Дидактические материалы по геометрии 10 класс
учебно-методический материал по геометрии (10 класс) по теме

Графическая работа.

Скрещивающиеся прямые.

1. Точка D не лежит в плоскости треугольника АВС, точки М, N и Р – середины отрезков DA, DB и DC соответственно, точка К лежит на отрезке ВN. Выясните взаимное расположение прямых: а) ND и  АВ;  б) РК и ВС;  в) МN и АВ;  г) МР и АС;  д) КN и АС;  е) МD и ВС.

2. Через точку М, не лежащую на прямой а, проведены две прямые, не имеющие общих точек с прямой а. Докажите, что по крайней мере одна из этих прямых и прямая а являются скрещивающимися прямыми.

3. Докажите, что если АВ и СD скрещивающиеся прямые, то АD и ВC также скрещивающиеся прямые.

Контрольная работа №1.

Параллельность прямых и плоскостей.

Угол между прямыми.

1. Треугольники АВС и АВD не лежат в одной плоскости. Докажите, что любая прямая, параллельная отрезку СD, пересекает плоскости данных треугольников.

2. На скрещивающихся прямых а и b отмечены соответственно точки  М и  N. Через прямую а и точку N проведена плоскость α, а через прямую и точку М – плоскость β.

    а) лежит ли прямая b в плоскости α?

    б) Пересекаются ли плоскости α и β? При  

         положительном ответе укажите прямую, по которой

         они пересекаются.

3. Прямая а параллельна стороне ВС параллелограмма АВСD и не лежит в плоскости параллелограмма. Докажите, что а и СD – скрещивающиеся прямые, и найдите угол между ними, если один из углов параллелограмма равен: а) 50°;   б) 121°.

Контрольная работа №2.

Параллельность прямых и плоскостей.

1. Прямая а параллельна плоскости α. Сколько прямых, лежащих в плоскости α, параллельны прямой а? Параллельны ли друг другу эти прямые, лежащие в плоскости α?

2. Две прямые параллельны некоторой плоскости. Могут ли эти прямые: а) пересекаться; б) быть скрещивающимися?

3. Могут ли быть равны два непарных отрезка, заключенные между параллельными плоскостями?

4. Две стороны параллелограмма параллельны плоскости α. Параллельны ли плоскость α и плоскость параллелограмма?

5. Параллельные прямые АС и ВD пересекают плоскость α в точках А и В. Точки С и D лежат по одну сторону от плоскости α, АС = 8 см, ВD = 6 см, АВ = 4 см. а) Докажите, что прямая СD пересекает плоскость α в некоторой точке Е. б) Найдите отрезок ВЕ.

6. Вершины А и В трапеции АВСD лежат в плоскости α, а вершины С и D не лежат в этой плоскости. Как расположена прямая СD относительно плоскости α, если отрезок АВ является: а) основанием трапеции; б) боковой стороной трапеции?

Математический диктант.

Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах. Угол между прямой и плоскостью.

1) Продолжить высказывание:

1. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если…
2. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей, то…
3. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если…
4. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то …
5. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они…
6. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она…

2) По данному рисунку сформулируйте теорему о трех перпендикулярах .

3) Сколько двугранных углов имеет:

     а) тетраэдр;

     б) параллелепипед?

Зачет по теме: «Параллельность прямой и плоскости».

10-й класс.

Практическая часть. Решение задач.

                                                              Задание № 1

                               s                                        В плоскости а, пересекающихся с плоскостью s

                                                                                                     по  прямой  С, проведена прямая а, параллельная с.                                            

         b                                              В плоскости s проведена прямая b, пересекающая                        

                                                                                                     прямую c.

1)  Могут ли прямые а и b иметь общие точки?

2)  Докажите, что  а и b – скрещивающие прямые.

                  c

                  a                           а

                                                                                              Задание  № 2

       D                        C                      Через точку К стороны АD параллелограмма

ABCD проведена плоскость а, параллельная

прямой DC.

1)  На какие фигуры делит плоскость а данный

К                                          М                                                    параллелограмм? (Ответ, пояснение).

2)  Вычислите длины отрезков, на которые

А                                           а                                                    делит плоскость а диагональ BD, если

DK=6см,  АК=8см,  BD=21см.

   А                                    В

                                                                                                    Задание  № 3

                             D                                                         Точки А,В, С и D не лежат в одной плоско-

                                                                                                           сти. К и М – середины отрезков ВD и СD.

                                                                                                           1) Имеют ли общие точки прямая КМ и                                    

                                                                                                            плоскость, в которой лежат точки А,В и С?

                                                    *  M                                                2) Вычислите периметр треугольника АКМ,

                                                                                                            если расстояние между каждой парой дан-

                                        K  *                                                             ных точек равно 8 см.                                                                                            

         A                                           C

                   a

                                          B

                        С                                       Задание  № 4  

                                                                                              Через точку К стороны АС треугольника

АВС проведена плоскость α ,параллельная

                                                                                                             прямой АВ.

1. Постройте точку пересечения  плос-

               а      К                                                                                                кости  α   и стороны ВС (точку М)

2).  Вычислите длину отрезка КМ, если

КМ  //  АВ  26см, СК / КА  4 : 5

           А                                В                                                       

Задание № 5                                       Задание № 6

                                        М

            К

а                                            

                                   Мı                                                                 Дан куб АВСD А ВСD

 Кı                                                                                    1) Постройте отрезок, являющийся пере-

                                                                                            сечением грани ВССВ  и плоскости а, в

Отрезок КМ, равный 10 см, параллелен                                           которой лежит прямая АD и точка К сере-

плоскости а. Через его концы проведены                                        дина ребра ВС.

параллельные прямые, пересекающие а в                                    2) Постройте сечение куба плоскостью а.

точках К ı и М ı.                                                                                                   3)  Вычислите периметр построенного се-

1. Как расположены прямые КМ и  Кı Мı?                                               чения, если ребро куба равно 16 см.
2. Вычислите расстояние между точками

       К и М.

3. Вычислите площадь четырехугольника

КММı Кı, если ККı=8см, < КММı=30.

Задание № 7                                       Задание № 8

      А

                                                                                              Дан куб АВСD А ВСD

                                                                                              1) Постройте отрезок, являющийся пере-

                                           В                                             сечением грани АВВА  и плоскости а, в

         К                                                                             которой лежит прямая СС и точка К сере-

а                                                                          дина ребра  АВ.                                 

                                 М                                                     2) Постройте сечение куба плоскостью а.

                                                                           3)  Вычислите периметр построенного се-

              С                                                                        чения, если ребро куба равно 20 см.

Через точку А стороны АС треугольника

АВС проведена плоскость а, параллель-

ная  АВ.

1. Как расположены прямые АВ и КМ

(М – точка пересечения прямой ВС и

 плоскости а ) ?

2. Вычислите длину отрезка КМ, если

АК=4 см, КС=6 см, АВ=5 см.

Задание № 9                                       Задание № 10

А

                                                        В                                  Верно ли утверждение , что две прямые,

                                                                                                     Параллельные одной плоскости, параллельны?

                   а              *В

Отрезок АВ параллелен плоскости а. Через

его концы проведены параллельные пря-

мые. Прямая проходящая через точку В,

пересекает плоскость в точке В.

1. Постройте точку пересечения второй

прямой с плоскостью а (точку А).

2. Вычислите периметр четырехугольника

АВВА, если АВ: ВВ= 5 : 2, АВ-ВВ=9 см

Задание № 11                                   

                        С

                                 М

          К

                                        В                                        Задание № 12

                                                                                    Прямая а параллельна плоскости а. Верно ли

      А     а                                                                    утверждение, что любая прямая плоскости а

                                                                                    параллельна прямой а?

Отрезок АВ, равный 15 см, лежит в плоско-

сти а. Точка С не лежит в ней. К и М–сере-

дина отрезков АС и ВС.

1. Может ли прямая КМ иметь общие точ-

ки с плоскостью а?

2. Вычислите расстояние между точками К

и М.

Зачет по теме

«Перпендикулярность прямой и плоскости».

10-й класс.

Теоретическая часть. Доказательство теорем.

Теорема № 1

                   Доказать, что если одна из двух параллельных прямых

                 перпендикулярна плоскости, то и другая…

Теорема № 2

                Докажите, что если две прямые перпендикулярны плоскости, то они

                параллельны.

Теорема № 3

                   Докажите признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Теорема № 4

                   Докажите теорему о трех перпендикулярах.

Практическая часть. Решение задач.

Задача № 1

Прямая ВМ перпендикулярна плоскости прямоугольника АВСD.

Найдите: а) расстояние от точки М до сторон прямоугольника

                     АВСD, если АВ=6 см. ВС=8 см, ВМ=6 см;

                б) расстояние от точки М до точки D.

Задача № 2 

                   Через вершину А правильного треугольника АВС проведена прямая  

                   АМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от

                точки М до стороны ВС, если АВ=4 см, АМ=2 см.

Задача № 3

Точка М удалена от всех вершин квадрата АВСD на расстояние

10 см, АВ- 6√ 2см.

Найдите: а) расстояние от точки М до плоскости АВСD.

                б)  расстояние от точки М до стороны квадрата.

Задача № 4

Из точки А, удаленной на расстояние 5 см от плоскости, проведены к

этой плоскости наклонные АВ и АС под < 30º к плоскости.

Найдите угол между наклонными, если ВС=10 см.

Зачет по теме «Цилиндр, конус и шар»

11-й класс

Практическая часть. Решение задач.

Вариант № 1

Задача № 1

Высота конуса 8 см, а образующая наклонная к плоскости основания под < 30º. Найти площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми 60º.

Задача № 2

Радиус шара 6 см. Найти площадь поверхности вписанного в шар куба.

Вариант № 2

Задача № 1

Радиус шара 6 см. Через конец радиуса, лежащего на сфере, проведена

плоскостью под < 45º к радиусу.

Найдите площадь сечения шара этой плоскостью.

Задача № 2

Куб с ребром 4 см вписан в цилиндр. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

Вариант № 3

Задача № 1

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, отсекает от

окружности основания дугу 90º.

Найдите площадь сечения, если высота цилиндра 6 см, а расстояние

Между осью цилиндра и секущей плоскостью 3 см.

Задача № 2

Около шара радиуса 6 см описан правильный тетраэдр.

Найти площадь поверхности тетраэдра.

Вариант № 4

Задача № 1

Радиус кругового сектора 10 см, а его угол равен 144º. Сектор свернут

В коническую поверхность. Найдите площадь поверхности конуса (полную).

Задача № 2

Осевое сечение конуса – равносторонний треугольник. В конус вписана треугольная пирамида, основанием которой служит прямоугольный треугольник с катетами 12 см и 16 см. Найти высоту пирамиды.

Вариант № 5

Задача № 1

Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 12 см.

Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Задача № 2

В сферу вписан конус, образующая которого 12 см, а угол при вершине осевого сечения равен 60º. Найдите площадь поверхности сферы.

Вариант № 6

Задача № 1

Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через центр, равна 32π см ². Найдите площадь сферы.

Задача № 2

Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 4 см и наклонена к плоскости основания под < 45º. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму.

Зачет по теме «Координаты на плоскости. Уравнение окружности». 9-й класс

                      Теоретическая часть.

1. Написать формулу нахождения середины отрезка (уметь вывести формулу).
2. Что означают в формуле хı  и уı ; х2 и у2?
3. Написать формулу длины отрезка (уметь вывести формулу).
4. Написать уравнение окружности  (уметь вывести формулу).
5. Что называется уравнением фигуры?
6. Что означает буквы х0, у0, х и у в уравнении окружности?
7. Сколько точек пересечения могут иметь две окружности?
8. Написать уравнение прямой.
9. Что показывает угловой коэффициент?
10.  Дайте определение sin α, cos α, tg α для угла 0 < α  <  180°.

Устный счет

          В группах по 4 человека, каждый получает свою карточку и по очереди отвечает консультанту устно или записывает нужные формулы на листе бумаги.

Вариант № 1

Задача № 1

Дано: А (2; 4), В (6; 2)

т. О ε АВ, АО = ОВ

Найти координаты середины отрезка АВ.

Задача № 2

Дано: (х - 3)² + (у - 5)² = 36

Вопросы: что означает это уравнение? Что означают в этом уравнении числа 3, 5, 36?

Задача № 3

Дано: (х + 2 )² + у ² = 13

Найти радиус и координаты центра окружности.

Задача № 4

Дано: т. О (-1; 2 ), R = 5.

Окр. (О, R)

Написать уравнение окружности.

Вариант № 2

Задача № 1

Дано: А (7; 2 ), В (1; 4 )

т. О ε АВ, АО = ОВ

Найти координаты середины отрезка АВ.

Задача № 2

Дано:  (х - 1)² + (у - 2)² = 49

Вопросы: что означает это уравнение? Что означают в этом уравнении числа 1, 2, 49?

Задача № 3

Дано: х² + (у + 5 ) ² = 7

                       Найти радиус и координаты центра окружности.

Задача № 4

Дано: т. О (7; 2 ), R = 2.

Окр. (О, R)

                       Написать уравнение окружности.

Вариант № 3

Задача № 1

Дано: А (5; 3), В (3; 7)

т. О ε АВ, АО = ОВ

                       Найти координаты середины отрезка АВ.

Задача № 2

Дано:  (х - 2)² + (у - 5)² = 49

                       Вопросы: что означает это уравнение? Что означают в этом уравнении числа 2, 5, 9?

Задача № 3

Дано: х² + (у + 3) ² = 5

                       Найти радиус и координаты центра окружности.

Задача № 4

Дано: т. О (-2; 1), R = 4.

Окр. (О, R)

                       Написать уравнение окружности.

Практическая часть. Решение задач

Учащиеся получают карточки с задачами для письменного решения по вариантам.

Вариант № 1

Задача № 1

Дано: А (4; 1) , В (-1; 3), С (2; 1),  D (-1; -1)

Доказать: четырехугольник АВСD – ромб.

Задача № 2

Дано: лежит ли точка А (2; -1) на окружности  (х – 2)² + (у + 3)²= 4?

Ответ обосновать.

Вариант № 2

Задача № 1

Дано: А (-2; -2) , В (-2; 4), С (1; 4),  D ( 1; -2)

Доказать: четырехугольник АВСD – прямоугольник.

Задача № 2

Дано: лежит ли точка А (1; 4) на прямой  4х + 3у – 6 = 0?

                       Ответ обосновать.

Вариант № 3

Задача № 1

Дано: А (2; 3) , В ( 5; 8), С ( 8; 3),  D ( 5; -2)

                       Доказать: четырехугольник АВСD – ромб.

Задача № 2

Дано: лежит ли точка М (-3; 2) на прямой  4х + 3у + 6 = 0?

                       Ответ обосновать.

Зачет по теме «Площадь четырехугольника и треугольника.

Теорема Пифагора». 8-й класс

Теоретическая часть.

Вопросы к зачету:

1. Чему равна площадь квадрата?
2. Чему равна площадь треугольника?
3. Чему равна площадь параллелограмма? (вывод формул)
4. Следствия  № 1 и № 2, отношение площадей S1 / S2  .
5. Площадь треугольника (с выводом ). Отношение площадей треугольника, имеющих по равному углу.
6. Теорема Пифагора (с доказательством).
7. Теорема обратная теореме Пифагора (с доказательством).
8. Площадь ромба (с выводом).
9. Площадь трапеции (с выводом).

Практическая часть. Решение задач.

Вариант № 1

Задача № 1

        В                                  С

                                                               Дано:         АВ = 26 см

                                                                                  АD = 32 см

                                                                                                 ВН – высота

< АВС = 150°

    А         Н                     D

                                                                              ___________________________

                                                                              Найти:  S ABCD

Задача № 2

     В                                  С                                        Дано:  АВСD – прямоугольник

              АС – диагональ

              АС = 13 см

              АD = 12 cм

___________________________

                                                                                    Найти:  S ABCD

А                                      D

Задача № 3

        В                

                                                     Дано:    АВСD –  равнобедренный

                                       АC = 8 см

                                                                             ВD – высота

                                                                              < ВАС = 45°

А            D             C                                    ____________________________________

                                                                                  Найти:  S ABC

             В                                    Задача № 4

                                                                                    Дано:  АВСD – ромб

А          О               С                                                          АС = 10 см

            ВD = 12 cм

                                                                               ____________________________

                      D                                                           Найти :  S ABCD, АВ

                                                   Задача № 5

     В                  С                                           Дано:  АВСD – прямоугольная трапеция

                                                                                     СН - высота

                                                                                ВС  =  6 см

                                                                                АD = 22 см

СD = 20 cм

                                                                 ____________________________________                                                

А                Н                         D                    Найти:  S ABCD

_____________________________________________________________

Задача № 6

                         В                                     С     Дано:  АВСD – параллелограмм

                                                                                     ВD - диагональ

                                                                                ВD  =  13 см

                                                                                BN  =  5 см

ND  =  12 cм

                                                                                < ВАD = 45°                                                                                                                                            

А                Н                         D                  __________________________________

                                                                   Доказать:  ∆ BND   прямоугольный

                                                                   Найти: S ABCD

Вариант № 2

Задача № 1

               В                     С

                                                                        Дано:       АВСD – параллелограмм

                                                                                          ВD - диагональ

                                                                                     ВD  =  9 см

                                                                                     S ABCD = 108 cм

А                    D                                        __________________________________

                                                                   Найти:  АВ, ВС

    K                                         N     Задача № 2

                                                         Дано:       MKNP - прямоугольник

                                                     KM =  6 см

                                                            KP – диагональ

                                                                                      KP = 10 см              

     M                                          P              _________________________________

                                   Найти:      S MKNP

_______________________________________________________________________________________________

Задача № 3

     В                        Дано:        ∆ АBС  

                                                          BH – высота

                                                      АВ = 8 см

                                                        АС = 10 см

А                                                      С                           < ВАС = 30°

                                  Н                               _______________________________

                               Найти:        S ABC 

____________________________________________________________________  

                          К

Задача № 4

     М                     О                 N                 Дано:   MKNP – ромб

                                                  P MKNP = 20 см

                                              МК = 8 см.

                          Р                                          _________________________________

                          Найти: S MKNP

______________________________________________________________________________________________

                                   B                  C       Задача № 5

                                                         Дано:   ABCD – прямоугольник

                                                 AB = 25 см

                                               ВС = 2 см

                                                                                   CD – 7 см

A                     H                   D                                                                                                            

                                                                     ______________________________

                                                                      Найти:  S ABCD

______________________________________________________________________________________________

Задача № 6

                         B                                          Дано:     BD =5 см

                                                    DC = 12 см

                                                     BС = 13 см

                                                                                     < ВАD = 45°

                                                                  _________________________________

                                                                     Определить: вид ∆ BDС

A                   D                               C           Найти:  S ABC 

____________________________________________________________________

Практическая часть. Решение задач

Учащиеся получают карточки с задачами для письменного решения по вариантам.

Вариант № 1

Задача № 1

Дано: А(- 4; 1), В (-1; 3), С (2; 1), D (-1; -1).

Доказать: четырехугольник АВСD – ромб.

Задача № 2

Дано: лежит ли точка А (2; -1) на окружности  (х – 2)² + (у + 3)² = 4?

Ответ обосновать.

Вариант № 2

Задача № 1

Дано: А(-2; -2), В ( -2; 4), С ( 1; 4), D (1; -2).

Доказать: четырехугольник АВСD – прямоугольник.

Задача № 2

Дано: лежит ли точка А (1; 4) на прямой  4х + 3у - 6 = 0?

Ответ обосновать.

Вариант № 3

Задача № 1

Дано: А(2; 3), В (5; 8), С (8 ; 3), D (5; -2).

Доказать: четырехугольник АВСD – ромб.

Задача № 2

Дано: лежит ли точка М (-3; 2) на прямой  4х + 3у + 6 = 0?

Ответ обосновать.

Пример дифференцированного задания блока № 3

зачета по теме «Признаки равенства треугольников». 7-й класс

Практическая часть. Решение задач.

на оценку «3»:                         на оценку « 4»:                           на оценку «5» :

задача № 1                                задача № 2                                  задача № 6

задача № 3                                задача № 10                                задача № 5 

задача № 4                                задача № 8                                  задача № 9

задача № 7                                задача № 5                                  задача № 11

Задачи к зачету по теме: «Признаки равенства треугольников».

Задача № 1

 K                                        N                                    Дано:            KN = MP

                                                                    MK = PN

                      LK = 60°

                                                                        ________________________________

       M                                          P                           Найти:           LP.  

   А                                           С     Задача № 2

Дано:  а) АО =ОС     б) < ОСD = 37°

         < ВАО =

                                         < СОD = 80°  

________________________________  

                 О                                                    а) Доказать:  ∆ АBО = ∆ СDО

      В                    D                                         б) Найти:  углы  ∆ АBО

__________________________________________________________________________  

                                                                    Задача № 3 

                             M                                       Дано:    NО - биссектриса < MNP                    

               NM = NP

               MO = 10 см

N                          O                                        Доказать: ∆ MNO = ∆ PNО

Найти:   ОР

                                                P

Задача № 4

              E                                                              

                                                                                Дано:            DE = DK                                                                                              

  D                                    C                                                         CE = CK

      K                                                                     Доказать: DC – биссектриса < EDK

                В

Задача № 5

    А                              С                                        Дано:    ∆АBC  и  ∆A1B1C1

      К  В1                                                                     <В  = <В1, АВ = А1В1,

              ВС=В1С1 , АК = А1К1.

_________________________________

А1                               С1                                        Доказать: ∆ АBC = ∆ A1B1C1

_________К1_________________________________________________________________

                            С                        Задача № 6

                                                                Дано: ∆АCB – равнобедренный

      А                                 В                                              АР = FВ

                                                                               __________________________________

                 Р            F                                            Доказать : 1)  ∆ РCF – равнобедренный,

                                                                                               2)  АF = ВР

Задача № 7

            А  

                                        Дано:        АЕ = ЕD

    В                          Е                      С                                   AB = 5см

                                                                          ___________________________________

                                                 Доказать: ∆ АBЕ = ∆ DCE

D                      Найти:  СD

Задача № 8

                                  B

                                               Дано: АВ = АD

                                                         ВС = DC

          C                                        A                       Доказать: AC – биссектриса < A

                             Е                     

                                                              Задача № 9

                   В

                                                                          Дано:   а) АВ = АС           б) АЕ = 15 см

                                                                                           < AСЕ = < AВD    ЕС = 10 см

  А                              О                                                                                          АС = 7 см

                                                                ________________________________________

                                                          а) Доказать:   ∆ АСЕ = ∆ АBD

 С                                                б)  Найти стороны   ∆ АBD

                                      D

                          B                            Задача № 10

                                                             Дано:  ∆АCB – равнобедренный

                                                         < ABM = < CВN

                                                                ______________________________    

                                                                        Доказать: 1) ∆МBN – равнобедренный

                                                                           2)  < ABN = < CВM

A              M            N              C

_________________________________________________________________________

                            В

                                            К            Задача № 11

      А

                                  С                      Дано: ∆АBC   и   ∆A1B1C1

                      B1                                                   <А  = <А1,  АВ = А1В1,

                              К1                                     АС=А1С1 , СК = С1К1.

                                                                        _______________________________

    А                                                 С1                   а) Доказать:   ∆ АВК = ∆ A1B1К1

Задачи к зачету по теме: «1-й признак равенства треугольников».  

А                         В                         Задача № 1

                          Дано:   АВ = DC

                                                        < АВD = < СDB

                                             AD = 5 см

  D                                      C                                     < А = 60°  

                                                                         ____________________________________    

                                      Найти:    < С,     ВС

                                              A       Задача № 2

B                                                              Дано:       АВ = СВ

                                                              < АВD = < СBD

                                                                    __________________________________

                                                 Доказать: ∆ АBD = ∆ CBD

                                                     C

  Задача № 3

         В                       D                                     Дано:   АВ = CD    

< ВАС = < BСА

ВС = 10 см

                                                                ____________________________________

  А                                         C

Найти:  < С, ВС

__________________________________________________________________________

                                            N            Задача № 4

                            P

           M                                                              Дано:   MN = MK    

                                             MQ = MP

                            Q                                                         < N = 30°  

                                               K                           ___________________________________

                                                   Доказать:   ∆ MNQ = ∆ MKP,

                     Найти: < К.

_________________________________________________________________________    

      А                           N                  Задача № 5   

                      Дано:  АО = ОВ

                                  O                                                    КО = ОN

                                               AN =  8 см

                                                                   _________________________________

                                                                          Доказать:   ∆ АON = ∆ BOK,

                 K                              B                      Найти: < С,  ВС.

_______________________________________________________________________

          B                                            Задача № 6

                      D

        M                                                      Дано: AD = AK

                                        A                                   AM – биссектриса < BСА

                                                                  _______________________________

             C      K                                                  Доказать:   ∆ MDА = ∆ MKA

     ______________________________________________________________________

    Задача № 7

                              K

                                         Дано:         МК = MF

                              P                                         < KMP = < FMP

      M                                                                                        KP = 3 см

                                                                     _________________________________

                                F                                         Найти:    PF.

________________________________________________________________________

Литература

1.  Л.С.Атанасян. Геометрия 7-9 класс. М., Просвещение , 1990 г.

     2.  Журнал «Математика в школе». № 3, 4, 5, М., Школа – Пресс, 1996 г.

         3.  В.А.Гусев, А.И. Медяник. Задачи по геометрии (дидактические  

              материалы). М., Просвещение, 1988 г.

     4.  Я. И.Груденов. Совершенствование методики работы учителя математики.

         М., Просвещение, 1990 г.

     5.  В.А.Гусев. Лекции по педагогической технологии. М., Знание, 1992 г.

Самостоятельная работа.

Параллельность прямых и плоскостей.

1. Сторона АС треугольника АВС параллельна плоскости α, а стороны АВ и ВС пересекаются с этой плоскостью в точках M и N . Докажите, что треугольники АВС и МВN подобны.

2. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки D и E так, что длина отрезка DE равна 5 см и . Плоскость α проходит через точки В и С и параллельна отрезку DE. Найдите длину отрезка ВС.

3. Плоскость α параллельна стороне ВС треугольника АВС и проходит через середину стороны АВ. Докажите, что плоскость α проходит также через середину АС.

Самостоятельная работа.

Перпендикулярность прямой и плоскости.

1. Закончить предложение:

а) две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если…

б) прямая называется перпендикулярной к плоскости, если…

в) если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они…

г) если плоскость перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она…

д) если две плоскости перпендикулярны к одной прямой, то они…

2. Дан параллелепипед      

а) Назовите:
1) рёбра, перпендикулярные к плоскости (DCC1)

2) плоскости, перпендикулярные ребру BB1 

б) Определите взаимное расположение:
1) прямой CC1 и плоскости (DСВ)

2) прямой D1C1 и плоскости (DCB)

3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ = 9 см; ВС = 8 см; ВD = 17 см. Найдите площадь BDD1B1.

Тест.

Свойства параллельных плоскостей.

1. Каково взаимное расположение прямой B1C1 и плоскости BDA1?

2. Каково взаимное расположение плоскостей BDA1 и B1D1C?

3. В пространстве даны прямая a и точка M. Сколько существует прямых, проходящих через M и     параллельных прямой a?

4. Даны плоскость и точка M вне плоскости. Сколько существует прямых, проходящих через M и параллельных плоскости?

5. Даны параллельные прямая a и плоскость α. Сколько существует плоскостей, проходящих через a и параллельных α?

6. В пространстве даны две параллельные прямые a и b. Сколько существует плоскостей, проходящих через прямую a и параллельных прямой b?

7. Даны две пересекающиеся плоскости α, β и не лежащая на них точка M. Сколько существует прямых, проходящих через M и параллельных плоскостям α и β?

8. Даны две скрещивающиеся прямые a и b. Сколько существует пар параллельных плоскостей, одна из которых проходит через a, а другая – через b?

9. В пространстве даны две пересекающиеся прямые a, b и не лежащая на них точка M. Сколько существует плоскостей, проходящих через M и параллельных прямым a и b?

10. В пространстве даны прямая a и точка M. Сколько существует плоскостей, проходящих через M и перпендикулярных прямой a?

Экспресс – контроль.

Параллельность прямых и плоскостей.

1. Какие две прямые в пространстве называются параллельными?

2. Сформулировать теорему о параллельных прямых.

3. Сформулировать три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве.

4. На рисунке укажите взаимное расположение: а) прямых АВ и KL; прямых CD и KN; прямых СМ и ВС; прямой АВ и плоскости AND; прямой СD и плоскости ABL?