любой вектор a этой системы линейно выражается через е1 и е2, т. е. a = αе1 + βе2 (3), где α и β — действительные числа.

    Любая конечная система компланарных векторов, состоящая более чем из двух векторов, линейно зависима.

    Доказательство. Пусть a — произвольный вектор  системы (1). Перенесем векторы a, е1 и е2 в произвольную точку О пространства и обозначим через A, E1, Е2 их концы. В силу компланарности данной системы точки О, E1, Е2 и А лежат в одной плоскости. Но  векторы е1 и е2 не коллинеарны, поэтому О, E1 и Е2  не лежат на одной прямой (рис. 12).

    Проведем через точку А прямые, параллельные векторам е1 и е2. Обозначим через А1 и А2 точки пересечения этих прямых соответственно с прямыми ОE1 и ОЕ2. Очевидно, ОА = ОА1+ ОА2. С другой стороны, векторы  ОА1и е1 , ОА2 и е2 коллинеарны и е1≠0, е2≠0, поэтому  существуют такие α≠0, β≠0, что ОА1= αе1, ОА2=βе2. Подставив эти выражения в предыдущее соотношение, получим (3).

    Теперь докажем вторую часть теоремы. Пусть (1)—данная система и k > 2. Если векторы a1 и a2 коллинеарны, то они линейно зависимы, поэтому согласно лемме [3.1] система (1) линейно  зависима. Если a1 и  a2 не коллинеарны, то согласно первой части теоремы имеем: a3 = α1a1 + β1a2. Мы видим, что часть системы (1) линейно зависима, следовательно, согласно лемме [3.1] вся система линейно зависима.

    Введем следующее определение: базисом системы компланарных векторов называется совокупность любых двух неколлинеарных векторов этой системы, взятых в определенном порядке.

    Предыдущая теорема показывает, что любой вектор компланарной системы линейно выражается через базис.

    Легко видеть, что каждое двумерное векторное подпространство содержит хотя бы два неколлинеарных вектора, т. е. базис. Из  теоремы [3.2] следует, что любой вектор a этого подпространства  линейно выражается через е1 и е2. В случае подпространства, в отличие от общего случая системы компланарных векторов, вектор a, имеющий вид (3), при любых действительных α и β принадлежит  подпространству. Таким образом, если е1, е2 — базис двумерного подпространства, то это подпространство есть множество векторов a вида (3) при  всевозможных действительных значениях α и β.

    Теорема [3.3]. Для того чтобы три вектора a1 , a2, a3  были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы они были линейно зависимы.

    Доказательство. В самом деле, если система векторов a1 , a2, a3  компланарна, то согласно теореме [3.2] она линейно  зависима.

    Обратно, пусть система линейно зависима: α1a1+α2a2+ α3a3=0

    Если, например, α3≠0, то из данного соотношения получаем:

    a3=-α1α3∙a1-α2α3 ∙ a2. Если π — некоторая плоскость, параллельная векторам a1  и  a2, то отсюда видно, что a3 является вектором, параллельным той же плоскости.

    ГЛАВА 2 МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

    2.1  ВЕКТОРЫ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ

    Далее в дипломной работе я рассматриваю векторы в школьном курсе геометрии на основе учебников геометрии для общеобразовательных учреждений следующего коллектива авторов: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.

    Понятие вектора и действия над векторами вводятся в 9 классе( в 8 классе – 2-ой вариант программы), так, как это принято в физике. Величины, которые характеризуются не только числовым значением, но и направлением, называются в физике векторными и изображаются отрезками со стрелкой. Поэтому геометрический вектор вводится как направленный отрезок, т.е. отрезок на котором дано направление от одного конца к другому.

    На изучение главы «Векторы», в которой рассматриваются 3 учебные темы, отводится 8 часов(12 часов – 2 вариант программы).

    Основная цель изучения темы «Векторы» в 8-9 классах - научить обучающихся выполнять действия над векторами как направленными отрезками, что важно для применения векторов в физике; познакомить с использованием векторов при решении геометрических задач.

    Основное внимание уделяется выработке умений выполнять операции над векторами (складывать векторы по правилам треугольника и па раллелограмма, строить вектор, равный разности двух данных векторов, а также вектор, равный произведению данного вектора на данное число):

    На примерах показывается, как векторы могут применяться к решению геометрических задач.

    В результате изучения данной главы в основной школе учащиеся приобретают следующие знания и умения, соответствующие требованиям стандарта основного общего образования (Таблица 1).

    На изучение главы «Векторы в пространстве» отводится 6 часов. При изучении геометрии на базовом уровне (1-ый вариант программы – 51 час в год) данную тему проходят в 4 четверти в 10 классе, а при изучении геометрии на профильном уровне  (2-ой вариант программы – 68 часов в год) данную тему проходят в 1 четверти в 11 классе.

    Основная цель изучения темы «Векторы в пространстве» в 10-11 классах - закрепить известные учащимся из курса планиметрии сведения о векторах и действиях над ними, ввести понятие компланарных векторов в пространстве и рассмотреть вопрос о разложении любого вектора по трём некомпланарным векторам.

    Основные определения, относящиеся к действиям над векторами в пространстве, вводятся так же, как и для векторов на плоскости. Поэтому изложение этой части материала является достаточно сжатым. Более подробно рассматриваются вопросы, характерные для векторов в пространстве: компланарность векторов, правило параллелепипеда сложения трёх некомпланарных векторов, разложение вектора по трём некомпланарным векторам.

    В результате изучения данной главы в средней школе учащиеся приобретают следующие знания и умения, соответствующие требованиям стандарта среднего общего образования (Таблица 2).

    Таблица 1

    Учебная тема

    Требования стандарта образования

    знать

    уметь

    Понятие вектора

    1. Понятия вектора, его начала и конца, нулевого вектора, длины вектора, коллинеарных, сонаправленных, противоположно направленных и равных векторов
    1. Изображать и обозначать векторы
    2. откладывать от данной точки вектор, равный данному
    3. решать типовые задачи

    Сложение и вычитание векторов

    1. определение суммы двух векторов
    2. законы сложения векторов (правило треугольника и параллелограмма)
    3. понятие суммы трёх и более векторов
    4. определение разности двух векторов
    5. какой вектор называется противоположным данному
    1. объяснить, как определяется сумма двух или более векторов
    2. строить сумму двух или более данных векторов, пользуясь правилами треугольника, параллелограмма, многоугольника
    3. строить вектор, равный разности двух векторов
    4. решать типовые задачи

    Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач

    1. понятие умножения вектора на число
    2. свойства умножения вектора на число
    3. понятие средней линией трапеции и её свойства
    1. формулировать свойства умножения вектора на число
    2. формулировать и доказывать теорему о средней линии трапеции
    3. применять векторы к решению задач

     Таблица 2

    Учебная тема

    Требования стандарта образования

    знать

    уметь

    Понятие вектора в пространстве.

    1. Понятие вектора в пространстве, нулевого вектора, длины вектора, коллинеарных, сонаправленных, противоположно направленных и равных векторов
    1. откладывать от данной точки вектор, равный данному
    2. решать типовые задачи

    Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.

    1. правило треугольника и параллелограмма сложения векторов в пространстве
    2. переместительный и сочетательный закон сложения
    3. два способа построения разности двух векторов
    4. правило сложения нескольких  векторов в пространстве
    5. правило умножения вектора на число
    6. сочетательный и распределительные законы умножения
    1. строить сумму двух или более данных векторов, пользуясь правилами треугольника, параллелограмма, многоугольника
    2. решать типовые задачи

    Компланарные векторы

    1. определение компланарных векторов и признак компланарности трёх векторов
    2. правило параллелепипеда сложения трёх некомпланарных векторов
    1. формулировать и доказывать теорему о разложении вектора по трём некомпланарным векторам
    2. решать типовые задачи

    2.2. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ АФФИННОЙ ГЕОМЕТРИИ    ВЕКТОРНЫМ МЕТОДОМ

    2.2.1. ЦЕЛИ ИЗУЧЕНИЯ ВЕКТОРНОГО МЕТОДА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

    Вектор – одно из фундаментальных понятий современной математики и широко используется в различных её областях. В работах Г. Бесселя, Ж. Аргана и К. Гаусса по теории комплексных чисел установлена связь между арифметическими операциями над векторами в двумерном пространстве. В работах В. Гамильтона, Г. Грассмана, Ф. Мёбиуса понятие вектора нашло широкое применение при изучении свойств трёхмерного пространства. В настоящее время на векторной основе излагаются линейная алгебра, аналитическая и дифференциальная геометрия, функциональный анализ.

    К понятию вектора как направленного отрезка приводят многие задачи механики и других областей физики: теории упругости, теории электромагнитных полей.

     Векторный аппарат используется при доказательстве некоторых теорем и решении многих задач. Сила векторного метода заключается в том, что он позволяет легко делать обобщения, роль которых в математике трудно переоценить

    Цели изучения векторного метода в средней школе:

    1. дать эффективный метод решения различных геометрических задач (как аффинных, так и метрических) и доказательства теорем;
    2. показать широкое применение векторного аппарата в других областях знаний: технике, физике, химии, лингвистике – и на базе этого форматировать у учащихся диалектико-материалистическое мировоззрение;
    3. использовать векторный метод при решении задач с целью форматирования у учащихся выполнять обобщение и конкретизацию;
    4. формировать у учащихся такие качества мышления, как гибкость (нешаблонность), целенаправленность, рациональность, критичность и др.

    2.2.2. ОСНОВНЫЕ КОМПОНЕНТЫ ВЕКТОРНОГО МЕТОДА                     РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

    Формирование векторного метода решения аффинных геометрических задач должно начинаться еще в девятом (восьмом) классе. Для решения задач учащиеся должны владеть следующими умениями, которые и являются компонентами векторного метода:

    1. перевод условия задачи на язык векторов, в том числе:
    1. введение в рассмотрение векторов;
    2. выбор базисных векторов;
    3. разложение всех введенных векторов
    1. составление системы векторных равенств (или одного равенства).
    2. упрощение векторных равенств
    3. замена векторных равенств алгебраическими уравнениями и их решения
    4. объяснение геометрического смысла полученного решения этой системы (или одного уравнения).

    2.2.3. ПОНЯТИЙНЫЙ АППАРАТ

    Понятийный аппарат и умения, которыми должен овладеть ученик, чтобы научиться решать аффинные задачи векторным методом:

    1. основные понятия: вектор, начало вектора, конец вектора, одинаково направленные векторы, противоположно направленные векторы, абсолютная величина вектора (модуль вектора), равные векторы, нулевой вектор, неколлинеарные векторы;
    2. основные действия, умение выполнять которые должно быть сформулировано у учащихся: сложение векторов (пользуясь «правилом треугольника», «правилом параллелограмма» и «правилом параллелепипеда»); вычитание векторов; умножение векторов на число; представление вектора в виде суммы, разности двух векторов, в виде произведения вектора на число; замена вектора ему равным при помощи параллельного переноса; представление вектора в виде его разложения по двум неколлинеарным векторам; переход от соотношения между векторами к соотношению между их длинами и выполнение обратного действия;  
    3. действия для овладения компонентами метода: перевод геометрических терминов на язык векторов и решение обратной задачи; перевод условия задачи на язык векторов, т.е. составление системы векторных равенств по условию задачи; выбор базисных векторов, разложение всех введенных в рассмотрение векторов по базисным векторам; упрощение системы векторных равенств; замена векторных равенств алгебраическими.

    Для овладения учащимися указанными умениями в своей работе я использую тематические карточки с заданиями.(Приложение №1)

    С целью систематизации и обобщения знаний учащихся по теме «Векторы», для повторения основных понятий темы уместно использовать опорные таблицы (методика Шаталова В.Ф.)(Приложение №№2-4).

    2.2.4. ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ АФФИННОЙ ГЕОМЕТРИИ, РЕШАЕМЫЕ ВЕКТОРНЫМ МЕТОДОМ

    Рассмотрим задачи трёх типов, которые целесообразно решать с помощью векторов.

    Первый тип: задачи, связанные с доказательством параллельности прямых и отрезков, прямых и плоскости

    Второй тип: задачи, в которых доказывается, что некоторая точка делит отрезок в заданном отношении.

    Третий тип: задачи на доказательство принадлежности трех и более точек одной прямой.

    Выделение таких типов полезно по следующим соображениям:

    1. Эти виды наиболее многочисленны и, в силу простого перевода на векторный язык, могут служить образцами для учащихся.
    2. Навык, приобретенный при решении этих задач, можно переносить на более сложные (где данные задачи могут встречаться в виде части задач).

    Указанные выше типы задач охватывают довольно большую часть тех задач, которые приходиться решать учащимся. В задачах такого рода традиционные методы решения связаны обычно со значительными трудностями: или с необходимостью тонких дополнительных геометрических построений, или с довольно громоздкими тригонометрическими преобразованиями.

    Решение геометрических задач векторным методом позволяет отработать у учащихся навыки перевода условия с геометрического языка на векторный и формировать навыки, необходимые для перевода с векторного языка на геометрический.

    Для овладения умением переходить от геометрического языка к векторному и обратно необходимо знать, как то или иное векторное соотношение выражается на геометрическом языке. (Таблица 3)

    Таблица 3

    Рисунок

    Что необходимо доказать или определить на геометрическом языке.

    Что достаточно определить или доказать на векторном языке.

    a∥b

     AB = k∙CD 

    (k - некоторое число), где  AB∈a, CD ∈b 

    ACCB=mn

    C∈AB;

    O∉AB;

    O – произвольная точка

    AC=mn∙CB

    OC=nm+n∙OA+

    +mm+n∙OB

    Продолжение таблицы 3

    AC=CB

    C∈AB;

    O∉AB;

    O – произвольная точка

    OC=12∙(OA+OB)

     

    M–центроид∆ABC 

    O-произвольная точка

    OM=13(OA+OB++OC) 

    5)                               B

                             

                 C

        A                             O

    C∈AB

    O∉AB

    O-произвольная точка

    BC=k∙BA

    OC=k∙OA+

    +(1-k)OB

    6)                         О

      А                         С

        D            

                          B

    O-произвольная точка

    A∉BC

    D∈ABC

    OD=αOA+βOB+

    +(1-α-β)OC

    7)                                  B

                             

                 

                   C

        A                            

                                        O

      C∈(OAB)

    и определяются однозначно

    Продолжение таблицы 3

    8)                                 B

              M

         A

          C              M1                D

    M - середина AB

    M1– середина CD

      MM1=12(AC+BD)

    Соотношения 2-3 дают единый подход для решения большого числа геометрических задач. При их применении один и тот же вектор двумя различными способами представляется в виде линейной комбинации двух векторов (на плоскости) или трех векторов (в пространстве), а затем используется единственность разложения.

    Знание условия коллинеарности двух векторов и компланарности трех векторов позволяет в векторной форме решать аффинные задачи стереометрии - задачи, в которых изучаются вопросы взаимного расположения прямых и плоскостей.

    Рабочими формулами при векторном способе решения аффинных задач стереометрии являются соотношения 3 и 4.

    При использовании в решении понятия компланарности трёх векторов, в качестве базиса в пространстве можно выбрать любую упорядоченную тройку некомпланарных векторов. Тогда любой вектор  пространства единственным образом можно разложить по векторам этого базиса: p=xa+yb+zc 

    В общем виде критерий компланарности трех ненулевых векторов  выражает равенство: xa+yb+zc=0 (при условии, что не все коэффициенты одновременно равны нулю). Если в задаче требуется доказать, что три данные прямые параллельны некоторой плоскости (ее положение определять не нужно), то достаточно на каждой из этих прямых выбрать вектор и, используя признак компланарности трех векторов, доказать, что выбранные векторы компланарны.

    2.3. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ АФФИННОЙ ГЕОМЕТРИИ       ВЕКТОРНЫМ МЕТОДОМ

    2.3.1.ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С ДОКАЗАТЕЛЬСТВОМ

    ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ И ОТРЕЗКОВ,

    ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

    При решении этих задач наиболее часто используется признак коллинеарности двух векторов (соотношение 1) и единственность разложения вектора по двум неколлинеарным векторам (соотношение 7).(Приложение №5)

    Задача 1. Доказать что вектор, концами которого являются середины двух противолежащих сторон, равен половине векторной суммы двух других противолежащих (соотношение 8)                                  

    Рис.13.

    Дано:                                                            ABCD– четырехугольник                                                                              

    M– середина AB

    N– середина CD

    Доказать:  

    Решение. Пусть О – произвольная точка. Согласно соотношению 3 имеем

    Поэтому  .

    Рис.14.

    Задача 2. Доказать, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям. Дано:                                                            

    ABCD– трапеция                                                

    AC, ВD – диагонали

    M– середина AC                                                        

    N– середина ВD

    Доказать: MN || AD.                      

    Анализ. Покажем, что MN || AD. Для этого достаточно показать, что  коллинеарен

    Решение. Так как M и N – середины отрезков AC и BD, то(соотношение 3)

    Следовательно,

    Но  коллинеарен вектору , поэтому   Тогда

     Тогда (по соотношению 1)  коллинеарен   что и требовалось доказать.

    Задача 3.Доказать, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и длина ее равна полусумме длин оснований.

    Дано:                                                            

    ABCD– трапеция  

    M– середина AВ                                                        

    N– середина СD

    Рис.15.

    Доказать: MN || AD.                      

    Анализ. Для доказательства параллельности достаточно показать, что векторы MN и AD коллинеарны

    Решение.

    1) Согласно рассмотренной задаче 1 .

    2) Так как , то  и, значит, MN || AD.

    3) Так как , то  = AD + BC, поэтому

    MN = (AD + BC).

    Рис.16.

    Задача 4. Точки  K, L, M, N – середины сторон AB, BC, CD, DE пятиугольника ABCDE, а точки P и Q – середины отрезков KM и LN. Докажите, что PQ || AE  и PQ = 1/4 AE.Дано:                                                            

    ABCDЕ– пятиугольник

    K, L, M, N – середины сторон AB, BC, CD, DE

    P и Q – середины отрезков KM и LN

    Доказать PQ || AE  и PQ = 1/4 AE.

    Решение.

    Пусть О – произвольная точка. Согласно соотношению 3

    .

    Аналогично,

    .

    Из этих равенств следует, что

    Отсюда следует, что PQ || AE и PQ = AE.

    Рис.17.

    Задача 5. В параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 точка М— середина диагонали А1С1 грани A1B1C1D1, точка K— середина ребра ВВ1. Докажите, что прямые А1В1, KМ и ВС1 параллельны некоторой плоскости. Дано:                                                            

    АВСDА1В1С1D1– параллелепипед

    М— середина диагонали А1С1

    K— середина ребра ВВ1

    Доказать А1В1, KМ и ВС1 ∥γ

    Решение. Введем векторы:

    Тройку  некомпланарных векторов  примем в качестве базиса. Разложим векторы   по векторам этого базиса.

    Имеем:

    Тогда

    Это означает, что векторы   компланарны, следовательно, они параллельны некоторой плоскости γ, тогда этой плоскости параллельны и прямые А1В1, KМ и ВС1, для которых векторы  являются направляющими.

     2.3.2. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ДЕЛЕНИЯ НЕКОТОРОГО ОТРЕЗКА В ЗАДАННОМ ОТНОШЕНИИ ИЛИ НА НАХОЖДЕНИЕ

    ОТНОШЕНИЯ, В КОТОРОМ ТОЧКА ДЕЛИТ ОТРЕЗОК

    Решение задач этого типа базируется на соотношении 2(№ 806, [2])

    Для того чтобы точка С делила отрезок АВ так, что AC:CB=m:n , необходимо и достаточно, чтобы для произвольной точки О выполнялось равенство:OC=nm+n∙OA+mm+n∙OB

    Доказательство. По условию AC:CB=m:n,  следовательно  

    nAC =mCB.       Но

                      Поэтому

           Отсюда следует

    Рис.18.

    Задача 6. Доказать, что медианы произвольного треугольника ABC пересекаются в одной точке М такой, что точка М делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.Решение. Пусть точка М дeлит медиану AD треугольника ABC в отношении 2:1.Тогда по соотношению 2 получаем (m = 2, n = 1)

    OM=13∙OA+ 23∙OD где О — произвольная точка пространства. Точка   D — середина стороны ВС, поэтому, согласно соотношению 3 :  OD=12∙OB+OC

    Следовательно, OM=13∙OA+ 23∙12∙OB+OC=(OA+OB+OC) 

    Тот же результат получится для любой другой медианы треугольника ABC. Это говорит о том, что М — общая точка всех трех медиан.

    Практика решения более сложных задач такого типа показала, что работу нужно вести в следующем направлении: постараться разложить один из векторов (чаще всего конец такого вектора – точка, которая делит данный отрезок в заданном отношении) по двум основным векторам (они неколлинеарны) двумя различными способами. Используя единственность разложения вектора по двум неколлинеарным векторам, установить зависимость между коэффициентами в разложении вектора, что потом дает возможность найти искомое соотношение.

    Задача 7. На стороне AC треугольника ABC взята точка M так, что AM=14AC, а на продолжении стороны BC такая точка N что BN=BC. В каком отношении точка P пересечения AB и MN делит каждый из этих отрезков.

    Дано:

    ABC– треугольник                                                        

    AM=14AC BN=BC

    Рис.19.

                                                                                 

    Найти: MPPN,APPB                                                    

    Решение:

    Пусть MPPN=x и  APPB =y

    Выберем базисные векторы

    Разложим вектор AP по базисным двумя различными способами

    а) APPB =y,  тогда  APAB  =yy+1, т.к. векторы AP и AB сонаправлены

    AP=уу+1∙AB=уу+1∙CB-CA=уу+1∙a-b

    AP=уу+1∙a-уу+1∙b

    б) MPPN=x,  AP=1x+1∙AM+xx+1∙AN

    Но AM=-14b,  AN=CN-CA=2a-b. Поэтому

    AP=1x+1∙-14b+xx+1∙2a-b=2xx+1∙a-1+4x4(x+1)∙b

    Учитывая единственность разложения вектора по двум неколлинеарным векторам(соотношение 7) , получим систему

    Следовательно, MPPN=14 и  APPB =23

    Задача 8. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противолежащей грани, называется медианой этого тетраэдра. Докажите что все медианы тетраэдра пересекаются в одной точке и эта точка делит каждую из медиан в отношении 3:1, считая от вершины.

     Доказательство. 

    Рис.20.

    Пусть Н1, Н2, Н3, Н4 — центроиды граней соответственно АВС, АВР, ВСР, АСР; М — точка, делящая медиану РН1 тетраэдра РАВС в отношении РМ:МН1 = 3:1. Тогда РМ : РН1 = 3 : 4, откуда  Для любой точки О пространства и центроида Н1 грани АВС выполняется:

     (соотношение 4)

    Тогда

    Аналогично доказывается, что для точек М1, М2 и М3, делящих медианы соответственно СН2, АН3, ВН4 тетраэдра в отношении 3 : 1, считая соответственно от вершин С, А и В, выполняется то же равенство, то есть

    Это означает, что точки М, М1, М2 и М3 совпадают, то есть все четыре медианы РН1, СН2, АН3 и ВН4 тетраэдра пересекаются в одной точке М и делятся этой точкой в отношении 3:1, считая от соответствующей вершины, что и требовалось доказать.

    Задача 9. На диагоналях АВ1 и ВС1 граней AA1B1B и ВВ1С1С параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взяты точки соответственно Н и M так, что отрезки MН и A1C параллельны. Найдите отношение длин этих отрезков.

    Решение.

    Введем векторы:

    Рис.21.

    Тройку  некомпланарных векторов   примем в качестве базиса и разложим векторы  по векторам этого базиса. Имеем:

    Так как точка Н лежит на диагонали АВ1, то векторы  коллинеарны, поэтому (соотношение 7) существует такое число х, что  Аналогично, в силу коллинеарности векторов  существует такое число у, что

    По правилу ломаной находим:

    По условию MН  A1C, значит, существует такое число t, что  то есть выполняется равенство:

     Вследствие некомпланарности векторов  и единственности разложения вектора по базису, приходим к выводу: 1– х–t =0, t–у=0, х–у–t = 0. Решением этой системы уравнений является:  Тогда  значит, МН:СА1 = 1 : 3.

    2.3.3. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ИЛИ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ ТРЁХ ТОЧЕК ПРЯМОЙ

    Задача 10. Точки M и N лежат соответственно на сторонах AD и BC четырехугольника ABCD, причем AM:MD=BN:NC== 3:4.

    Докажите, что середины отрезков AB, MN и CD лежат на одной прямой.

    Доказательство. Пусть K1 – середина AB, K2 – середина MN, K3 – середина CD. Согласно соотношению 8 имеем         

    Рис.22.

    . Из условия следует, что ,

    поэтому .

    Таким образом, векторы  и  коллинеарны, и, значит, точки K1, K2 и K3 лежат на одной прямой.

    Задача 11.  В трапеции ABCD точки M и N середины оснований BC и AD соответственно. Докажите, что точка О пересечения диагоналей AC и BD лежит на прямой MN.                                                              

    Доказательство.                                                                                           

    Рис.23.

    Для того, чтобы доказать, что O∈MN достаточно доказать, что OM и ON коллинеарны. Для этого нужно разложить векторы OM и ON  по базисным векторам.

    В качестве базисных векторов возьмём OB=a OC=b. По соотношению 3
    OM=12∙OB+OC=12∙a+b

    OD ↑↓OB, OD=kOB, k<0

    OA ↑↓OC, OA=nOС, n<0

    Из подобия треугольников BOC и AOD: AOOC=BOOD

    Значит k=n, т.е. OD=kOB, OA=kOС,

     ON=12ka+kb=k2a+b=k∙OM, значит O∈MN.

    Из разобранных примеров видно, что если задачу можно перевести на язык векторов, то она решается с помощью векторов. И для успешного использования векторной алгебры к решению геометрических задач необходимо уметь переводить геометрические факты на язык векторов.(Приложение №6-7)

    Заключение

    Многообразие возможностей применения векторного аппарата и его роль в повышении и развитии математической культуры учащихся трудно переоценить. Векторное решение задач аффинной геометрии зачастую проще их решения средствами элементарной геометрии. При этом можно обойтись без тех дополнительных построений, которые иногда затрудняют поиск решения задачи.

    В процессе работы я познакомилась с рядом новых источников методической и научной литературы, систематизировала и углубила знания о линейных операциях над векторами, коллинеарных и компланарных векторах.

    При работе над второй главой я рассмотрела цели изучения векторного метода в школе, понятийный аппарат векторного метода решения задач, выделила основные компоненты решения задач этим методом, рассмотрела классификацию задач аффинной геометрии, решаемые векторным методом. Работа над данной темой помогла мне решить некоторые задачи аффинной геометрии с помощью векторов. Примеры этих задач взяты и подробно разобраны только из школьной программы. При решении задач были использованы различные линейные операции, такие как сумма  и вычитание векторов, умножение вектора на число, а также понятия коллинеарных и компланарных векторов. В ходе работы над темой я выяснила, что для того, чтобы векторы стали аппаратом решение геометрических задач, необходимо научиться:

    1. переводить условие геометрической задачи в векторную терминологию и символику, т.е. на «векторный язык»;
    2. грамотно выполнять необходимые алгебраические операции над векторами;
    3. результат, полученный в векторной форме, переводить на язык геометрии.

    Кроме этого при решении задач векторным методом широко используют такие «рабочие инструменты», как векторная «формула для середины отрезка» и векторная формула «формула для центроида треугольника». Решать в векторной форме задачи аффинной геометрии также позволяют условия коллинеарности двух векторов и компланарности трёх векторов.

    Этот материал может быть интересен и полезен для учителя при использовании векторного метода при решении задач с целью форматирования у учащихся выполнять обобщение и конкретизацию.

    В данной работе не столько пересказ учебного материала, отраженного во всех школьных учебниках геометрии, сколько акцентуализация внимания на некоторых вопросах, которые вызывают наибольшую методическую трудность.

    Библиография

    1. Атанасян Л.С. Геометрия. 7—9 классы : учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. — 20-е изд. — М. : Издательство «Просвещение», 2010.— 384 с. : ил.
    2. Атанасян Л.С. Геометрия. 10—11 классы : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. — 18-е изд. — М. : Издательство «Просвещение», 2009. - 255 с. : ил.
    3. Атанасян Л.С. Изучение геометрии в 7-9 классах. Пособие для учителей/Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А. и др.. - 7-е изд. -М., Издательство «Просвещение», 2009,. -255 с.
    4. Атанасян Л.С. Геометрия, ч. I. Учеб. пособие для студентов физ.- мат. фак-тов пед. ин-тов. -М.: Издательство «Просвещение», 1973 - 480 с.: ил
    5. Геометрия. 7-9 класс. Программы общеобразовательных учреждений/ сост. Т.А.Бурмистрова.- М.: Издательство «Просвещение», 2010.- 126 с.
    6. Геометрия. 10-11 класс. Программы общеобразовательных учреждений/ сост. Т.А. Бурмистрова.- М.: Издательство «Просвещение», 2009. - 96 с.
    7. Геометрия.7-11 класс [Электронный ресурс].-Демонстрационные таблицы(258 Мб).-Волгоград: Издательство «Учитель», 2011-1 электрон. опт. диск (CD- ROM)
    8. Геометрия.7-11 класс [Электронный ресурс].- Поурочные планы по учебникам Л.С. Атанасяна (135 Мб). - Волгоград: Издательство «Учитель», 2010-1 электрон. опт. диск (CD- ROM)
    9. Кушнир А.И. Векторные методы решения задач/ А.И.Кушнир. - Киев: Издательство «Обериг», 1994 – 207с.
    10. Потоскуев Е.В. Векторный метод решения стереометрических задач / Е.В.Потоскуев// Математика.-2009.-№6.-с.8-13
    11.  Потоскуев Е.В. Векторы и координаты как аппарат решения геометрических задач: учебное пособие / Е.В.Потоскуев. – М.: Издательство «Дрофа»,2008.- 173с.
    12.  Рабочие программы по геометрии: 7-11 классы/ Сост. Н.Ф. Гаврилова.-М.: Издательство «ВАКО», 2011.-192 с.
    13. Саакян С. М. Изучение геометрии в 10—11 классах: кн. для учителя / С. М. Саакян, В. Ф. Бутузов.— 4-е изд.,дораб.— М.: Издательство «Просвещение», 2010.— 248 с.



    Предварительный просмотр:

    Приложение №3

    Приложение №2

    Приложение №1


    Приложение №4

    Приложение №5


    Приложение №6

    Конспект урока геометрии в 9 классе по теме

    «Применение векторов к решению задач»

    Цели:

    1. начать формирование навыков решения геометрических задач с помощью векторов
    2. развитие логического мышления, пространственного воображения
    3. воспитание отношения к теме «Векторы» как эффективному аппарату решения задач

    Ход урока

    1. Организационный момент

    1. Актуализация опорных знаний

    Ответить на вопросы на с. 213–214.

    Вспомнить основные правила действий с векторами.

    Решить задачи на доске и в тетрадях:

    Упростите выражение

    Найдите вектор  из условия

    Записать в тетрадях таблицу перевода с «геометрического» языка на «векторный»:

    C – точка на прямой AB

    MN || PQ

    M – точка на отрезке AB, такая,
    что
    AM : MB = λ

    ABCD – параллелограмм

    ABCD – трапеция (AB || CD)

    3. Работа по учебнику.

    Векторы могут использоваться для решения геометрических задач. Рассмотрим вспомогательную задачу.

    Разобрать решение задачи 1 на с. 208 учебника по рис. 264.

    4. Решение задач.

    Решить задачу 2. Точки M и N – середины сторон AB и CD  четырехугольника ABCD. Докажите, что  

    Решение

    Пусть О – произвольная точка. Согласно задаче 1 из п. 84 имеем  поэтому .

    Примечание. Результат задачи 2 можно использовать при доказательстве теоремы о средней линии трапеции на следующем уроке.

    Решить задачу 3. Точка С лежит на отрезке AB, причем АС : СВ =
    =
    2 : 3. Докажите, что для любой точки О справедливо равенство

    Решение

    По условию AC : CB = 2 : 3, поэтому  

    Но  

    Следовательно,  откуда получается

    Примечание. Задача 3 является частным случаем более общей задачи 806.

    Решить задачу № 784 на доске и в тетрадях.

    Решить задачу № 786 на доске и в тетрадях.

    Решение

    Так как точка А1 – середина стороны ВС, то .

    Далее

    При наличии времени решить задачу 4.

    Точки  K, L, M, N – середины сторон AB, BC, CD, DE пятиугольника ABCDE, а точки P и Q – середины отрезков KM и LN. Докажите, что PQ || AE  и PQ = 1/4 AE.

    Решение

    Пусть О – произвольная точка. Согласно задаче 1 из п. 84

    .

    Аналогично, .

    Из этих равенств следует, что

    Отсюда следует, что PQ || AE и PQ = AE.

    5. Итоги урока.

    Домашнее задание: повторить материал пунктов 76–84; разобрать решения задачи 2 из п. 84 и задачи № 788 и записать в тетрадь; решить задачу № 785.

    Приложение №7

    Конспект урока геометрии в 9 классе по теме

    «Средняя линия трапеции»

    Цели:

    1. ввести понятие средней линии трапеции, познакомить учащихся со свойством средней линии трапеции
    2. продолжить  формирование навыков решения геометрических задач с помощью векторов
    3. развитие логического мышления, пространственного воображения
    4. воспитание отношения к теме «Векторы» как эффективному аппарату решения задач

    Ход урока

    1. Организационный момент
    2. Актуализация опорных знаний

    Устно ответить на вопросы:

    Какие векторы называются коллинеарными? Изобразите на рисунке сонаправленные векторы  и  и противоположно направленные векторы  и .

    Какой вектор называется произведением данного вектора на данное число?

    Могут ли векторы  и  быть неколлинеарными?

    Сформулируйте основные свойства умножения вектора на число.

    Решить задачу на доске и в тетрадях по готовому чертежу:

    Точки M и N лежат соответственно на сторонах AD и BC четырехугольника ABCD, причем AM : MD = BN : NC =
    = 3 : 4.

    Докажите, что середины отрезков AB, MN и CD лежат на одной прямой.

    Решение

    Пусть K1 – середина AB, K2 – середина MN, K3 – середина CD. Согласно задаче 2 из п. 84 имеем         

    . Из условия следует, что , поэтому .

    Таким образом, векторы  и  коллинеарны, и, значит, точки K1, K2 и K3 лежат на одной прямой.

    3. Изучение нового материала.

    Определение трапеции. Виды трапеций.

    Определение средней линии трапеции.

    Доказательство теоремы о средней линии трапеции (проводит сам учитель).

    При доказательстве теоремы целесообразно использовать результат задачи 2, решенной на предыдущем уроке.

    Доказательство можно оформить на доске и в тетрадях в виде следующей краткой записи:

    Дано: ABCD – трапеция, AD || BC, M – середина стороны AB; N – середина стороны CD (рис. 266 учебника).

    Доказать: MN || AD, MN = .

    Доказательство

    Согласно рассмотренной в классе задаче 1 .

    Так как , то  и, значит, MN || AD.

    Так как , то  = AD + BC, поэтому

    MN = (AD + BC).

    4. Закрепление изученного материала (решение задач).

    Решить на доске и в тетрадях задачу № 793.

    Решение

    Пусть  a  и  b – основания  трапеции,  тогда  а + b = 48 – (13 + 15) =
    = 20 (см); средняя линия
    MN =  = 10 (см).

    Ответ: 10 см.

    Решить задачу № 795.

    Решить задачу № 799 на доске и в тетрадях.

    Решение

    Пусть BK – перпендикуляр, проведенный к основанию AD данной трапеции.

    Тогда KD = AD – AK.

    Но AK = , поэтому KD =
    = AD –,  то  есть

    отрезок KD равен средней линии трапеции. Значит, средняя линия трапеции равна 7 см.

    Ответ: 7 см.

    5. Проверочная самостоятельная работа.

    Вариант I

    Точка K делит отрезок MN в отношении MK : KN = 3 : 2. Выразите вектор  через векторы  и , где A – произвольная точка.

    Вариант II

    Точка A делит  отрезок  EF в отношении EA : AF = 2 : 5. Выразите вектор  через векторы  и , где K – произвольная точка.

    6. Итоги урока.

    Домашнее задание: изучить материал пункта 85; ответить на вопросы 18–20, с. 214 учебника; решить задачи №№ 787, 794, 796.


    По теме: методические разработки, презентации и конспекты

    Пример нестандартного решения некоторой текстовой задачи школьного курса математики

    Некоторые  текстовые задачи при решении у учащихся вызывают затруднения. На примере одной задачи я хочу показать нестандартное решение, которое может быть применено и к другим задачам, например, ...

    «Применение задач на построение одним циркулем в школьном курсе геометрии»

    В этой работе я предлагаю несколько задач на построение с помощью циркуля для факультативных занятиях как с помощью учителя, так и самостоятельно....

    Урок применения ЭОР "Решение задач на применение закона Архимеда"

    Решение задач «Закон Архимеда» Цели  урока: Формирование умений вычислять силу Архимеда; показать значение познания мира через мышление; Проверка знаний учащихся по теме «Архимедова си...

    Программа курса по выбору для учащихся 9 кл. "Способы и методы решения нестандартных задач школьного курса математики"

    Данная программа для учащихся 9 класса относится к группе занятий в системе дополнительного образования, которые предназначены как для дополнения знаний учащихся, полученных ими на уроках, так и для и...

    Решение задач по курсу геометрии

    Данный урок является повторительно - обобщающим по итогам учебного года в 7 классе. Тип урока - игра. На уроке используется групповая форма работы и работа в парах. Цели данного урока - формирование у...

    ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС ПО ХИМИИ «Решение задач по курсу органической химии.» ДЛЯ 10 КЛАССА

    ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС ПО ХИМИИ«Решение задач по курсу органической химии» ДЛЯ 10 КЛАССА...

    Действия с векторными величинами и их применение к решению задач на расчет равнодействующей силы и второй закон Ньютона (9 класс)

    Представлена методическая разработка интегрированного урока математики и физики, созданная в соавторстве Васильченко Татьяны Александровны, учителя математики, и Александровой Ирины Игоревны, учителя ...