Разработка урока геометрии "Объем конуса"
методическая разработка по геометрии (11 класс) по теме

Тема урока. Объём конуса.

Цели. Обучающая:   экспериментальным путём получить формулу для                  вычисления объёма конуса и доказать её, сформировать навыки нахождения объёма конуса посредством решения практических задач.

Развивающая:     развивать умение соотносить теоретический материал с       практическими задачами.

Воспитательная: воспитывать интерес к математике, расширять   кругозор.

Тип урока. Урок изучения нового материала.

Методы проведения: фронтальный опрос, эксперимент, объяснение с элементами беседы, решение задач.

Оборудование: модели конуса и цилиндра, соль, стакан, компьютер, мультимедиа проектор.

План урока.

1. Организационный момент.
2. Объяснение нового материала.

1.  Актуализация знаний учащихся.
2.  Эксперимент
3.  Доказательство теоремы.

3. Решение задач.
4. Универсальная формула вычисления объёмов тел.
5. Блиц-опрос.
6. Домашнее задание.
7. Итоги урока.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Сегодня на уроке мы продолжим изучение темы «Объёмы тел». Докажем формулу для вычисления объёма конуса, решим задачи на применение этой формулы. Познакомимся с универсальной формулой для вычисления объёмов тел. В конце урока проведём небольшой тест, который покажет, насколько вы были внимательны.

2. Объяснение нового материала.

2.1 Актуализация знаний учащихся (устная работа).

Повторим некоторые вопросы теории.

1. Определение конуса.
2. Элементы конуса.
3. Сечения конуса.

2.2 Эксперимент.

Перед вами модели конуса и цилиндра с равными радиусами и высотами. Как вы считаете, во сколько раз объем цилиндра больше объема конуса? Давайте проверим. С помощью конуса заполним цилиндр (модели полые). Выразите объём конуса через объём цилиндра. В геометрии принято всё обосновывать. Докажем формулу для вычисления объёма конуса V=ПR2h.

    2.3 Доказательство теоремы.

Назовите формулу для вычисления объёмов тел через определённый         интеграл (V=). Что означают S(х), a, b ?

Дано: конус, R - радиус, h – высота.

Доказать: V=ПR2h.

Доказательство:

1) Проведём ось Ох. Построим сечение плоскостью, перпендикулярной к оси Ох.

Сечение – круг, R1 – радиус, М1 – центр сечения.

2) ∆ОМ1А1 ~  ∆ОМА по первому признаку (∟МОА – общий, ∟ОМ1А1 = ∟ОМА = 90о). Отсюда

= , = , R1=, Sсеч.= ПR12, S(х) =.

3)  V=, a = 0, b = h, V== .=

=  - 0 = ПR2h.

3. Решение задач.

Плакат 1. В Мордовии строительный бум. Строят не только дома, но и дороги. Думаю, вам приходилось летом наблюдать по обочинам дорог рассыпанные кучи щебня. Форму какого тела имеет куча щебня? Значит, нахождение объёма кучи сведётся к вычислению объёма конуса, высота и радиус которого недоступны для непосредственного измерения. Подумайте, как можно найти их? Один мой знакомый строитель поделился своим опытом. Радиус он находит, измеряя рулеткой окружность основания, а высоту, находя длину двух образующих путём перекидывания ленты через вершину кучи, используя радиус. Рассмотрим конкретный пример.

Задача 1.

Окружность основания конической кучи щебня равна 12,1 м. Длина двух образующих 4,6 м. Каков объём кучи?

Дано: конус, С = 12,1 м, 2l = 4,6 м.

Найти: V

Решение. V=ПR2h, С = 2ПR,  R = ,  R = 1,9(м), l = 4,6:2=2,3(м).

h = = ==1.3(м)

V=*3,14*1,92*1,34,9(м3)

Ответ. 4,9 м3

Если кто-то из вас будет поступать в этом году на строительный факультет, то, возможно столкнётся с решением такой задачи на практике.

Читая как-то нашего классика А.С. Пушкина, обнаружила такие строки в «Скупом рыцаре»:

…Читал я где-то,

Что царь однажды воинам своим

Велел снести земли по горсти в кучу, -

И гордый холм возвысился,

И царь мог с высоты с весельем озирать

И дол, покрытый белыми шатрами,

И море, где бежали корабли.

С точки зрения математики, здесь нет и зерна правды. Форму какого тела имеет земляной холм? Проведём примерный расчёт. Войско в сто тысяч человек было уже внушительно по численности. Примем, что холм составлялся из 100 000 горстей. Захватите горсть земли и насыпьте в стакан: вы не наполните его. (Для большей убедительности проводим опыт. Ученик насыпает горсть соли в стакан.) Мы примем, что горсть равнялась 200 мл = =л =дм3. Пусть угол между образующей и плоскостью основания 450. Более крутых склонов нельзя допустить, так как земля будет осыпаться.

Задача 2.

Дано: конус, α = 450 , n = 100 000, V1 = дм3

Найти: h

Решение. V = n V1, V = *100 000 = 20 000(дм3) = 20(м3).

V=ПR2h, т.к. α = 450, то h = R, тогда V=Пh3,  h = , h = 2,7(м).

Ответ. 2,7 м.

Надо обладать очень богатым воображением, чтобы земляную кучу высотой 2,7 м назвать «гордым холмом».

4. Универсальная формула вычисления объёмов тел.

Хочу предложить вашему вниманию универсальную формулу, с помощью которой можно вычислить объёмы цилиндра, конуса, призмы и многих других сложных тел. Эта формула известна в математике под названием формулы Симпсона.

V = h(S1+4Sср.+S2),

где S1, S2 – площади оснований, Sср. – площадь «среднего» сечения.

(Устно дать обоснование для цилиндра и конуса)

Vц = h(ПR2 + 4ПR2 + ПR2) = ПR2h.

Vк = h(0 + 4()2 + ПR2) = ПR2h

5. Блиц-опрос. (Тест)

1. Цилиндр и конус имеют равные радиусы и высоты. Объём цилиндра 60 см3 Найти объём конуса.

А) 20 см3                 Б) 30 см3                 В) 60 см3                  Г) 180 см3   

2. Прямоугольный треугольник с катетами 2 дм и 3 дм вращается вокруг оси Оу. Найти объём получившегося тела вращения.

                                                                        А) 4П дм3

                                                                        Б) 6П дм3

                                                                                                              В) 8П дм3

                                                                                                               Г) 12 П дм3

3. Объём конуса равен 18 П дм3. Осевое сечение конуса - прямоугольный треугольник. Найти высоту конуса.

                                                                 А) дм

                                                                 Б) дм

                                                                 В)  дм

                          Г)  дм

6. Домашнее задание.

     П.70, № 701, № 705.

7. Итоги урока.

Сегодня на уроке мы вывели формулу объёма конуса, решили ряд прикладных задач, познакомились с универсальной формулой для вычисления объёмов тел, проверили себя, решив тест.

Объявить оценки за урок.