Технологическая карта урока математики в 11 классе по теме «Геометрическая интерпретация определённого интеграла, как способ его вычисления»
методическая разработка по геометрии (11 класс) по теме

Этапы урока

Деятельность учащихся

Деятельность учителя

Результаты деятельности

Этап мотивации (самоопределения) к учебной деятельности.

Учащиеся решают задачи, обосновывая свой способ решения с опорой на теоретические положения курса: формулируют  понятие и перечисляют свойства площади.

Учащиеся записывают число и тему урока в  тетрадях.

В «шпаргалку» вносятся формулы: площади треугольника, трапеции, квадрата. Формулы площади круга, кругового сектора.

Мы продолжаем отработку практических умений и навыков по вычислению площадей фигур и определенных интегралов. В связи, с чем давайте рассмотрим ряд простеньких заданий из базы ЕГЭ, попутно вспомнив свойства площади.

1. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
   

1. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
   

1. Найдите площадь прямоугольной трапеции, вершины которой имеют координаты (1;1), (10;1), (5;7), (1;7).
   

1. Найдите площадь закрашенной фигуры на координатной плоскости.
   

1. Найдите площадь S круга, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите .
   

1. Найдите (в см2) площадь фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). В ответе запишите .
   

1. На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 32?
   

1. Найдите площадь сектора круга радиуса 2, центральный угол которого равен 135. В ответ запишите отношение этой площади к числу .
   

Личностные УУД

(смыслообразование)

Этап актуализации и пробного учебного действия.

Учащиеся, повторяя и обобщая имеющиеся знания,  отвечают на поставленный вопрос.

Учащиеся проговаривают во внешней речи формулы вычисления площади фигур, изображенных на рисунках.

После применения  каждой значимой формулы, учащиеся вносят её в «шпаргалку», делая соответствующий чертёж.

Учащиеся проговаривают во внешней речи формулу вычисления площади фигуры, изображенной на рисунке задания 1(г). После чего отвечают на вопрос: «Возможно ли указать определённый интеграл, который численно равен площади фигуры, изображённой на рисунке 1(г)?»

Учащиеся, ссылаясь на теоретические положения курса, обосновывают наличие в условии задач 2 и 3 – рисунка и одной из первообразных для функции f(x). Пытаясь понять, не является ли одно из этих двух условий избыточным. Тем самым, отвечая на вопрос: «Будет ли корректной следующая формулировка, например, задачи № 3: Функция  — одна из первообразных функции  на отрезке [-10; -8]. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x), прямыми x=-10, x=-8 и осью Ox?»

Вопрос: Какие формулы вычисления площадей фигур и методы интегрирования вам известны?

  Давайте напомним друг другу геометрическое истолкование (интерпретацию) определённого интеграла.

1. Посмотрите на рисунок и проговорите формулу, позволяющую найти площадь заштрихованной фигуры:
   

а)

б)

в)

г)

д)

е)

1. На рисунке изображён график некоторой функции . Функция  — одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.  (Задание ЕГЭ)
   

1. На рисунке изображён график некоторой функции . Функция  — одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры. (Задание ЕГЭ)
   

1. На рисунке изображён график функции y=f(x), вычислите определенный интеграл .
   

1. На рисунке изображён график функции y=f(x), вычислите определенный интеграл .
   

Познавательные УУД (формирование общеучебных навыков)

Этап локализации индивидуальных затруднений

Учащиеся записывают в тетрадь условие задачи и приступают к комментированному решению,

опираясь на выше рассмотренные знания и умения.  Учащиеся совершают пробные действия, сталкиваются с огромными затруднениями и скорее всего не могут не то что решить,  а даже приблизиться к алгоритму решения этого задания. Математика, однако! 

Учителем предлагаются для рассмотрения достаточно сложная задача из темы: «Определённый интеграл и его геометрические приложения».

Вычислите определённый интеграл .

Регулятивные УУД

(самоконтроль, самооценка)

Этап построения проекта коррекции выявленных затруднений

Учащиеся озвучивают возникшие проблемы при решении задания, предлагают способы их устранения. Учащиеся выдвигают гипотезы и принимают участие в совместном формулировании целей предстоящей деятельности.

Привлечение детей к постановке целей урока, путём ответа на вопросы: «На сколько принципиально знание одной из первообразных подынтегральной функции для вычисления определённого интеграла?».  «Возможно ли избежать нахождения первообразной, если да, то какой способ может стать альтернативой применению формулы Ньютона - Лейбница?»

Регулятивные УУД

(целеполагание, планирование)

Этап реализации построенного проекта

Учащиеся, используя озвученный алгоритм, решают, по сути,  аналогичную задачу, но сформулированную в оптимальной для решения этой задачи форме. По окончании решения  сравнивают два способа решения: свой способ решения (без привлечения методов интегрирования) со способом на слайде (по средствам вычисления определенного интеграла). Последний способ решения носит ознакомительный характер, поскольку это метод интегрирования из области Высшей Математики.

 Итак, в рамках решения возникшей проблемы, с учётом геометрической интерпретации определённого интеграла, переформулируем нашу задачу следующим образом: найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции , прямыми x=0 и x=3 и осью Ox. Такая формулировка задачи, фактически служит руководством к действию.

Познавательные УУД (анализ собственных интеллектуальных операций)

Этап обобщения затруднений во внешней речи

Групповое обсуждение происходит в форме беседы, итогом которой становятся вывод.

Организация группового обсуждения. 

Отвечают на вопросы: «Какой с вашей точки зрения способ решения наиболее предпочтительнее, проще, рациональнее?  Почему?»  «Чем вы можете объяснить серьезные трудности, связанные с построением графика функции , вычислением площади, получившейся фигуры?»

Познавательные УУД (способность рассуждать)

Вывод:

  Геометрическая интерпретация определенного интеграла, иногда позволяет избежать серьёзных  трудностей, связанных с нахождением  первообразной.  Неслучайно интегрирование, в отличие от дифференцирования, называют искусством.

Этап самостоятельной работы с  последующей  проверкой по эталону.

Дети формулируют тему, предлагая свои варианты.

Учащиеся самостоятельно отвечают в письменной форме на достаточно серьёзные вопросы, проверяющие знание и, самое главное, понимание теоретических положений курса.

Учащиеся самостоятельно выполняют практические задания. Для проверки к боковой доске вызывается по одному ученику от каждого варианта. Решённые задачи представляются в классе.

Учащиеся, безукоризненно справившиеся с предыдущей работой, сразу начинают с выполнения задания № 3.

Вариант 1

1. Площадь какой фигуры численно равна определенному интегралу:    а) ; б) ;                   в) .
   
2. Вычислите интеграл: .
   
3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:  и .

Вариант 2

1. Площадь какой фигуры численно равна определенному интегралу:    а) ; б) ;                   в) .
   
2. Вычислите интеграл:
   

.

1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:  и .

Коммуникативные УУД (построение речевых высказываний, осуществление учебного сотрудничества)

Этап рефлексии контрольно-коррекционной деятельности

Дети обобщают полученные знания, определяют границы собственного «знания» и «незнания», зафиксированные в течение урока. Оценивают себя и друг друга.

Какие важные правила, свойства, теоремы, методы повторили? С какими затруднениями столкнулись? С помощью каких алгоритмов научились решать конкретные задачи?

 Почему интегрирование, в отличие от дифференцирования, называют    искусством?

Регулятивные УУД (оценка деятельности)

Личностные УУД

(смыслообразование)

Учащиеся проговаривают во внешней речи способы решения проблемных ситуаций, возникших при выполнении домашних заданий.

  Последний вопрос: «Какие действия вы обычно совершаете дома, когда встречаетесь с затруднениями, выполняя домашнее задание по математике?»

   Действительно, некоторые из вас выбрасывают белый флаг, капитулируя перед возникшими трудностями.  Тем самым, признавая своё бессилие, отказываются от дальнейшей борьбы с этими трудностями. Другие, наоборот, собравшись мыслями, принимают вызов и, обратившись за помощью к источникам знаний – книге, учебнику, знающему человеку, заглянув в интернет, изо всех сил стараются справиться с возникшими трудностями. И это их образ жизни. Лев Толстой сказал: «Знание только тогда знание, когда оно приобретено усилиями своей мысли, а не памятью».        Хочется верить, что для многих из вас решение задачи № 3 из домашней работы не закончится формальным её прочтением, а станет поводом для того, чтобы попытаться самостоятельно, усилием собственной мысли, разобраться с физическим приложением определённого интеграла – тема следующего урока. За помощью можно обратиться на сайт  http://www.bestreferat.ru/referat-201380.html и далее на сайте - механический смысл определенного интеграла.  Желаю удачи!!!  

Домашнее задание:

Этапы урока

Деятельность учащихся

Деятельность учителя

Результаты деятельности

Этап мотивации (самоопределения) к учебной деятельности.

Учащиеся решают задачи, обосновывая свой способ решения с опорой на теоретические положения курса: формулируют  понятие и перечисляют свойства площади.

Учащиеся записывают число и тему урока в  тетрадях.

В «шпаргалку» вносятся формулы: площади треугольника, трапеции, квадрата. Формулы площади круга, кругового сектора.

Мы продолжаем отработку практических умений и навыков по вычислению площадей фигур и определенных интегралов. В связи, с чем давайте рассмотрим ряд простеньких заданий из базы ЕГЭ, попутно вспомнив свойства площади.

1. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
   

1. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
   

1. Найдите площадь прямоугольной трапеции, вершины которой имеют координаты (1;1), (10;1), (5;7), (1;7).
   

1. Найдите площадь закрашенной фигуры на координатной плоскости.
   

1. Найдите площадь S круга, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите .
   

1. Найдите (в см2) площадь фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). В ответе запишите .
   

1. На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 32?
   

1. Найдите площадь сектора круга радиуса 2, центральный угол которого равен 135. В ответ запишите отношение этой площади к числу .
   

Личностные УУД

(смыслообразование)

Этап актуализации и пробного учебного действия.

Учащиеся, повторяя и обобщая имеющиеся знания,  отвечают на поставленный вопрос.

Учащиеся проговаривают во внешней речи формулы вычисления площади фигур, изображенных на рисунках.

После применения  каждой значимой формулы, учащиеся вносят её в «шпаргалку», делая соответствующий чертёж.

Учащиеся проговаривают во внешней речи формулу вычисления площади фигуры, изображенной на рисунке задания 1(г). После чего отвечают на вопрос: «Возможно ли указать определённый интеграл, который численно равен площади фигуры, изображённой на рисунке 1(г)?»

Учащиеся, ссылаясь на теоретические положения курса, обосновывают наличие в условии задач 2 и 3 – рисунка и одной из первообразных для функции f(x). Пытаясь понять, не является ли одно из этих двух условий избыточным. Тем самым, отвечая на вопрос: «Будет ли корректной следующая формулировка, например, задачи № 3: Функция  — одна из первообразных функции  на отрезке [-10; -8]. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x), прямыми x=-10, x=-8 и осью Ox?»

Вопрос: Какие формулы вычисления площадей фигур и методы интегрирования вам известны?

  Давайте напомним друг другу геометрическое истолкование (интерпретацию) определённого интеграла.

1. Посмотрите на рисунок и проговорите формулу, позволяющую найти площадь заштрихованной фигуры:
   

а)

б)

в)

г)

д)

е)

1. На рисунке изображён график некоторой функции . Функция  — одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.  (Задание ЕГЭ)
   

1. На рисунке изображён график некоторой функции . Функция  — одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры. (Задание ЕГЭ)
   

1. На рисунке изображён график функции y=f(x), вычислите определенный интеграл .
   

1. На рисунке изображён график функции y=f(x), вычислите определенный интеграл .
   

Познавательные УУД (формирование общеучебных навыков)

Этап локализации индивидуальных затруднений

Учащиеся записывают в тетрадь условие задачи и приступают к комментированному решению,

опираясь на выше рассмотренные знания и умения.  Учащиеся совершают пробные действия, сталкиваются с огромными затруднениями и скорее всего не могут не то что решить,  а даже приблизиться к алгоритму решения этого задания. Математика, однако! 

Учителем предлагаются для рассмотрения достаточно сложная задача из темы: «Определённый интеграл и его геометрические приложения».

Вычислите определённый интеграл .

Регулятивные УУД

(самоконтроль, самооценка)

Этап построения проекта коррекции выявленных затруднений

Учащиеся озвучивают возникшие проблемы при решении задания, предлагают способы их устранения. Учащиеся выдвигают гипотезы и принимают участие в совместном формулировании целей предстоящей деятельности.

Привлечение детей к постановке целей урока, путём ответа на вопросы: «На сколько принципиально знание одной из первообразных подынтегральной функции для вычисления определённого интеграла?».  «Возможно ли избежать нахождения первообразной, если да, то какой способ может стать альтернативой применению формулы Ньютона - Лейбница?»

Регулятивные УУД

(целеполагание, планирование)

Этап реализации построенного проекта

Учащиеся, используя озвученный алгоритм, решают, по сути,  аналогичную задачу, но сформулированную в оптимальной для решения этой задачи форме. По окончании решения  сравнивают два способа решения: свой способ решения (без привлечения методов интегрирования) со способом на слайде (по средствам вычисления определенного интеграла). Последний способ решения носит ознакомительный характер, поскольку это метод интегрирования из области Высшей Математики.

 Итак, в рамках решения возникшей проблемы, с учётом геометрической интерпретации определённого интеграла, переформулируем нашу задачу следующим образом: найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции , прямыми x=0 и x=3 и осью Ox. Такая формулировка задачи, фактически служит руководством к действию.

Познавательные УУД (анализ собственных интеллектуальных операций)

Этап обобщения затруднений во внешней речи

Групповое обсуждение происходит в форме беседы, итогом которой становятся вывод.

Организация группового обсуждения. 

Отвечают на вопросы: «Какой с вашей точки зрения способ решения наиболее предпочтительнее, проще, рациональнее?  Почему?»  «Чем вы можете объяснить серьезные трудности, связанные с построением графика функции , вычислением площади, получившейся фигуры?»

Познавательные УУД (способность рассуждать)

Вывод:

  Геометрическая интерпретация определенного интеграла, иногда позволяет избежать серьёзных  трудностей, связанных с нахождением  первообразной.  Неслучайно интегрирование, в отличие от дифференцирования, называют искусством.

Этап самостоятельной работы с  последующей  проверкой по эталону.

Дети формулируют тему, предлагая свои варианты.

Учащиеся самостоятельно отвечают в письменной форме на достаточно серьёзные вопросы, проверяющие знание и, самое главное, понимание теоретических положений курса.

Учащиеся самостоятельно выполняют практические задания. Для проверки к боковой доске вызывается по одному ученику от каждого варианта. Решённые задачи представляются в классе.

Учащиеся, безукоризненно справившиеся с предыдущей работой, сразу начинают с выполнения задания № 3.

Вариант 1

1. Площадь какой фигуры численно равна определенному интегралу:    а) ; б) ;                   в) .
   
2. Вычислите интеграл: .
   
3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:  и .

Вариант 2

1. Площадь какой фигуры численно равна определенному интегралу:    а) ; б) ;                   в) .
   
2. Вычислите интеграл:
   

.

1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:  и .

Коммуникативные УУД (построение речевых высказываний, осуществление учебного сотрудничества)

Этап рефлексии контрольно-коррекционной деятельности

Дети обобщают полученные знания, определяют границы собственного «знания» и «незнания», зафиксированные в течение урока. Оценивают себя и друг друга.

Какие важные правила, свойства, теоремы, методы повторили? С какими затруднениями столкнулись? С помощью каких алгоритмов научились решать конкретные задачи?

 Почему интегрирование, в отличие от дифференцирования, называют    искусством?

Регулятивные УУД (оценка деятельности)

Личностные УУД

(смыслообразование)

Учащиеся проговаривают во внешней речи способы решения проблемных ситуаций, возникших при выполнении домашних заданий.

  Последний вопрос: «Какие действия вы обычно совершаете дома, когда встречаетесь с затруднениями, выполняя домашнее задание по математике?»

   Действительно, некоторые из вас выбрасывают белый флаг, капитулируя перед возникшими трудностями.  Тем самым, признавая своё бессилие, отказываются от дальнейшей борьбы с этими трудностями. Другие, наоборот, собравшись мыслями, принимают вызов и, обратившись за помощью к источникам знаний – книге, учебнику, знающему человеку, заглянув в интернет, изо всех сил стараются справиться с возникшими трудностями. И это их образ жизни. Лев Толстой сказал: «Знание только тогда знание, когда оно приобретено усилиями своей мысли, а не памятью».        Хочется верить, что для многих из вас решение задачи № 3 из домашней работы не закончится формальным её прочтением, а станет поводом для того, чтобы попытаться самостоятельно, усилием собственной мысли, разобраться с физическим приложением определённого интеграла – тема следующего урока. За помощью можно обратиться на сайт  http://www.bestreferat.ru/referat-201380.html и далее на сайте - механический смысл определенного интеграла.  Желаю удачи!!!  

Домашнее задание: